常 理

(華南理工大學廣州學院 物理實驗中心，廣東 廣州 510800)

駐波實驗是大學物理實驗的一個重要組成部分，可以讓學生對駐波形成條件、橫波產(chǎn)生與傳播等形象直觀地理解，是力學演示實驗的重要內(nèi)容之一。駐波實驗研究種類多，如驗證頻率與波長的關(guān)系、驗證波長與張力的關(guān)系、平面駐波和立體駐波判別、“二分頻“現(xiàn)象等等。各類研究都離不開駐波實驗的基礎(chǔ)理論，只有有效掌握基礎(chǔ)理論，方可對實驗進行清晰合理的解釋和有效的改進。如在頻率測量中，弦線與音叉臂平行共振或者是垂直共振是最常見的兩種實驗方案，實驗中用平行共振方法可以得到的駐波的頻率與音叉的振動頻率相同，而用垂直共振法得到的駐波的頻率僅有音叉的振動頻率的50%，這種“二分頻”現(xiàn)象如何讓學生利用基礎(chǔ)理論知識與物理規(guī)律去理解，是實驗教學需要重點探討的問題。

1 駐波實驗原理理論

1.1 駐波形成理論

駐波的形成是張緊的弦線在電振音叉的帶動下發(fā)生振動，促使得入射波形成，再在弦線的支撐點滑輪時發(fā)生反射，從而促使反射波也形成，在迭加的情況下，當達到某一條件就可以發(fā)生共振，形成駐波，其方程為：

在x=0處，y=0，由1-1式可得，當?shù)竭_反射條件時，可知在弦線的另一端必定出現(xiàn)另一個節(jié)點，即有：

由1-1和1-2式可知，在駐波地弦線上形成時，弦線長度l必定是半波長n倍(n為整數(shù))，所以，駐波實驗可以用于測試波長。

1.2 橫波傳播理論

橫波傳播理論主要討論傳播速度與波長。設(shè)x軸為正方向傳播，若橫波地張緊的弦線上向正方向傳播，取某一小段作AB=ds為研究對象。設(shè)弦線的線密度用ρ表示，弦線質(zhì)量用ρds表示，AB的張力分別為TA、TB，與沿弦線切線方向一致，與正方向x軸的交角分別是?A、?B角。一般情況下，橫波在沿線上傳播時，x方向并無明顯的振動，因此，在AB段上的張力分量為0，可以得：

由力學知識可得在y方向AB的運動方程為：

在AB段發(fā)生的小振動，?A、?B比較小，可以認為 ds≈dx，cos?A=cos?B=1，sin?A=tg?A，sin?B=tg?B，可導數(shù)的幾何意義可以得到：

由1-4與1-5式可知，TA=TB，這就說明了弦線的張力比較穩(wěn)定，不隨時間和地點變化而變化，設(shè)弦線張力為T，有：

由泰勒級數(shù)展開式推導可得：

由1-8式可知，波長λ在橫波傳播速度v、線密度ρ及張力T都知道的情況下，可以直接求解得出，波長隨著張力變化而變化，并可利用1-2式進行驗證。

2 兩種共振實驗現(xiàn)象及其理論分析

下圖為弦線與音叉臂平行共振及垂直共振實驗圖。當弦線處在a位置時，而且保持張力為一定的值，就可以通過調(diào)整弦長來觀察駐波的波形。根據(jù)下圖下示，通過變換方位對來實驗現(xiàn)象進行分析。

2.1 弦線與音叉臂平行共振

在0-a方向上，通過調(diào)節(jié)得出弦長是半波長的偶數(shù)倍且駐波穩(wěn)定時，保持張力和弦長不改變，通過逐漸增大θ，波形穩(wěn)定之后，此時觀察到水平方向與豎直方向的波長比是1：2，同期也是1：2，當張力和弦長發(fā)生改變時，弦上就會生產(chǎn)一些復(fù)雜的波形。

通過以上的實驗現(xiàn)象，我們可以得出，當弦線在音叉的擺動下，容易產(chǎn)生擺動與拉伸的效果，并且產(chǎn)生對應(yīng)的二駐波，在迭加的情況下，產(chǎn)生了復(fù)雜的駐波。在滿足實驗要求時，二駐波波長為1：2，與水平方向與豎直方向波長比相吻合。由實驗圖可知，音叉在水平方向上擺動，這樣駐波的形成必定是水平平面;而橫波的形成主要是由于重力作用，因此駐波的形成必定為垂直平面，水平和豎直兩個不同方向觀察的波形是1：2。在偏離實驗條件情況下，弦線的擺或者是拉伸沒同時滿足形成駐波條件，此時就會出現(xiàn)迭加復(fù)雜的平面波。

2.2 弦線與音叉臂垂直共振

由于音叉擺動是產(chǎn)生橫波的源頭，因此，要獲得穩(wěn)定的駐波，調(diào)整弦長也是一個很好的方法，但這方法與普通的方法存在著較大的區(qū)別，可以在同一平面上的兩個幅度差異比較大的垂直振動進行拉伸，從而影響主駐波。當弦線換成0-a，0-d時，也可以產(chǎn)生駐波，但最主要是以叉水平運動為主，更改后變化不大。因此，可以得出音叉擺動同時作用于水平弦線的與垂直平面弦線，但通是以水平分量為主，垂直分量成為了影響主駐波的重要因素，等垂直分量明顯時，弦上的波形就越復(fù)雜。

3 駐波實驗“二分頻”現(xiàn)象

在上述實驗中，當弦線與張力滿足一定條件時，就會看到弦線產(chǎn)生比較穩(wěn)定而清晰的共振駐波，設(shè)固定端為波節(jié)。在實驗中，如果弦線與音叉臂發(fā)生平行共振且形成駐波的半波數(shù)為偶數(shù)，那么，在不改變其他條件時，讓弦線與音叉臂垂直，可以看到狀態(tài)依然是共振狀態(tài)，而且線上半波數(shù)變成了原來的一半，共振頻率僅是原來的一半，這就是“二分頻”現(xiàn)象。

針對“二分頻”現(xiàn)象，解釋有兩種方法，一是根據(jù)基本的物理規(guī)律透過現(xiàn)象看物理本質(zhì)，作出一定的解決;二是通過數(shù)值演示，讓學生在過程中受到啟發(fā)。由振動與波動理論可知，形成共振駐波有兩個條件，一是音叉的作用力對弦線做正功，二是弦線長度應(yīng)當是波長的整數(shù)倍。現(xiàn)通過數(shù)值模似方法來對“二分頻”現(xiàn)象進行解釋。由受迫振動條件可知，在音叉給弦線的驅(qū)動力對系統(tǒng)不斷做功，使得系統(tǒng)能量不斷得以補充，從而產(chǎn)生共振駐波。此時的系統(tǒng)參數(shù)會發(fā)生系列變化，在重力和張力的作用下，法碼的單擺擺長也呈現(xiàn)出與時間的致的規(guī)律，關(guān)系如下式。

化簡得：

式中的參數(shù)β會隨著時間的改變而發(fā)生變化，由推導得出：

從以上式中看出，3-2式顯然是一個非線性的微分方程，解決過程非常復(fù)雜，對于獨立學院非數(shù)學專業(yè)的學生來說不作要求，但有條件的院校學生還可以通過Matlab軟件對以上方程進行數(shù)值求解。

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