☉江蘇省洪澤縣實(shí)驗(yàn)中學(xué) 徐成祥

新課標(biāo)倡導(dǎo)“通過解決問題的反思，獲得解決問題的經(jīng)驗(yàn)”.數(shù)學(xué)教學(xué)離不開例題和習(xí)題，而教學(xué)中如何選擇例習(xí)題，從而挖掘教材潛在的智能價值，充分展示教學(xué)功能，并使課本知識有效地濃縮.通過不同角度、不同層次、不同情形、不同背景的變式，使一題多變，從而揭示不同知識點(diǎn)的聯(lián)系，使學(xué)生加深知識的理解與內(nèi)化，使知識系統(tǒng)化，克服某些思維定勢，發(fā)散學(xué)生思維，培養(yǎng)其思維的靈活性、全面性和創(chuàng)新性，提高學(xué)生解決實(shí)際問題和應(yīng)變的能力.

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，若能啟發(fā)學(xué)生從多角度，多渠道進(jìn)行廣泛的聯(lián)想，則能得到許多構(gòu)思巧妙、新穎獨(dú)特、簡捷有效的解題方法，對學(xué)生的多元思維培養(yǎng)、學(xué)習(xí)興趣的提高及獨(dú)創(chuàng)鉆研精神的發(fā)揮無疑是十分有利的.因此探求一些合理的、科學(xué)的命題方式對現(xiàn)階段來說不失為一劑良方．尤其是近年數(shù)學(xué)“動態(tài)型”問題在中考試題中小到填空、選擇題，大到綜合、推理題等大量涌現(xiàn)，給學(xué)生思維的鍛煉帶來了一股春風(fēng)，在廣大師生中獲得了良好的反映，激發(fā)了廣大教師對這類題的評價與研究.筆者長期參與初中數(shù)學(xué)教輔用書編寫和考試與評價研修的工作，下面結(jié)合教學(xué)實(shí)例談些粗淺看法，供讀者參考.

一、試題呈現(xiàn)，激發(fā)興趣

例題 （2012年泰州中考數(shù)學(xué)模擬）如圖1，⊙O1和⊙O2的半徑分別為1和3，連接O1O2交⊙O2于點(diǎn)P，O1O2=8，若將⊙O1繞點(diǎn)P按順時針方向旋轉(zhuǎn)360°，則⊙O1與⊙O2會相切________次.

圖1

圖2

思路點(diǎn)撥：應(yīng)用點(diǎn)O1、O2、P構(gòu)成三角形時，利用三角形的三邊關(guān)系，判斷圓心距與兩圓半徑的和或差的大小，當(dāng)兩圓圓心在同一直線上時，計算出圓心距的值并比較，注意相切包含內(nèi)切、外切兩種情況.

解：當(dāng)旋轉(zhuǎn)的角度不等于180°時（如圖2），O1P=5，O2P=3，構(gòu)成三角形，此時O1O2的取值范圍是5-3＜O1O2＜5+3，即2＜O1O2＜8，而當(dāng)O1O2=3+1=4時，外切，這樣的位置有兩個. 當(dāng)旋轉(zhuǎn)到180°（如圖3），O1O2=3-1=2，此時⊙O1與⊙O2內(nèi)切，所以共相切三次.

圖3

歸納總結(jié)：本題來源于人教版九上課本第99頁探究題，考查圓與圓的位置關(guān)系、旋轉(zhuǎn)變換和三角形三邊關(guān)系等知識，考查的是幾何圖形運(yùn)動、分析以及推理的基礎(chǔ)知識和基本技能.本題來源于課本，但高于課本.此題有⊙O1、⊙O2和線段O1O2三個基本元素，潛在價值很大：可以改變條件，探索結(jié)論；如把圓改為正方形、正三角形、矩形，把線段的長度改變，也可改為射線、直線；也還可以將整個圖形引入直角坐標(biāo)系中和函數(shù)聯(lián)系起來.這樣的借題發(fā)揮，加深知識間的聯(lián)系，融會貫通.

