☉湖北大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院 汪 恩

PCK是學(xué)科教學(xué)知識(shí)（Pedagogical Content knowledge）的簡稱，最早是由美國舒爾曼（Shulman）教授于1986年提出來的.這種知識(shí)是學(xué)科知識(shí)在教學(xué)應(yīng)用中的轉(zhuǎn)換形式，是特定的內(nèi)容與教學(xué)法的整合或轉(zhuǎn)換，是教師獨(dú)特的知識(shí)領(lǐng)域，是他們專業(yè)理解的特殊形式，就是使人易于懂得該學(xué)科內(nèi)容的表達(dá)和闡述方式.【1】若結(jié)合數(shù)學(xué)來探討PCK，即為MPCK（Mathematical Pedagogical Content-Knowledge），稱之為數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)知識(shí).基于MPCK的視角，數(shù)學(xué)教師分析特定課題的PCK時(shí)應(yīng)包括四個(gè)方面的內(nèi)容：（1）將要學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)容及其教育價(jià)值；（2）將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容與其他內(nèi)容的聯(lián)系；（3）學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)過程中的經(jīng)驗(yàn)和可能出現(xiàn)的困難；（4）幫助學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)策略.在上述理論框架下，筆者結(jié)合自身教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)（湖北省第一屆高校本科師范生教學(xué)技能競賽）具體研究《勾股定理》的PCK，分析勾股定理的有關(guān)教學(xué)呈現(xiàn)給教學(xué)組織.

一、勾股定理的內(nèi)容知識(shí)

1.勾股定理的史學(xué)背景

勾股定理是幾何學(xué)中的一顆璀璨明珠，歷史悠久，證法繁多.千百年來對(duì)它的探討從未停止過，人們不斷提出新的證法，其中有著名的數(shù)學(xué)家，也有業(yè)余的數(shù)學(xué)愛好者；既有普通的老百姓，也有尊貴的政要權(quán)貴，甚至有國家總統(tǒng).勾3、股4、弦5源于《周髀算經(jīng)》，時(shí)至今日，它已成為最經(jīng)典的一組勾股數(shù)，人盡皆知.我國古代東漢時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽證明勾股定理的弦圖，凝注著中華民族的聰明才智，記載著中華民族對(duì)于數(shù)學(xué)發(fā)展的貢獻(xiàn)，2002年在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會(huì)把它作為會(huì)徽.三國時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽證明勾股定理的青朱出入圖，平面幾何的鼻祖——?dú)W幾里得證明勾股定理的原圖都是用幾何圖形來說明問題.在西方，勾股定理被稱為畢達(dá)哥拉斯定理，相傳是畢達(dá)哥拉斯在朋友家聚會(huì)是觀察地板發(fā)現(xiàn)的，他的證明方法至今已經(jīng)失傳.

勾股定理被發(fā)現(xiàn)之后，數(shù)學(xué)家們除了不斷尋找新證法，也在尋找應(yīng)用.勾股定理的一個(gè)直接應(yīng)用就是希波克拉底發(fā)現(xiàn)了月牙定理.希波克拉底解決的化月牙形為方形這一特殊情況掀起了很大的風(fēng)波，誤導(dǎo)了很多數(shù)學(xué)愛好者.月牙圖形的出現(xiàn)也讓很多數(shù)學(xué)研究者，包括希波克拉底在內(nèi)，陷入了一個(gè)死胡同，他們“堅(jiān)信”化圓為方問題是可以實(shí)現(xiàn)的，其實(shí)該方法很難推廣解決直線型圖形和曲線型圖形等面積轉(zhuǎn)化的一般情況.

2.勾股定理的內(nèi)容

勾股定理是國家課程標(biāo)準(zhǔn)人教版實(shí)驗(yàn)教材八年級(jí)下冊§18.1【2】的內(nèi)容知識(shí)，定理可從兩個(gè)角度來敘述.從代數(shù)角度敘述：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.如果用a、b和c分別表示直角三角形的兩直角邊和斜邊，那么a2+b2=c2.從幾何角度敘述：以直角三角形斜邊為邊的正方形的面積等于以直角三角形兩直角邊為邊的兩個(gè)正方形的面積之和.

