☉湖北省武漢市黃陂區(qū)第一中學(xué) 翁華木

一道好的高考試題，往往呈現(xiàn)出形式獨特、內(nèi)涵深刻、給人啟迪的經(jīng)典，凝聚了命題者的智慧.剛剛落下帷幕的2013年湖北省高考理科數(shù)學(xué)第19題就是這樣的一道好題，命題風(fēng)格上保持適度創(chuàng)新，規(guī)避題型套路，既有探究結(jié)論關(guān)系的判斷，又有揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)的推理，吸引著解答者探究與思考.下面給出筆者對本道高考試題探究的親歷過程，與大家交流.

一、題目展現(xiàn)

如圖1，AB是圓O的直徑，點C是圓O上異于A，B的點，直線PC⊥平面ABC，E，F(xiàn)分別是PA，PC的中點.

（Ⅰ）記平面BEF與平面ABC的交線為l，試判斷直線l與平面PAC的位置關(guān)系，并加以證明.

圖1

初讀試題，創(chuàng)新的命題風(fēng)格撲面而來：沒有了常見的棱柱體，也不是熟知的三棱錐.命題圖形的設(shè)計，給出的是一個組合體，其中下底面是一個圓形，圓形的上面是一個內(nèi)涵豐富的三棱錐.問題求解的設(shè)計，一是判斷線面關(guān)系并加以證明，需要解答者結(jié)合圖形進行探究，增加了思維的難度；二是求證三角函數(shù)等式成立，即體現(xiàn)了立體幾何和三角函數(shù)知識的交匯，而頗具創(chuàng)意地將空間的三類角（即異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角的平面角）融合在同一道題目之中，增添了解題的智慧.

二、解題探究

讀著題目的條件，盯著給出的圖形，想著解題的方向，兩個思維的疑點很快在腦海里浮現(xiàn)，揮之不去，成為突破問題解答的焦點.

1．涉及兩個平面相交的公共直線在哪里

本題第（Ⅰ）問是判斷直線l與平面PAC的位置關(guān)系，而直線l是平面BEF與平面ABC的交線，由命題者給出的幾何圖形我們看到，平面BEF與平面ABC只有一個交點B.解題者的第一個感覺是：平面BEF與平面ABC的交線l在哪里？

（1）回歸課本——尋源

展開思維聯(lián)想，搜索知識儲備，人教社教材《數(shù)學(xué)2·必修》（A版）第二章“點、直線、平面之間的位置關(guān)系”中的公理3立刻跳躍出來：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線.

根據(jù)公理3，我們找到了平面BEF與平面ABC的交線l，它是定位在過兩個平面的公共點B的一條公共直線.

（2）嘗試解答——判斷

面對幾何圖形，提取有效信息，由題設(shè)條件E，F(xiàn)分別是PA，PC的中點，可知EF是△PAC的中位線，在已有的解題經(jīng)驗中，中位線知識給出的是平行信息.經(jīng)過嘗試和推理，不難發(fā)現(xiàn)問題的結(jié)論：直線l∥平面PAC.

下面的解題思路就是利用空間的線面平行關(guān)系，推證這個結(jié)論的成立.

解析：（Ⅰ）直線l∥平面PAC，證明如下：

如圖2，連接EF，BE，BF.

因為E，F(xiàn)分別是PA，PC的中點，所以EF∥AC.

又EF?平面ABC，且AC?平面ABC，所以EF∥平面ABC.

而EF?平面BEF，且平面BEF∩平面ABC=l，所以EF∥l.

圖2

因為l?平面PAC，EF?平面PAC，所以直線l∥平面PAC.

2．關(guān)聯(lián)三角函數(shù)等式的幾何模型在哪里

本題第（Ⅱ）問是證明涉及三個空間角的三角函數(shù)等式sinθ=sinαsinβ成立，其中θ是直線PQ與平面ABC所成的角，α是異面直線PQ與EF所成的角，β是二面角E-l-C的平面角.解題者的第二個感覺是：三角函數(shù)等式涉及空間的三個角，那么關(guān)聯(lián)這三個角的空間幾何模型在哪里？

（1）定格幾何模型

立體幾何中關(guān)于空間角的三角函數(shù)等式的證明，常見的解題方法是在一個空間幾何模型中，每一個空間角都有一個對應(yīng)的直角三角形（或任意三角形），通過三角形中三角函數(shù)關(guān)系式的對應(yīng)邊之間的分拆與轉(zhuǎn)換，可以找到它們之間的恒等關(guān)系.例如下面的空間幾何圖形和結(jié)論是典型的：

如圖3，已知PA，PB分別是平面M的垂線和斜線，在平面M內(nèi)，過斜足B引一條直線BC，且作AC⊥BC于點C，連接PC，設(shè)∠PCA=θ，∠PBA=α，∠PBC=β，∠ABC=γ，則有

圖3

不難發(fā)現(xiàn)，在這個幾何模型中，四面體P-ABC是一個特殊的幾何體，構(gòu)成它的四個面都是直角三角形，有利于空間角對應(yīng)的三角函數(shù)關(guān)系式的建立和線段間的轉(zhuǎn)換.

回到考題給出的圖形，結(jié)合對應(yīng)的空間三個角，不難發(fā)現(xiàn)涉及三個空間角關(guān)聯(lián)的空間幾何體模型就是三棱錐F-BCD，它也是一個特殊的四面體，構(gòu)成它的四個面同樣都是直角三角形.

