☉江蘇省海門(mén)市包場(chǎng)高級(jí)中學(xué) 錢(qián) 斌

解析幾何中有一些問(wèn)題是比較獨(dú)特的，比如圓系知識(shí)必需是在兩圓有交點(diǎn)的前提下才能運(yùn)用，否則圓系是沒(méi)有意義的；共頂點(diǎn)的橢圓、雙曲線和拋物線恰好存在著實(shí)虛根之間的巧妙轉(zhuǎn)化，筆者對(duì)這些虛虛實(shí)實(shí)、實(shí)實(shí)虛虛的問(wèn)題做過(guò)一些探究，現(xiàn)將此整理成文請(qǐng)讀者一起來(lái)化虛為實(shí)，探索虛根的含義．

一、圓與雙曲線的辯證認(rèn)識(shí)——兩圓無(wú)交點(diǎn)時(shí)的圓系

例1（人教A版數(shù)學(xué)必修2習(xí)題A組第10題）求經(jīng)過(guò)兩圓x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交點(diǎn)，并且圓心在直線x-y-4=0上的圓方程.

變式： 求經(jīng)過(guò)兩圓C1：x2+y2=1，C2：（x-4）2+y2=1的交點(diǎn)，并過(guò)（0，0）點(diǎn)的圓方程.（注意：此兩圓是無(wú)交點(diǎn)的）

誤解：設(shè)所求圓方程為：

圖1

總結(jié)：經(jīng)過(guò)筆者驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)兩圓內(nèi)含時(shí)，也存在上述現(xiàn)象.通過(guò)上述分析，當(dāng)兩圓無(wú)交點(diǎn)時(shí)（相離、內(nèi)含），此時(shí)圓系方程不能表示實(shí)體圓存在，但此時(shí)共頂點(diǎn)雙曲線系方程必過(guò)此（虛）交點(diǎn)，從復(fù)數(shù)范圍來(lái)說(shuō)，代數(shù)方法將虛和實(shí)統(tǒng)一在二元二次方程中了！筆者將上述現(xiàn)象稱為虛圓系.因此，筆者總結(jié)了下列定理（虛圓系定理）：

二、橢圓與雙曲線的辯證認(rèn)識(shí)——對(duì)一個(gè)離心率問(wèn)題的探索

解析：這是非常普通的一道離心率定值問(wèn)題，但其背后隱藏著對(duì)圓錐曲線辯證統(tǒng)一的認(rèn)知.先看兩個(gè)解法：

圖2

分析：很明顯，解法2是錯(cuò)誤的！因?yàn)閤1x2=-a2可知兩根異號(hào)，但實(shí)際圖中兩根均為正根，所以解法2是錯(cuò)誤的.對(duì)于這類問(wèn)題，很多教師都是用幾何法處理的，但有些學(xué)生選擇的是代數(shù)法，教師該如何闡釋緣由呢？為了解釋清晰，筆者先引入一個(gè)定義和引理.

引理：實(shí)系數(shù)方程ax2+bx+c=0與ax2-bx+c=0的根互為相反數(shù).

證明：（1）a=0時(shí)，引理顯然成立；

圖3

（1）雙曲線與拋物線的交點(diǎn).

（2）橢圓與拋物線的交點(diǎn).

綜合上述（1）和（2），對(duì)“共頂點(diǎn)橢圓雙曲線”來(lái)說(shuō)，它們與拋物線y2=2px（p>0）的交點(diǎn)恰好是實(shí)根與虛根的互換.

辨析：現(xiàn)在可以解釋為什么例2的解法2是錯(cuò)誤的：

三、系統(tǒng)高度辯證認(rèn)知

（1）從學(xué)生的角度而言，筆者認(rèn)為學(xué)生的思維往往比較直接，給什么做什么是大部分學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的基調(diào).以本文第2個(gè)問(wèn)題而言，有些學(xué)生解決本題的思維傾向于代數(shù)方式，采用聯(lián)立方程和韋達(dá)定理，殊不知二元二次方程中虛根的存在，在問(wèn)題的背后深深隱藏著學(xué)生對(duì)“以數(shù)解形”完備性認(rèn)知的缺乏，同時(shí)也讓學(xué)生深刻理解“以數(shù)解形”在這樣問(wèn)題中的優(yōu)越性，值得教師教學(xué)多加滲透和予以關(guān)注.

（2）從教師的角度而言，這樣的問(wèn)題有利于開(kāi)拓學(xué)生的視野和培養(yǎng)其創(chuàng)新的思維，值得在這樣的探究性問(wèn)題上多下功夫，平時(shí)教學(xué)中，筆者覺(jué)得“以形輔數(shù)”（幾何法，使用相對(duì)較多）很輕快、較簡(jiǎn)潔、便于教學(xué)，但是不足之處在于只能就題論題；而“以數(shù)解形”（代數(shù)法）往往站在了系統(tǒng)的高度，很完美、較復(fù)雜、但散發(fā)出問(wèn)題的本質(zhì)；傳授知識(shí)時(shí)，我們應(yīng)該毫無(wú)疑問(wèn)的多選擇幾何法，但對(duì)于自身優(yōu)秀的學(xué)生而言，也要注重“以數(shù)解形”對(duì)圓錐曲線是一個(gè)統(tǒng)一體的本質(zhì)理解！

（3）筆者想起人教A版中圓錐曲線的章頭圖，何為“圓錐曲線”呢？當(dāng)然是用一個(gè)截面截圓錐而成的！通過(guò)特定角度切割圓錐體表面得到圓、橢圓、拋物線、雙曲線這四種曲線.其實(shí)用統(tǒng)一的眼光來(lái)看，它們本身是一個(gè)整體.其差別在于用截面的角度帶來(lái)了圓錐曲線離心率的不同，但是e＞1和0≤e＜1之間有著完美的對(duì)稱.用統(tǒng)一的代數(shù)語(yǔ)言——方程Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0就是對(duì)他們最完美的詮釋！

（4）從思想方法的角度而言，圓錐曲線問(wèn)題滲透出的主要數(shù)學(xué)思想方法便是數(shù)形結(jié)合思想.有時(shí)形優(yōu)于數(shù)，有時(shí)則恰恰相反，這需要教師通過(guò)各種問(wèn)題對(duì)學(xué)生進(jìn)行經(jīng)驗(yàn)的積累.

將文中的例1用二次曲線系闡述：過(guò)兩圓錐曲線A1x2+B1y2+C1xy+D1x+E1y+F1=0和A2x2+B2y2+C2xy+D2x+E2y+F2=0交點(diǎn)的曲線系方程，設(shè)為：A1x2+B1y2+C1xy+D1x+E1y+F1+λ（A2x2+B2y2+C2xy+D2x+E2y+F2）=0，這樣我們就站在系統(tǒng)的高度認(rèn)識(shí)了圓系！其實(shí)圓系就是二次曲線系的一種特殊情形.雙曲線系也在其中，文中的虛圓系正是如此！難怪，兩圓無(wú)交點(diǎn)，圓系也能求解了！通過(guò)文中的兩個(gè)問(wèn)題的探索，多方聯(lián)系，渾然一體，虛實(shí)結(jié)合，妙探虛知！