二、追根溯源，探究規(guī)律

1.課本例題

在新人教版九年級上24.2.3《圓與圓的位置關(guān)系》一節(jié)中出現(xiàn)以下探究題：

分別在兩張透明的紙上畫兩個半徑不同的⊙O1和⊙O2，把兩張紙疊合在一起，固定其中一張而移動另一張，你能發(fā)現(xiàn)⊙O1和⊙O2有幾種不同的位置關(guān)系？每種位置關(guān)系中兩圓有多少個公共點(diǎn)？

利用信息技術(shù)工具，可以畫出動態(tài)的圓形，方便研究圓和圓的位置關(guān)系，有條件的同學(xué)可以試一試.

分析：課本的例題是學(xué)生學(xué)習(xí)知識的橋梁、學(xué)習(xí)方法的探究、解題方法的示范，能起到貫通知識、歸納方法、熟練技能、培養(yǎng)能力和發(fā)展思維等作用.如何用好教材的例題資源，是教師用好教材的一個重要部分.

解：通過平移探究可以知道兩圓的位置關(guān)系有外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含的關(guān)系.

歸納總結(jié)：在教學(xué)中，不簡單地處理每一道題，不放過每一次提升學(xué)生思維能力的機(jī)會，這就是最大限度地用好教材、用活教材、創(chuàng)生教材.因此教師在教學(xué)中，要在認(rèn)真解讀教材的基礎(chǔ)上，充分挖掘教材資源，大力開發(fā)例題的資源，做到“小題大做”、“借題發(fā)揮”.讓學(xué)生在教師精心設(shè)計的數(shù)學(xué)練習(xí)中觸類旁通、觀微知著、自醒自悟，讓例題增值，達(dá)成學(xué)生對知識深刻的理解和靈活運(yùn)用.

2．小試牛刀

變式一：添加條件、增加探究結(jié)論.

如圖4，⊙O1和⊙O2的半徑分別為1和3，連接O1O2交⊙O2于點(diǎn)P，O1O2=8，若將⊙O1沿O1O2向右以每秒1個單位移動，則經(jīng)過________秒，⊙O1與⊙O2相切.

圖4

圖5

變式二：圖形改變、探究新結(jié)論.

如圖5，O2是等腰Rt△ABP斜邊上的中點(diǎn)，⊙O1的半徑分別為1，連接O1O2交⊙O2于點(diǎn)P，O1O2=8，若將⊙O1沿O1O2向右以每秒1個單位移動，則經(jīng)過_____秒，⊙O1與Rt△ABP的邊相切.

3.歸納總結(jié)

本題在條件改變中繼續(xù)探索其他結(jié)論，使不同層次的學(xué)生得到不同的發(fā)展，使學(xué)生經(jīng)歷獲得通過猜想到驗(yàn)證的解決問題方法，培養(yǎng)學(xué)生的探究能力和解決問題的能力.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，若能啟發(fā)學(xué)生從多角度，多渠道進(jìn)行廣泛的聯(lián)想則能得到許多構(gòu)思巧妙、新穎獨(dú)特、簡捷有效的解題方法，對學(xué)生的多元思維培養(yǎng)、學(xué)習(xí)興趣的提高以及獨(dú)創(chuàng)鉆研精神的發(fā)揮無疑是十分有利的.

三、中考真題，拾級而上

真題展示 （2011年寧波）如圖6，⊙O1的半徑為1，正方形ABCD的邊長為6，點(diǎn)O2為正方形ABCD的中心，O1O2垂直AB于P點(diǎn)，O1O2=8.若將⊙O1繞點(diǎn)P按順時針方向旋轉(zhuǎn)360°，在旋轉(zhuǎn)過程中，⊙O1與正方形ABCD的邊只有一個公共點(diǎn)的情況一共出現(xiàn)（ ）.

A.3次 B.5次 C.6次 D.7次

圖6

圖7

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系，正方形的性質(zhì).