（2）定位空間角度

找到了問題求解的空間幾何體模型之后，接下來的任務(wù)就是把題設(shè)條件給出的三個空間角定位在對應(yīng)的空間幾何模型之中.這個解題的過程中必須做到兩點：一是準確作出對應(yīng)的空間角，二是證明所作出的空間角符合題設(shè)條件的要求.

下面的解題過程就是作出對應(yīng)的空間角，證明三角函數(shù)等式的成立.

解析：（Ⅱ）如圖4，連接BD，由（Ⅰ）可知交線l即為直線BD，且l∥AC.

因為AB是⊙O的直徑，所以AC⊥BC，于是l⊥BC.

已知PC⊥平面ABC，而l?平面ABC，所以PC⊥l.

圖4

而PC∩BC=C，所以l⊥平面PBC.

連接BE，BF，因為BF?平面PBC，所以l⊥BF，

故∠CBF就是二面角E-l-C的平面角，即∠CBF=β.

連接PQ，DF，因為F是CP的中點，CP=2PF，所以DQ=PF.

從而四邊形DQPF是平行四邊形，PQ∥FD.

連接CD，因為PC⊥平面ABC，所以CD是FD在平面ABC內(nèi)的射影.

故∠CDF就是直線PQ與平面ABC所成的角，即∠CDF=θ.

又BD⊥平面PBC，由BD⊥BF，知∠BDF為銳角，故∠BDF就是異面直線PQ與EF所成的角，即∠BDF=α.

于是在Rt△DCF，Rt△FBD，Rt△BCF中，分別可得

本題第（Ⅱ）問還可以用向量法給出證明，本文從略.

如果將上面（*）式的形式改寫成sinα=sinβsinθ，并將其中的空間角與高考題中的空間角作一個對應(yīng)，可以發(fā)現(xiàn)它與高考題所要證明的三角函數(shù)等式其實是同一個結(jié)論.再回到圖形上，對比兩個空間幾何體，發(fā)現(xiàn)它們只是從不同的視角畫出的同一個空間幾何模型.至此，我們找到了2013年湖北省高考理科數(shù)學(xué)第19題的命題之源.

三、教學(xué)感悟

賞析2013年湖北省高考理科數(shù)學(xué)第19題，樸實中透視著鮮明的課改理念，平淡中顯示著明確的課改方向，為立足教學(xué)一線的教師，留下更多的回味與思考.

1.追求創(chuàng)新，為有效課堂引入活力

新課程教育理念給我們的課堂教學(xué)提出了創(chuàng)新的教學(xué)模式.高三的復(fù)習(xí)備考，傳統(tǒng)的“題?！睉?zhàn)術(shù)，“時間”加“汗水”的付出，在應(yīng)對新課程理念指導(dǎo)下的新高考命題時已經(jīng)顯出了力不從心的病態(tài).“基礎(chǔ)與能力并重，穩(wěn)定與創(chuàng)新兼顧，應(yīng)用與文化并舉”是湖北省兩年來新課程高考數(shù)學(xué)命題的特色，我們必須從根本上反思教學(xué)行為，創(chuàng)新教學(xué)方法，真真切切地落實高效課堂，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課中，每一節(jié)課教師選用的例題不在多，經(jīng)典就行.通過對經(jīng)典數(shù)學(xué)問題背景的探究，力爭做到追根索源，對經(jīng)典數(shù)學(xué)問題的解答，不僅強調(diào)結(jié)果，更要強調(diào)過程，揭示其數(shù)學(xué)問題的本質(zhì).正是由于平時教學(xué)中有對經(jīng)典數(shù)學(xué)問題的探究習(xí)慣，才使我們在解題的過程中，挖掘出了2013年湖北省高考理科數(shù)學(xué)第19題的命題背景.

2.提煉信息，為有效思維指明方向

從信息論的觀點來看，求解數(shù)學(xué)問題的過程，首先是對源信息的提取，然后是對信息進行變換（處理、決策），最后是對信息的反饋進行處理.面對高考試題，解答者必須首先做到快速地提取有利于問題求解的條件信息、圖形信息，然后鎖定思維，聯(lián)想課本上歸納的性質(zhì)、定理、公式，或相似的典型例題對應(yīng)的解題思想與方法，這樣才能尋求問題解答的突破口.

在前面探求試題解答的過程中，由條件E，F(xiàn)分別是PA，PC的中點，聯(lián)想到了三角形的中位線性質(zhì)，從而推理出了線面平行的判斷.在這個從信息提取到問題解答的思維過程中，由“中點”聯(lián)想到“中位線”，再推理出“線面平行”的判斷，得益于對有效信息的提煉.

3．積累經(jīng)驗，為有效解題提供保障

新課標(biāo)明確提出了使學(xué)生獲得數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗的目標(biāo)要求.在高考高度緊張的情況下，如果沒有平時解題經(jīng)驗的積淀，完全依靠考試時的“隨機應(yīng)變”設(shè)計出解題方法，或者試圖通過觀察思考突發(fā)奇想得到特殊的“巧法妙招”，既無法對一個全新的試題解法以及在解答過程中出現(xiàn)的困難做出預(yù)測，又無法預(yù)知自己設(shè)計的方法是否能夠得到正確答案，往往會出現(xiàn)“做到哪里算哪里”的被動局面.因此，歸納解題范式，積累解題經(jīng)驗是成功解答高考試題的有效做法.