二、地位、作用與教育價(jià)值

勾股定理是幾何中的重要定理之一，它的發(fā)現(xiàn)、驗(yàn)證和應(yīng)用蘊(yùn)含著豐富的文化價(jià)值.勾股定理從定量的角度揭示了直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系，將形與數(shù)密切聯(lián)系起來，理論上占有重要的地位；它有著悠久的歷史，在數(shù)學(xué)發(fā)展中起過重要的作用，在現(xiàn)實(shí)世界中也有著廣泛的應(yīng)用.勾股定理是學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ)，主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：

1.內(nèi)容上

勾股定理是初中平面幾何中有關(guān)度量的最基本定理之一，被稱為是幾何學(xué)的基石．一方面，它從邊的角度進(jìn)一步刻畫了直角三角形的特征，是進(jìn)一步認(rèn)識(shí)和理解直角三角形的需要，也是后續(xù)有關(guān)幾何度量運(yùn)算和代數(shù)學(xué)習(xí)必要的基礎(chǔ)；另一方面，它與其他數(shù)學(xué)內(nèi)容聯(lián)系相當(dāng)緊密，可以用下面的框架圖（圖1）反映.

2.方法上

利用面積關(guān)系來說明數(shù)學(xué)中的某些恒等式、不等式，或證明某些定理，這是一個(gè)古老而又年輕的方法.古代數(shù)學(xué)，不管是東方還是西方，都擅長用幾何圖形來說明問題，這可看作是無字證明的源頭.勾股定理就是利用面積法來證明的一個(gè)最早的例子，面積法即利用面積關(guān)系證明幾何定理.勾股定理相傳是古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯通過觀察朋友家地板圖案發(fā)現(xiàn)的，不過他最先發(fā)現(xiàn)的是勾股定理對(duì)于等腰直角三角形是成立，后來經(jīng)過不斷探索與研究發(fā)現(xiàn)并證明了勾股定理對(duì)于一般的直角三角形都是成立的.這種從特殊到一般的研究方法是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中常用的方法之一，筆者在勾股定理的講授中滲透的便是此種方法.再者，勾股定理突破了對(duì)三角形定性的研究，而是更精確地定量地刻畫了直角三角形中三邊之間的數(shù)量關(guān)系.

圖1

3.技能上

學(xué)習(xí)此節(jié)新知識(shí)前學(xué)生對(duì)勾股定理已有所耳聞，但并不系統(tǒng)、不深入，不會(huì)證明.在尋找勾股定理的證明方法時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)的平方聯(lián)想到形的正方.從一個(gè)直角三角形出發(fā)，分別以其三邊為邊長向外作正方形，那么勾股定理反應(yīng)到圖形上就是斜邊上正方形的面積，等于兩直角邊上正方形面積之和.勾股定理具有幾何和代數(shù)的雙重特征，是幾何與代數(shù)的橋梁，通過對(duì)勾股定理的證明——變換法（拼圖法）的學(xué)習(xí)，既有助于學(xué)生感受運(yùn)動(dòng)和變換，又提升了學(xué)生在以后學(xué)習(xí)過程中分析問題、解決問題的能力.

4.情感上

經(jīng)歷勾股定理的探索和證明過程，有助于豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)：探究圖形的基本元素之間的關(guān)系、多角度探究幾何結(jié)構(gòu)、經(jīng)歷幾何推理過程，體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合的思想方法，有助于學(xué)生獲得更多的數(shù)學(xué)工具去探索和了解我們生存的空間.同時(shí)筆者在課堂教學(xué)中設(shè)置了分組研討、同伴互助和交流成果的環(huán)節(jié)，此環(huán)節(jié)培養(yǎng)了學(xué)生的合作意識(shí)、團(tuán)隊(duì)精神，提高了表達(dá)能力，感受到了獲得成功以及分享成功的快樂.通過對(duì)勾股定理歷史的了解，對(duì)比中西方數(shù)學(xué)家關(guān)于勾股定理的研究，激發(fā)學(xué)生的民族自豪感，欣賞數(shù)學(xué)的美妙，感悟數(shù)學(xué)的理性精神以及追求真理的志向.

三、學(xué)生在學(xué)習(xí)勾股定理時(shí)可能出現(xiàn)的困難

1.讓學(xué)生“再發(fā)現(xiàn)”勾股定理非常困難

學(xué)生在學(xué)習(xí)這節(jié)課之前已有所耳聞勾股定理，已有一定的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn).勾股定理所承載的數(shù)學(xué)文化價(jià)值是巨大豐厚的，并非如觀察地板就可以自主發(fā)現(xiàn)的.教師已經(jīng)創(chuàng)設(shè)了發(fā)現(xiàn)勾股定理的條件，學(xué)生是在教師一定的暗示和提示下以自己的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)作為基礎(chǔ)，通過數(shù)方格、直尺測量等活動(dòng)對(duì)勾股定理進(jìn)行再發(fā)現(xiàn).

