常 理
(華南理工大學(xué)廣州學(xué)院 物理實(shí)驗(yàn)中心,廣東 廣州 510800)
駐波實(shí)驗(yàn)是大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)的一個(gè)重要組成部分,可以讓學(xué)生對(duì)駐波形成條件、橫波產(chǎn)生與傳播等形象直觀地理解,是力學(xué)演示實(shí)驗(yàn)的重要內(nèi)容之一。駐波實(shí)驗(yàn)研究種類多,如驗(yàn)證頻率與波長(zhǎng)的關(guān)系、驗(yàn)證波長(zhǎng)與張力的關(guān)系、平面駐波和立體駐波判別、“二分頻“現(xiàn)象等等。各類研究都離不開駐波實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)理論,只有有效掌握基礎(chǔ)理論,方可對(duì)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行清晰合理的解釋和有效的改進(jìn)。如在頻率測(cè)量中,弦線與音叉臂平行共振或者是垂直共振是最常見的兩種實(shí)驗(yàn)方案,實(shí)驗(yàn)中用平行共振方法可以得到的駐波的頻率與音叉的振動(dòng)頻率相同,而用垂直共振法得到的駐波的頻率僅有音叉的振動(dòng)頻率的50%,這種“二分頻”現(xiàn)象如何讓學(xué)生利用基礎(chǔ)理論知識(shí)與物理規(guī)律去理解,是實(shí)驗(yàn)教學(xué)需要重點(diǎn)探討的問題。
駐波的形成是張緊的弦線在電振音叉的帶動(dòng)下發(fā)生振動(dòng),促使得入射波形成,再在弦線的支撐點(diǎn)滑輪時(shí)發(fā)生反射,從而促使反射波也形成,在迭加的情況下,當(dāng)達(dá)到某一條件就可以發(fā)生共振,形成駐波,其方程為:
在x=0處,y=0,由1-1式可得,當(dāng)?shù)竭_(dá)反射條件時(shí),可知在弦線的另一端必定出現(xiàn)另一個(gè)節(jié)點(diǎn),即有:
由1-1和1-2式可知,在駐波地弦線上形成時(shí),弦線長(zhǎng)度l必定是半波長(zhǎng)n倍(n為整數(shù)),所以,駐波實(shí)驗(yàn)可以用于測(cè)試波長(zhǎng)。
橫波傳播理論主要討論傳播速度與波長(zhǎng)。設(shè)x軸為正方向傳播,若橫波地張緊的弦線上向正方向傳播,取某一小段作AB=ds為研究對(duì)象。設(shè)弦線的線密度用ρ表示,弦線質(zhì)量用ρds表示,AB的張力分別為TA、TB,與沿弦線切線方向一致,與正方向x軸的交角分別是?A、?B角。一般情況下,橫波在沿線上傳播時(shí),x方向并無(wú)明顯的振動(dòng),因此,在AB段上的張力分量為0,可以得:
由力學(xué)知識(shí)可得在y方向AB的運(yùn)動(dòng)方程為:
在AB段發(fā)生的小振動(dòng),?A、?B比較小,可以認(rèn)為 ds≈dx,cos?A=cos?B=1,sin?A=tg?A,sin?B=tg?B,可導(dǎo)數(shù)的幾何意義可以得到:
由1-4與1-5式可知,TA=TB,這就說(shuō)明了弦線的張力比較穩(wěn)定,不隨時(shí)間和地點(diǎn)變化而變化,設(shè)弦線張力為T,有:
由泰勒級(jí)數(shù)展開式推導(dǎo)可得:
由1-8式可知,波長(zhǎng)λ在橫波傳播速度v、線密度ρ及張力T都知道的情況下,可以直接求解得出,波長(zhǎng)隨著張力變化而變化,并可利用1-2式進(jìn)行驗(yàn)證。
下圖為弦線與音叉臂平行共振及垂直共振實(shí)驗(yàn)圖。當(dāng)弦線處在a位置時(shí),而且保持張力為一定的值,就可以通過調(diào)整弦長(zhǎng)來(lái)觀察駐波的波形。根據(jù)下圖下示,通過變換方位對(duì)來(lái)實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象進(jìn)行分析。
