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        貝特朗悖論與隨機(jī)模擬方法

        2013-07-25 09:28:02湖北省鄂州市吳都中學(xué)
        中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2013年13期
        關(guān)鍵詞:樣本空間概型貝特

        ☉湖北省鄂州市吳都中學(xué) 吳 超

        ☉鄂州市新民街小學(xué) 阮宏蘭

        在中學(xué)概率統(tǒng)計部分的學(xué)習(xí)中,幾何概型問題看似簡單,卻又不好把握.解決幾何概型問題的關(guān)鍵在于問題的轉(zhuǎn)化:準(zhǔn)確地構(gòu)造出可度量的有限幾何區(qū)域(樣本空間).特別要注意的是無限性、等可能性、有限性在解決問題中的體現(xiàn).在本文中我們用隨機(jī)模擬方法來討論幾何概型問題.

        隨機(jī)模擬方法是利用計算機(jī)或者計算器模擬試驗(yàn)從而計算事件發(fā)生概率的一種方法.在模擬試驗(yàn)過程中我們會重復(fù)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)模擬事件是否發(fā)生.利用事件發(fā)生的頻率作為事件發(fā)生概率的近似估計.這里的隨機(jī)數(shù)是在一定范圍內(nèi)產(chǎn)生的數(shù),并且得到這個范圍中的任一個數(shù)的機(jī)會是均等的.因此對幾何概型中事件發(fā)生的概率計算可以用隨機(jī)模擬方法實(shí)現(xiàn).下面我們用歷史上著名的貝特朗悖論來說明這個問題.

        1899年,法國學(xué)者貝特朗提出了所謂“貝特朗悖論”:從一圓內(nèi)所有的弦中任意取一條弦,求該弦的長度大于圓內(nèi)接正三角形邊長的概率.

        一、問題分析

        二、問題轉(zhuǎn)化

        考慮用計算機(jī)或者計算器模擬這個試驗(yàn):從單位圓中任意取一條弦,則如何確定弦的位置?

        情形1 弦由它在圓周上的兩個端點(diǎn)確定

        此時認(rèn)為弦的兩個端點(diǎn)可以分別在單位圓周上等可能地選取.而單位圓周的周長為2π,在圓周上任取一點(diǎn)為0點(diǎn),沿順時針方向定義任一點(diǎn)的位置為該點(diǎn)到0點(diǎn)的距離.不妨設(shè)兩個端點(diǎn)在單位圓周上的位置為x和y,如圖1,則事件A等價于:

        圖1

        圖2

        計算器或計算機(jī)模擬步驟如下:

        (1)產(chǎn)生兩組0~1區(qū)間的均勻隨機(jī)數(shù)(共有N對):x1=RAND,y1=RAND;

        (2)經(jīng)伸縮變換:x=x1×2π,y=y1×2π;

        試驗(yàn)次數(shù)為10000時模擬事件發(fā)生的概率近似值為0.3373.

        情形2 弦由它的中點(diǎn)確定

        圖3

        計算器或計算機(jī)模擬步驟如下:

        (1)產(chǎn)生兩組0~1區(qū)間的均勻隨機(jī)數(shù),x1=RAND,y1=RAND;

        (2) 經(jīng)平移和伸縮變換得到,x=(x1-0.5)×2,y=(y1-0.5)×2;

        試驗(yàn)次數(shù)為10000時模擬事件發(fā)生的概率近似值為0.2563.

        圖4

        計算器或計算機(jī)模擬步驟如下:

        (1)產(chǎn)生一組0~1區(qū)間的均勻隨機(jī)數(shù)(共有N個),x=RAND;

        試驗(yàn)次數(shù)為10000時模擬事件發(fā)生的概率近似值為0.4984.

        結(jié)果分析:

        同一問題由于對等可能性的不同解讀導(dǎo)致有三種不同答案,相應(yīng)的樣本空間也不相同.具體如下:情形1中假定弦的兩個端點(diǎn)在圓周上等可能地選取,圓周上任意選取的兩個點(diǎn)組成樣本空間Ω1;情形2.1中假定弦的中點(diǎn)在大圓內(nèi)等可能地選取,大圓內(nèi)任意選取的點(diǎn)組成樣本空間Ω2;情形2.2中假定弦的中點(diǎn)在半徑上均勻分布,半徑上任意選取的點(diǎn)組成樣本空間Ω3.

        由此可以看出:在解決幾何概型問題時如何選取合適的樣本空間將導(dǎo)致問題的結(jié)果迥然不同.不過由于貝特朗悖論本身是一個病態(tài)問題,因此這三種答案都不能認(rèn)為是錯誤的.其中最接近物理學(xué)原理的答案應(yīng)是情形2.1中的答案.

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