2.讓學(xué)生在思路上較自然地想到證明方法是困難的

經(jīng)過不斷探索研究，據(jù)說到現(xiàn)在，勾股定理已經(jīng)有400多種證法了，例如歐幾里得幾何圖形的無字證明、劉徽的青朱出入圖、總統(tǒng)證法、趙爽弦圖證法等都是經(jīng)典的證明方法.筆者通過適當(dāng)搭建支架，指導(dǎo)學(xué)生用四個(gè)全等的直角三角形拼圖運(yùn)用面積方法證明，既調(diào)動(dòng)了學(xué)生的積極性，又大大降低了學(xué)生思維上的困難度.

四、幫助學(xué)生學(xué)會(huì)勾股定理的教學(xué)策略

在勾股定理這節(jié)課的設(shè)計(jì)中，筆者參看了一些優(yōu)質(zhì)課的教學(xué)設(shè)計(jì)和視頻，大部分都是以探究勾股定理作為重點(diǎn)，證明勾股定理輔之.

1.探究勾股定理的策略

探究勾股定理的策略大體有兩種：

（1）讓學(xué)生測量直角三角形三條邊的長，讓學(xué)生猜想三條邊長之間的數(shù)量關(guān)系.

通過度量直角三角形三條邊的長，計(jì)算它們的平方，由于得到的數(shù)據(jù)不總是整數(shù)，學(xué)生很難猜想出它們的平方關(guān)系，因此教師常常把勾股定理作為一個(gè)事實(shí)告訴學(xué)生.

（2）利用網(wǎng)格紙進(jìn)行探究.

在網(wǎng)格中分別以這個(gè)直角三角形的兩條直角邊和斜邊為邊長向外作三個(gè)正方形A、B、C，每個(gè)小方格代表一個(gè)單位面積，學(xué)生通過觀察求出它們的面積.

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對(duì)于正方形A和正方形B的面積學(xué)生很容易求得，正方形C的面積通過數(shù)格子不能直接得出，采取“割補(bǔ)”的方法求得.

方法一：把C分割成4個(gè)直角邊為整數(shù)的三角形和中間的一個(gè)小正方形，如圖2.

方法二：把C補(bǔ)成邊長為7個(gè)單位長的正方形，如圖3.

圖2

圖3

（圖中每個(gè)小方格代表一個(gè)單位面積）

通過“割補(bǔ)”的方法求出正方形C的面積后引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：正方形A、B、C的面積存在數(shù)量關(guān)系：A的面積+B的面積=C的面積，即32+42=52.進(jìn)而由特例猜想一般的直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系.

2.證明勾股定理的策略

筆者認(rèn)為勾股定理這節(jié)課的重點(diǎn)是定理的證明.一般來說，學(xué)生在沒有任何提示的情況下自行探究，尋得勾股定理的證明方法有一定難度.教師要為學(xué)生適當(dāng)?shù)卮罱ā澳_手架”，使學(xué)習(xí)任務(wù)處在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，為學(xué)生的學(xué)習(xí)提供幫助.學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中的發(fā)現(xiàn)不同于前人的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)，是在教師引導(dǎo)下對(duì)前人的智慧結(jié)晶在時(shí)空上的濃縮，學(xué)生利用活動(dòng)中獲取的直接經(jīng)驗(yàn)更好地理解和掌握間接經(jīng)驗(yàn).那么，在有限的時(shí)空內(nèi)，如何合理地選用教學(xué)素材、如何有效地開展數(shù)學(xué)活動(dòng)，是需要教師精心策劃的.對(duì)于勾股定理的證明很多老師采取的策略是直接告訴，這種方法雖然能夠讓學(xué)生知道勾股定理的各種證明方法，但是卻失去了培養(yǎng)學(xué)生思維能力的良好機(jī)會(huì).幾何證法、拼圖法都是證明勾股定理常用的方法，筆者認(rèn)為以此為契機(jī)通過拼圖實(shí)驗(yàn)運(yùn)用面積法證明勾股定理不僅可以調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，還可以豐富學(xué)生的認(rèn)知體驗(yàn)，鍛煉學(xué)生的幾何思維.