分析：因?yàn)椤袿1的半徑為1，正方形ABCD的邊長為6，點(diǎn)O2為正方形ABCD的中心，O1O2垂直AB于P點(diǎn)，設(shè)O1O2交圓O1于M，所以PM=8-3-1=4.所以圓O1與以P為圓心、4為半徑的圓相外切.所以在旋轉(zhuǎn)過程中，⊙O1與正方形ABCD的邊只有一個公共點(diǎn)的情況一共出現(xiàn)5次.故選B.

歸納總結(jié)：從中考數(shù)學(xué)真題中，我們可以看到在考查學(xué)生基本運(yùn)算能力、思維能力的同時，對優(yōu)生還要著重考查學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識分析和解決問題的能力.如本題還可以改正方形為三角形（如圖7）等.因此，我們今后在數(shù)學(xué)教育教學(xué)中，應(yīng)設(shè)計一些可考查他們靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識分析和解決問題的習(xí)題，但不要人為編造繁難的計算題和證明題.

四、拓展應(yīng)用，登高望遠(yuǎn)

新題展示 如圖8，等腰Rt△EFG的斜邊長為1，正方形ABCD的邊長為6，點(diǎn)O2為正方形ABCD的中心，EO2=8.若將Rt△EFG繞點(diǎn)P按順時針方向旋轉(zhuǎn)360°，在旋轉(zhuǎn)過程中，請畫出△EFG所掃過的面積.

圖8

圖9

考點(diǎn)：點(diǎn)、線、形的運(yùn)動軌跡.

分析：點(diǎn)E、F、G繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，學(xué)生比較容易畫出，而線段EF、FG繞點(diǎn)P則有難度，可以借助多媒體輔助教學(xué)幫助學(xué)生思考（如圖9）.

歸納總結(jié)：本題還可以改正方形為三角形（如圖7），其他不變，也可讓在兩個圖形同時運(yùn)動，變?yōu)殡p動形問題等；從圖形的運(yùn)動路線角度可以采用45°、60°、120°、150°等利于計算的方向移動；在圖形的運(yùn)動速度上可以采用一定的速度比（如1∶2）等進(jìn)行移動；當(dāng)然我們設(shè)計的思路還可采用兩圖形的旋轉(zhuǎn)，或者一個圖形按一定速度平移，另一個圖形按一定速度順（逆）時針旋轉(zhuǎn)等，這都是筆者意猶未盡的思考.

五、感悟與反思

教材中有些內(nèi)容特別是探究活動課的內(nèi)容，是新課標(biāo)的延續(xù)，也是高中內(nèi)容的奠基.將這些奠基用“問題鏈”的形式與探究活動“串聯(lián)”起來，在學(xué)生學(xué)習(xí)方法上給予必要的指導(dǎo)，使學(xué)生學(xué)會一些科學(xué)的學(xué)習(xí)方法，懂得知識間的來龍去脈，從而更好地拓展學(xué)生的知識觀、學(xué)習(xí)觀，加深對初中知識本原的理解．當(dāng)然，在此實(shí)施過程中，初中教師在關(guān)注初中本身的教學(xué)內(nèi)容外，還應(yīng)該要關(guān)注高中的有關(guān)數(shù)學(xué)內(nèi)容，知道初中哪些內(nèi)容是今后繼續(xù)學(xué)習(xí)的生長點(diǎn)與奠基石．我們就應(yīng)該通過螺旋上升的方法，不失時機(jī)地培養(yǎng)學(xué)生的思維能力！

1.教育部《基礎(chǔ)教育課程》編輯部組織編寫.中學(xué)新課標(biāo)資源庫·數(shù)學(xué)卷［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2010.

2.羅增儒．解題分析，應(yīng)該有“第二過程”的暴露（續(xù)一）［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上半月·高中），2008（10）.

3.課程教材研究所.義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)·九年級（上冊）［M］.北京：人民教育出版社，2010.

4.徐光考.中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)與教［M］.北京：中國戲劇出版社，2006.