張 惠，趙 春

（天津師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，天津300387）

生物種群對(duì)人類具有十分重要的價(jià)值，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)考慮年齡結(jié)構(gòu)的種群進(jìn)行了系統(tǒng)研究，并取得了豐碩的成果[1-3].但關(guān)于帶有Size結(jié)構(gòu)種群系統(tǒng)的研究并不多.所謂個(gè)體Size是指表征個(gè)體的一些指標(biāo)，如長(zhǎng)度、體積、直徑等.1967年，Sinko等首先提出了具有Size結(jié)構(gòu)的種群模型[4]，引起了相關(guān)學(xué)者的廣泛關(guān)注.文獻(xiàn)[5—7]應(yīng)用特征方程的方法分別討論了幾種不同的Size結(jié)構(gòu)模型的穩(wěn)定性；文獻(xiàn)[8]應(yīng)用算子半群方法研究了一類Size結(jié)構(gòu)解的正則性和穩(wěn)定性；文獻(xiàn)[9]利用算子半群理論對(duì)幾類模型進(jìn)行了分析.文獻(xiàn)[6]和[7]分別討論了帶有收獲和遷移的具有Size結(jié)構(gòu)種群模型，證明了模型平衡解的存在唯一性，并利用特征方程給出了平衡解的穩(wěn)定性條件.而這些模型都是具有Size結(jié)構(gòu)的單種群模型，本研究考慮如下帶有Size結(jié)構(gòu)競(jìng)爭(zhēng)種群模型：

其中：Q=[0，G]×[0，∞]；固定常數(shù)G＞0表示個(gè)體的最大Size；pi（s，t）表示第i個(gè)種群在t時(shí)刻Size為s的種群密度；ki（s）為第i個(gè)種群個(gè)體的增長(zhǎng)率；Pi（t）表示在t時(shí)刻第i個(gè)種群的總量；βi（s，Pi（t））、μi（s，P1（t），P2（t））分別表示依賴于種群總量的出生率、死亡率；fi（s）表示第i個(gè)種群個(gè)體遷移；i=1，2.

本研究假設(shè)：

（H1）對(duì)任意的s∈[0，G]，f（is）＞0，f（i·）∈L1[0，G]，且f（is）為連續(xù)函數(shù)；

（H2）對(duì)任意的并且 μi關(guān)于第2、第3變量Lipschitz連續(xù)，即存在L＞0，使得對(duì)所有的 s∈[0，G]都成立；

（H3）對(duì)任意的x∈[0，∞），0≤β（is，x）＜ ∞，β（i·，x）∈L1[0，G]，并且 βi關(guān)于x單調(diào)遞減并且Lipschitz連續(xù)，即

對(duì)所有的s∈[0，G]都成立，其中L同（H2）中定義；

（H4）對(duì)任意的s∈[0，G]，0＜k（is）＜ ∞，k（is）連續(xù)可微且

（H5）對(duì)任意的s∈[0，G]，0≤p0i（s）≤Mi，i=1，2，Mi為常數(shù).

若模型（1）有一個(gè)平衡解p*（s）=（p1*（s），p2*（s）），則該平衡解滿足如下方程組：

由方程組（2）的第1個(gè)方程可得

將式（4）帶入方程組（2）的第2個(gè)和第3個(gè)式子可得（i=1，2）

1 平衡解的存在唯一性

易知引理1成立.

引理1若方程組（5）存在唯一的正解（p（*0），P*），則系統(tǒng)（1）存在唯一非平凡平衡態(tài)p（*s）.

引理2 設(shè)（H4）成立，則存在常數(shù)、，使得pi（*0）、Pi*滿足

證明 由方程組（5）的第1式可得

由上式可得

故有

由方程組（5）的第2式可得

引理得證.

定義范數(shù)‖A‖=|a11|+|a12|+|a21|+|a22|.

引理 3 定義映射，Φ：Ω?R4→R4，ΦA(chǔ)=Y，則存在某個(gè)常數(shù) M，使得?A1，A2∈Ω，有‖ΦA(chǔ)1-ΦA(chǔ)2‖≤M‖A1-A2‖，其中

證明 由于A∈Ω，則有

其中 N11、N12、N21、N22如引理中定義.令 M=max{N11，N12，N21，N22}，由 R4上范數(shù)定義知

‖Y1-Y2‖=‖ΦA(chǔ)1- ΦA(chǔ)2‖≤M‖A1-A2‖引理得證.

2 特征方程

先將系統(tǒng)（1）線性化，將μi（s，P1（t），P2（t））Taylor展開(kāi)，省略高階項(xiàng)，有

μi（s，P1（t），P2（t））=μi（s，P1*，P2*）+μ′iP1（s，P1*，P2*）（P1（t）-P1*）+μ′iP2（s，P1*，P2*）（P2（t）-P2*）由模型（1）的第1式可得

同理，將βi（s，Pi（t））Taylor展開(kāi)，并將pi（s，t）=ui（s，t）+pi*（s）代入模型（1）的第2個(gè)式子和方程組（2）的第2個(gè)式子，可得

對(duì)式（16）求解，可得Ui（s）的表達(dá)式：

由式（19）～式（22）可得

對(duì)式（23）作變換.將其第1式乘以A33（λ1）-1，第3式乘以A13（λ1），并將二者作差，得

將式（23）的第2式乘以A44（λ2）-1，第4式乘以A24（λ2），并將二者作差，得

方程組（24）存在非平凡平衡解，當(dāng)且僅當(dāng)其系數(shù)行列式為0.

由上述討論可得如下定理：

定理2線性系統(tǒng)（14）和（15）存在唯一形式解ui（s，t）=Ui（s）eλit，當(dāng)且僅當(dāng)λ1、λ2是特征方程

的解.

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