劉洪偉，徐屹

(東北電力大學理學院，吉林吉林132012)

線性代數(shù)是工科專業(yè)學生必修的一門數(shù)學基礎課程，也是考研時必考的一門課程，該課程屬于比較抽象的理論課程，對于這些抽象的概念學生掌握起來比較困難。矩陣是線性代數(shù)課程的基本概念，所討論的問題都離不開它，判斷方陣是否可逆這是一個重點，也是難點問題［1－2］。方陣的行列式不等于零是判定方陣可逆的重要方法之一，掌握行列式的解法對本課程及其后繼課程的學習都有重要意義。然而行列式的計算方法種類繁多，靈活多樣，沒有統(tǒng)一定式。我們可以采用歸類的方式進行總結，不斷積累一些好方法，方可提高計算水平。

1 問題提出

在教學過程中，曾有同學請教如下兩道填空題，兩題具有一定代表性。例1可以利用可逆矩陣來求解伴隨矩陣。對于例2其中涉及到奇異矩陣，對于這類問題，一般教材中沒有給出相關的公式和求解方法。本文總結了這類問題的解法。對廣大同學們來說也有重要的啟示作用。

解析:我們不難發(fā)現(xiàn)A是可逆矩陣，可以利用可逆矩陣來求解伴隨矩陣。

例2設3階方陣A的特征值為1，0，－1，矩陣B=E－3A*，其中A*是A的伴隨矩陣，求B。

解析:初看此題非常容易求解。只要知道A*的特征值，便可得到B=E－3A*的特征值，則B就可以計算出來。但仔細讀題會發(fā)現(xiàn)A是奇異陣，這給計算A*的特征值帶來困難，不能通過A來計算A*的特征值。但R(A)=2，(R(A)表示矩陣A的秩)，可知R(A*)=1，進一步可知矩陣A*有一個非零的特征值，而0是A*的二重特征值。現(xiàn)在的問題歸結為A*的非零特征值到底應該是多少?如何求出非零特征值?

2 例1求解

首先給出如下結論，利用矩陣A來表示其伴隨矩陣A*。

定理設A為n階可逆方陣，f(λ)=λE－A是A的特征多項式，λ1，λ2，…，λn為A的n個征值，則A*=(－1)n+1P(A)，其中P(λ)=λ－1［f(λ)－(－1)nλ1…λn］。

證明:A為n階可逆陣，故A沒有零特征值。根據(jù)Hamilton-Cayley定理，矩陣A滿足自己的特征多項式。由于λ1，λ2，…，λn為A的n個特征值，即特征多項式f(λ)=(λ－λ1)(λ－λ2)…(λ－λn)，則f(A)=0。構造多項式Q(λ)=f(λ)－(－1)nλ1λ2…λn，注意到λ1λ2…λn=A，則Q(λ)=f(λ)－(－1)nA，則Q(A)=f(A)－(－1)nA E=(－1)n+1A E，由于Q(λ)=P(λ)λ=λP(λ)，則有P(A)×A=A×P(A)，Q(A)=(－1)n+1AE。

即(－1)n+1P(A)×A=A×(－1)n+1P(A)=A E，對任何n階方陣A，有A*×A=A×A*=AE，根據(jù)伴隨矩陣唯一性，所以A*=(－1)n+1P(A)。定理證畢。

方法2:方陣A的特征多項式為f(λ)=(λ－1)(λ－2)(λ－3)=λ3－6λ2+11λ－6，令P(λ)=λ2－6λ+11，由定理得A*=(－1)3+1P(A)=A2－6A+11E，兩種方法求得結果相同。

3 例2求解

例2要比例1復雜且不常見，解決此問題要用到一些不常見的結論，在這里記為引理。

引理1［3］若n階方陣A的特征值分別為λ1，λ2，…，λn，則λ2…λn，λ1λ3…λn，λ1λ2…λn－1為A*的特征值。

引理2［4］設A為n階方陣，f(λ)=λE－A=λn+an－1λn－1+…+a1λ+a0是A的特征多項式，令g(λ)=(－1)n－1(λn－1+an－1λn－2+…+a1)，則A*=g(A)。

對于例2，下面給出三種行之有效的解法。

方法1:

特例這種方法對于我們來說并不陌生，這是在做選擇題或填空題時經(jīng)常采用的方法，也是比較簡潔的方法。計算速度快而準確率高。對于本題可以采用這種方法。

方法2:對于例2，因R(A)=2，R(A*)=1，所以0為A*的二重征值。由引理2可求得A*的另一個特征值為1×(－1)=－1，所以B=E－3A*的特征值為1，1，4。故可求解B=E－3A*=4。

方法3:由A特征多項式f(λ)=λ3－λ，構造多項式g(λ)=λ2－1，知g(A)=A2－E，由引理3得A*=g(A)=A2－E，進而可知1，1，4是B的特征值，故B=4。

4 結論

通過以上兩例看出，對于不同問題，我們可采用不同的方法，尤其處理奇異矩陣問題時，本文所給出的3種方法應用更為廣泛且便于記憶。這對提高計算能力和計算速度帶來更多的益處。掌握必要的結論使得處理問題更加得心應手。

［1］同濟大學數(shù)學教研室.線性代數(shù)［M］.北京:高等教育出版社，1991.

［2］徐仲，陸全，等.矩陣論簡明教程［M］.北京:科學出版社，2005.

［3］張慧敏，馬艷萍.階矩陣與其伴隨矩陣的關聯(lián)性［J］.高師理科學刊，2001，21(4):3－5.

［4］趙銀明.陣與其伴隨矩陣的關系［J］.襄樊職業(yè)技術學院學報，2008，7(5):23－24.