五、如何有效地組織和呈現(xiàn)本節(jié)內(nèi)容知識(shí)——以教學(xué)設(shè)計(jì)的形式闡明架構(gòu)思想

根據(jù)前面的分析，筆者結(jié)合自己的思考對(duì)勾股定理的教學(xué)設(shè)計(jì)如下：

1.創(chuàng)設(shè)情境，提出問題

一個(gè)著名的問題《九章算術(shù)》中有一個(gè)名題：“今有池方一丈，葭生其中央.出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊.問水深、葭長各幾何.”

圖4

白話本題的意思：有一水池一丈見方，池中央生有一棵類似蘆葦?shù)闹参?，露出水面一尺，如把它引向岸邊，正好與岸邊齊.問水有多深，該植物有多長？

PPT展示，畫出示意圖，如圖4，并結(jié)合圖形將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)模型.

設(shè)計(jì)思想：借數(shù)學(xué)史激起學(xué)生的探求欲望，以這道經(jīng)典的中國古代的數(shù)學(xué)題目，把學(xué)生帶入了田園風(fēng)光的情境，既吸引了學(xué)生的注意力，又很好地引出了新知識(shí).

2.師生交流，學(xué)習(xí)新知

（1）拓展探究提出猜想.問題1 直角邊為1的等腰直角三角形的三邊有怎樣的關(guān)系？

圖5

問題2 直角邊為a，斜邊為c的等腰直角三角形的三邊又有怎樣的關(guān)系？

設(shè)計(jì)思想：有了特例的經(jīng)驗(yàn)后，引導(dǎo)學(xué)生用拼圖的方法來探究這個(gè)問題.通過幾何畫板動(dòng)畫演示，讓學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)分別以兩直角邊為邊長的兩個(gè)小正方形可以拼成以斜邊為邊長的大正方形，如圖6.從而再由這三個(gè)正方形的面積關(guān)系得到等腰直角三角形三邊的關(guān)系：等腰直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.

圖6

問題3 一般的直角三角形也有類似的三邊關(guān)系嗎？

猜想：在Rt△ABC中，如果兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么a2+b2=c2.

設(shè)計(jì)思想：通過特例的觀察，突破難點(diǎn)，為歸納結(jié)論打下了良好的基礎(chǔ).學(xué)生經(jīng)歷觀察、歸納、猜想的過程，提高分析和解決問題的能力.讓學(xué)生初步掌握由特殊到一般再到更一般的研究方法，對(duì)于學(xué)生良好思維品質(zhì)的形成有重要作用，對(duì)學(xué)生的終身發(fā)展也有一定的作用.

（2）數(shù)形結(jié)合進(jìn)行證明.

問題4 你能用手中4個(gè)全等的直角三角形擺出一個(gè)以它的斜邊為邊長的正方形嗎？

布置任務(wù)請大家四人一組拼圖并思考：能否以面積為橋梁，運(yùn)用拼圖的方法證明我們的猜想.

小組活動(dòng)，學(xué)生動(dòng)手操作，教師巡視、指導(dǎo)學(xué)生活動(dòng)，請先行完成的幾個(gè)小組各派代表上臺(tái)展示，并講述證明.

設(shè)計(jì)思想：學(xué)生在教師引導(dǎo)下，結(jié)合前面的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，賦予a2、b2、c2幾何意義，并通過拼圖、運(yùn)用面積法證明對(duì)直角三角形三邊關(guān)系的猜想.分組活動(dòng)可以調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，提供人人參與、互相幫助的機(jī)會(huì)，保證實(shí)驗(yàn)?zāi)康牡倪_(dá)成，小組成果的展示、交流可以豐富學(xué)生的認(rèn)知體驗(yàn)，提高探究活動(dòng)的時(shí)效.

教師對(duì)各小組展示的方法逐一點(diǎn)評(píng)，并輔以多媒體PPT演示.

利用弦圖我們可以證明勾股定理：如圖7是由4個(gè)全等的直角三角形拼成的一個(gè)組合圖形，外層正方形的邊長為c，內(nèi)層正方形邊長為a-b，則外層正方形的面積=4×直角三角形面積+內(nèi)層正方形面積.

圖7

圖8

如圖8是由4個(gè)全等的直角三角形拼成的一個(gè)組合圖形，外層正方形的邊長為a+b，內(nèi)層正方形邊長為c，利用這個(gè)圖我們可以也證明勾股定理，則外層正方形的面積=4×直角三角形面積+內(nèi)層正方形面積.