在0-a方向上,通過調(diào)節(jié)得出弦長(zhǎng)是半波長(zhǎng)的偶數(shù)倍且駐波穩(wěn)定時(shí),保持張力和弦長(zhǎng)不改變,通過逐漸增大θ,波形穩(wěn)定之后,此時(shí)觀察到水平方向與豎直方向的波長(zhǎng)比是1:2,同期也是1:2,當(dāng)張力和弦長(zhǎng)發(fā)生改變時(shí),弦上就會(huì)生產(chǎn)一些復(fù)雜的波形。
通過以上的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象,我們可以得出,當(dāng)弦線在音叉的擺動(dòng)下,容易產(chǎn)生擺動(dòng)與拉伸的效果,并且產(chǎn)生對(duì)應(yīng)的二駐波,在迭加的情況下,產(chǎn)生了復(fù)雜的駐波。在滿足實(shí)驗(yàn)要求時(shí),二駐波波長(zhǎng)為1:2,與水平方向與豎直方向波長(zhǎng)比相吻合。由實(shí)驗(yàn)圖可知,音叉在水平方向上擺動(dòng),這樣駐波的形成必定是水平平面;而橫波的形成主要是由于重力作用,因此駐波的形成必定為垂直平面,水平和豎直兩個(gè)不同方向觀察的波形是1:2。在偏離實(shí)驗(yàn)條件情況下,弦線的擺或者是拉伸沒同時(shí)滿足形成駐波條件,此時(shí)就會(huì)出現(xiàn)迭加復(fù)雜的平面波。
由于音叉擺動(dòng)是產(chǎn)生橫波的源頭,因此,要獲得穩(wěn)定的駐波,調(diào)整弦長(zhǎng)也是一個(gè)很好的方法,但這方法與普通的方法存在著較大的區(qū)別,可以在同一平面上的兩個(gè)幅度差異比較大的垂直振動(dòng)進(jìn)行拉伸,從而影響主駐波。當(dāng)弦線換成0-a,0-d時(shí),也可以產(chǎn)生駐波,但最主要是以叉水平運(yùn)動(dòng)為主,更改后變化不大。因此,可以得出音叉擺動(dòng)同時(shí)作用于水平弦線的與垂直平面弦線,但通是以水平分量為主,垂直分量成為了影響主駐波的重要因素,等垂直分量明顯時(shí),弦上的波形就越復(fù)雜。
在上述實(shí)驗(yàn)中,當(dāng)弦線與張力滿足一定條件時(shí),就會(huì)看到弦線產(chǎn)生比較穩(wěn)定而清晰的共振駐波,設(shè)固定端為波節(jié)。在實(shí)驗(yàn)中,如果弦線與音叉臂發(fā)生平行共振且形成駐波的半波數(shù)為偶數(shù),那么,在不改變其他條件時(shí),讓弦線與音叉臂垂直,可以看到狀態(tài)依然是共振狀態(tài),而且線上半波數(shù)變成了原來(lái)的一半,共振頻率僅是原來(lái)的一半,這就是“二分頻”現(xiàn)象。
針對(duì)“二分頻”現(xiàn)象,解釋有兩種方法,一是根據(jù)基本的物理規(guī)律透過現(xiàn)象看物理本質(zhì),作出一定的解決;二是通過數(shù)值演示,讓學(xué)生在過程中受到啟發(fā)。由振動(dòng)與波動(dòng)理論可知,形成共振駐波有兩個(gè)條件,一是音叉的作用力對(duì)弦線做正功,二是弦線長(zhǎng)度應(yīng)當(dāng)是波長(zhǎng)的整數(shù)倍?,F(xiàn)通過數(shù)值模似方法來(lái)對(duì)“二分頻”現(xiàn)象進(jìn)行解釋。由受迫振動(dòng)條件可知,在音叉給弦線的驅(qū)動(dòng)力對(duì)系統(tǒng)不斷做功,使得系統(tǒng)能量不斷得以補(bǔ)充,從而產(chǎn)生共振駐波。此時(shí)的系統(tǒng)參數(shù)會(huì)發(fā)生系列變化,在重力和張力的作用下,法碼的單擺擺長(zhǎng)也呈現(xiàn)出與時(shí)間的致的規(guī)律,關(guān)系如下式。
化簡(jiǎn)得:
式中的參數(shù)β會(huì)隨著時(shí)間的改變而發(fā)生變化,由推導(dǎo)得出:
從以上式中看出,3-2式顯然是一個(gè)非線性的微分方程,解決過程非常復(fù)雜,對(duì)于獨(dú)立學(xué)院非數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生來(lái)說(shuō)不作要求,但有條件的院校學(xué)生還可以通過Matlab軟件對(duì)以上方程進(jìn)行數(shù)值求解。
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