☉江蘇省泗陽縣實驗初級中學(xué) 吳曉波

刻度尺是學(xué)生如影相隨的作圖工具，殊不知現(xiàn)在活躍在了中考場上.它們先天具有的矩形外形以及測量功用在命題者的匠心下，盡顯其能，成為中考一道亮麗的風(fēng)景.由于工具的熟悉，自然縮短了學(xué)生與題目的心理距離，無形中提升了學(xué)生的解題興致.既然是學(xué)具，自然帶有“玩”的元素，在題目中介入給人原生態(tài)之感，知識的來龍去脈就蘊(yùn)藏在其中，可感可測，活潑靈動，妙趣橫生，故而備受命題者、解題者的青睞.現(xiàn)擷取近幾年的考題簡析，以饗讀者.

一、用刻度尺邊沿的直線性及對邊的平行性

例1（2011年內(nèi)江市）如圖1，把一塊直角三角板的直角頂點放在直尺的一邊上，如果∠1=32°，那么∠2的度數(shù)是（ ）.

A.32° B.58° C.68° D.60°

解析：根據(jù)三角板的特征知∠1+∠3=90°，又根據(jù)直尺對邊的平行特征知∠2=∠3=90°-∠1=90°-32°=58°.（或利用外角，請讀者思考）

點評：刻度尺的對邊邊沿是天然的一組平行線，本題依托直尺與三角板，考查互余關(guān)系、平行線的性質(zhì)或三角形的內(nèi)角和以及內(nèi)外角關(guān)系等.

圖1

圖2

例2（2010年東營市）如圖2，將三角尺的直角頂點放在直尺的一邊上，∠1=30°，∠2=50°，則∠3的度數(shù)等于（ ）.

A．50° B．30° C．20° D．15°

解析：利用直尺的對邊平行，可知∠4=∠2.根據(jù)三角形的內(nèi)外角關(guān)系，知∠4=∠1+∠3，則∠2=∠1+∠3，故∠3=∠2-∠1=50°-30°=20°.

點評：本題是平行線的性質(zhì)與外角定理的結(jié)合，充分利用了直尺的平行特征以及邊沿的直線特征.

二、用刻度尺的測量功能

例3（2012年四川達(dá)州市）數(shù)學(xué)課上，探討角平分線的作法時，李老師用直尺和圓規(guī)作角平分線，方法如下：

圖3

作法：①在OA和OB上分別截取OD、OE，使OD=OE；

③作射線OC.

則OC就是∠AOB的平分線.

小聰只帶了直角三角板，他發(fā)現(xiàn)利用三角板也可以作角平分線，方法如下：

步驟：①利用三角板上的刻度，在OA和OB上分別截取OM、ON，使OM=ON；

②分別過M、N作OM、ON的垂線，交于點P；

③作射線OP.

則OP為∠AOB的平分線.

圖4

小穎的身邊只有刻度尺，經(jīng)過嘗試，她發(fā)現(xiàn)利用刻度尺也可以作角平分線.

根據(jù)以上情境，解決下列問題：

①李老師用尺規(guī)作角平分線時，用到的三角形全等的判定方法是_________.

②小聰?shù)淖鞣ㄕ_嗎？請說明理由.

③請你幫小穎設(shè)計用刻度尺作角平分線的方法.（要求：作出圖形，寫出作圖步驟，不予證明）

解析：（1）要證明被分成的兩個角相等，只要證它們所在的△OEC與△ODC全等即可.由作圖過程可知，兩個三角形滿足三對對應(yīng)邊相等.

（2）小聰?shù)淖鞣ㄕ_.理由如下.

由PM⊥OM，PN⊥ON，

得∠OMP=∠ONP=90°.

在Rt△OMP和Rt△ONP中，

OP=OP，OM=ON，

則Rt△OMP≌Rt△ONP（HL）.

則∠MOP=∠NOP.

則OP平分∠AOB.

（3）如圖5所示.

圖5

步驟：①利用刻度尺在OA、OB上分別截取OG=OH；

②連接GH，利用刻度尺作出GH的中點Q；

③作射線OQ，則OQ為∠AOB的平分線.

點評：本題融操作、思辨、分析、判斷、邏輯推理于一體，把工具作圖與尺規(guī)作圖有機(jī)融合，在作圖過程中，全等三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用彰顯其中，帶有濃濃的數(shù)學(xué)本味.尤其第三問，凸顯刻度尺的測量功能，把角的平分線作出，拓寬了角平分線作圖的途徑，同時也拓寬了學(xué)生的思維視域.

例4（2010年臺灣省第二次中考）如圖6，直線l表示地圖上的一條直線型公路，其中A、B兩點分別表示公路上第140公里處及第157公里處.若將直尺放在此地圖上，使得刻度15、18的位置分別對準(zhǔn)A、B兩點，則此時刻度0的位置對準(zhǔn)地圖上公路的第幾公里處？

A.17 B.55 C.72 D.85

圖6

點評：本題借數(shù)軸之便，靈活地考查了比例的知識以及數(shù)軸上點的位置的確定，其中刻度尺發(fā)揮了橋梁作用，把數(shù)軸上的單位長度與公路距離巧妙鏈接.

三、用刻度尺的刻度與刻度尺的外形.

例5 （2012年南京市）如圖7，將45°的∠AOB按圖擺放在一把刻度尺上，頂點O與尺下沿的端點重合，OA與尺下沿重合，OB與尺上沿的交點B在尺上的讀數(shù)為2cm，若按相同的方式將37°的∠AOC放置在該尺上，則OC與尺上沿的交點C在尺上的讀數(shù)約為______cm.（結(jié)果精確到0.1cm，參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈1.80，tan37°≈0.75）

圖7

圖8

解析：如圖8，過點B作BD⊥OA于D，過點C作CE⊥OA于E.

在△BOD中，∠BDO=90°，∠DOB=45°，則BD=OD=2cm.則CE=BD=2cm.

OC與尺上沿的交點C在尺上的讀數(shù)約為2.7cm.

點評：刻度尺本身就是一個矩形，因此富有天然的線段、角的元素，蘊(yùn)含著各種關(guān)系.本題巧妙利用了刻度尺的刻度、寬度以及矩形的外觀等特征，在角的擺放中，有關(guān)線段、角的數(shù)據(jù)蘊(yùn)藏于刻度尺中，天然的對邊平行、寬度相等，為用三角函數(shù)計算線段長度提供了便利，在看似輕巧的一擺一放中嵌入了數(shù)學(xué)知識——等腰直角三角形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的定義、特殊角的三角函數(shù)值及解直角三角形等.一把尺子把它們凝聚在一起，和諧自然，充滿情趣.

例6（2012年六盤水市）當(dāng)寬為3cm的刻度尺的一邊與圓相切時，另一邊與圓的兩個交點處的讀數(shù)如圖9所示（單位：cm），那么該圓的半徑為________cm.

圖9

點評：本題是對尺子的度量功能、對邊平行特征的有效利用，如此設(shè)置避開了泛泛的文字說明，直觀明了，頗受師生的歡迎.

可見，這類題目把刻度尺與其他圖形有機(jī)鏈接，巧妙地將其自身的可用信息鑲嵌其中，渾然天成，在感知中增進(jìn)了體驗，有助于提升學(xué)生的悟性！