通過以面積為橋梁，用拼圖的方法證實(shí)了前面猜想的正確性，這就是著名的勾股定理：直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.我國古代學(xué)者把直角三角形較短的直角邊稱為“勾”，較長的直角邊稱為“股”，斜邊稱為“弦”.在西方，多將此稱為畢達(dá)哥拉斯定理.

設(shè)計(jì)思想：在各小組交流了拼圖證明后，教師啟發(fā)學(xué)生分析不同證法之間數(shù)與數(shù)、形與形、數(shù)與形之間的內(nèi)在聯(lián)系，進(jìn)一步豐富、提升學(xué)生的認(rèn)知.

（3）史話勾股提升情商.

勾股定理是幾何學(xué)中的一顆璀璨明珠，歷史悠久，證法繁多.千百年來對(duì)它的探討從未停止過，人們不斷提出新的證法，其中有著名的數(shù)學(xué)家，也有業(yè)余的數(shù)學(xué)愛好者；既有普通的老百姓，也有尊貴的政要權(quán)貴，甚至有國家總統(tǒng).

多媒體展示趙爽弦圖、劉徽的出入相補(bǔ)圖、平面幾何鼻祖歐幾里得的證明原圖以及2002年國際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)徽、勾股樹等.

設(shè)計(jì)思想：讓學(xué)生進(jìn)一步了解中外數(shù)學(xué)成就，對(duì)比中西方數(shù)學(xué)家關(guān)于勾股定理的研究，激發(fā)起民族自豪感，欣賞數(shù)學(xué)的美妙，感悟數(shù)學(xué)的理性精神以及追求真理的志向.

（4）應(yīng)用定理解決問題.

勾股定理的證明巧妙地將數(shù)與幾何圖形結(jié)合在一起，充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，勾股定理是一座聯(lián)系數(shù)與形的橋梁.

應(yīng)用勾股定理來解決課前引入的問題：《九章算術(shù)》有一勾股定理名題：“今有池方十尺，葭生其中央.出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊.問水深、葭長各幾何.”

學(xué)生自己解決問題后老師用PPT展示具體解題步驟.

解：如圖9，設(shè)水深x尺，則葭長（x+1）尺.

由勾股定理，得x2+52=（x+1）2.

解得x=12.

答：水深12尺，葭長13尺.

設(shè)計(jì)思想：學(xué)以致用，在問題解決中，將一般結(jié)論應(yīng)用于特殊問題情境，加深對(duì)定理的理解.

圖9

3.總結(jié)升華布置作業(yè)

（1）回顧本節(jié)課的內(nèi)容，你有什么收獲？

（2）點(diǎn)評(píng)并進(jìn)一步歸納.

（3）作業(yè)：閱讀課本71頁《勾股定理的證明》；書本第69頁第1、2題；搜集、探索勾股定理的其他證法.

設(shè)計(jì)思想：引導(dǎo)學(xué)生對(duì)知識(shí)要點(diǎn)進(jìn)行總結(jié)，提煉思想方法，不同層次、不同完成方式的作業(yè)讓不同的學(xué)生都有相應(yīng)的實(shí)踐、發(fā)展的機(jī)會(huì)，同時(shí)將學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)在時(shí)空上進(jìn)一步拓展.

4.教學(xué)反思

新課改倡導(dǎo)有意義的學(xué)習(xí)方式：動(dòng)手實(shí)踐、自主探索與合作交流［3］，本節(jié)課從創(chuàng)設(shè)問題情境入手，喚醒學(xué)生的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生帶著問題進(jìn)入到直角等腰三角形的三邊關(guān)系的探索上，從特殊到一般，層層深入，并引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)體驗(yàn)勾股定理的證明思路，是教師的教與學(xué)生的學(xué)的一個(gè)雙邊活動(dòng).利用幾何畫板將信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)有機(jī)地結(jié)合在一起，既提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，又培養(yǎng)了學(xué)生的直覺思維和想象能力.但是，學(xué)生的拼圖成果不止兩種，有的拼圖并不能直接證明定理等問題沒有充分的時(shí)間在課堂上一一講解，這都是以后在教學(xué)中要進(jìn)一步關(guān)注和改進(jìn)的.

1.shulman.Those who understand：knowledge growth in teaching.Educational Researcher，1986，15（2）.

2.課程教材研究所中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心．義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊 ［M］．北京：人民教育出版社，2008.

3.中華人民共和國教育部制定．義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

4.朱哲．?dāng)?shù)學(xué)史中勾股定理的證明［J］．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)，2006（3）．