☉江蘇省南京市金陵中學(xué)河西分校 李玉榮

根的判別式Δ=b2-4ac是一元二次方程的一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)，其顯性應(yīng)用不言而喻.值得關(guān)注的是，有些非一元二次方程的問(wèn)題，正面求解比較困難，但細(xì)究問(wèn)題實(shí)質(zhì)，卻與一元二次方程有關(guān)聯(lián)，通過(guò)轉(zhuǎn)化、構(gòu)造與之相關(guān)的一元二次方程，再借助根的判別式促成問(wèn)題的解決，此方法簡(jiǎn)明精巧，功能獨(dú)特，體現(xiàn)了其隱形應(yīng)用價(jià)值，本文采擷幾道中考?jí)狠S題，剖析解法，以饗讀者.

例1（2012年山東臨沂）已知，在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)沿邊AD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng).

（1）如圖1，當(dāng)b=2a，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到邊AD的中點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)證明∠BMC=90°.

（2）如圖2，當(dāng)b＞2a時(shí)，點(diǎn)M在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，是否存在∠BMC=90°，若存在，請(qǐng)給出證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（3）如圖3，當(dāng)b＜2a時(shí)，（2）中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖1

圖2

圖3

解：（1）略.

（2）存在，理由如下.

若∠BMC=90°，則∠AMB=∠BMC=90°.

又因?yàn)椤螦MB+∠ABM=90°，所以∠ABM=∠DMC.

又因?yàn)椤螦=∠D=90°，所以△ABM∽△DMC.

因?yàn)閎＞2a，a＞0，b＞0，所以Δ=b2-4a2＞0，

所以方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

又因?yàn)閮筛e等于a2＞0，所以兩根同號(hào).

又因?yàn)閮筛偷扔赽＞0，所以兩根為正，符合題意.

所以當(dāng)b＞2a時(shí)，存在∠BMC=90°.

（3）不成立，理由如下.

若∠BMC=90°，由（2）可知x2-bx+a2=0.

因?yàn)閎＜2a，a＞0，b＞0，所以Δ=b2-4a2＜0，所以方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.

所以當(dāng)b＜2a時(shí)，不存在∠BMC=90°，即（2）中的結(jié)論不成立.

評(píng)注：第（2）小題探究是否存在點(diǎn)M，使∠BMC=90°，關(guān)鍵是設(shè)AM=x，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，可得方程x2-bx+a2=0，由b＞2a，a＞0，b＞0，即可判定Δ=b2-4a2＞0，從而確定結(jié)果，第（3）小題也隨之獲解.

例2 （2012年湖北宜昌）如圖4，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°.點(diǎn)E為底邊AD上一點(diǎn)，將△ABE沿直線BE折疊，點(diǎn)A落在梯形對(duì)角線BD上的點(diǎn)G處，EG的延長(zhǎng)線交直線BC于點(diǎn)F.

圖4

（1）點(diǎn)E可以是AD的中點(diǎn)嗎？為什么？

（2）求證：△ABG∽△BFE.

（3）設(shè)AD=a，AB=b，BC=c.

①當(dāng)四邊形EFCD為平行四邊形時(shí)，求a，b，c應(yīng)滿足的關(guān)系；

②在①的條件下，當(dāng)b=2時(shí)，a的值是唯一的，求∠C的度數(shù).

解：（1）、（2）略.

（3）①因?yàn)樗倪呅蜤FCD為平行四邊形，

所以EF∥DC.

因?yàn)橛烧郫B知，∠DAB=∠EGB=90°，

所以∠DAB=∠BDC=90°.

又因?yàn)锳D∥BC，所以∠ADB=∠DBC，

②由①和b=2得關(guān)于a的一元二次方程a2-ac+4=0.

由題意，a的值是唯一的，即方程有兩相等的實(shí)數(shù)根，所以Δ=0，即c2-16=0.

因?yàn)閏＞0，所以c=4.由a2-4a+4=0，得a=2.

由①△ABD∽△DCB和a=b=2，得△ABD和△DCB都是等腰直角三角形，所以∠C=45°.

評(píng)注：第②小題把b=2代入①所得a2+b2=ac，構(gòu)造出關(guān)于a的一元二次方程a2-ac+4=0，根據(jù)a是唯一的，可以利用Δ=c2-16=0，求出c=4，再代入方程求出a=2，然后由①△ABD∽△DCB和a=b=2，得△ABD和△DCB都是等腰直角三角形，求得∠C=45°.

例3（2012年湖北十堰）拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B、C，已知A（-1，0），C（0，3）.

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖5，P為線段BC上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線，交拋物線于點(diǎn)D，當(dāng)△BDC的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）如圖6，拋物線的頂點(diǎn)為E，EF⊥x軸于F點(diǎn)，M（m，0）是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，N是線段EF上一點(diǎn)，若∠MNC=90°，請(qǐng)求出實(shí)數(shù)m的變化范圍，并說(shuō)明理由.

圖5

圖6

解：（1）拋物線解析式為y=-x2+2x+3.（2）略.

（3）由（1）得y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，所以E（1，4），所以O(shè)F=1，EF=4，OC=3.

過(guò)C作CH⊥EF于H點(diǎn)，則CH=EH=1.

因?yàn)殛P(guān)于n的方程有解，所以Δ=（-3）2-4（-m+1）≥0，

當(dāng)M在EF右側(cè)時(shí)，如圖8，在Rt△CHE中，CH=EH=1，∠CEH=45°，即∠CEF=45°.

作EM⊥CE交x軸于點(diǎn)M，則∠FEM=45°.

因?yàn)镕M=EF=4，所以O(shè)M=5，即N為點(diǎn)E時(shí)，OM=5，所以m≤5.

圖7

圖8

（1）求直線y=kx的解析式和線段OA的長(zhǎng)度.

（2）點(diǎn)P為拋物線第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線PM，交x軸于點(diǎn)M（點(diǎn)M、O不重合），交直線OA于點(diǎn)Q，再過(guò)點(diǎn)Q作直線PM的垂線，交y軸于點(diǎn)N.試探究：線段QM與線段QN的長(zhǎng)度之比是否為定值？如果是，求出這個(gè)定值；如果不是，說(shuō)明理由.

（3）如圖10，若點(diǎn)B為拋物線上對(duì)稱軸右側(cè)的點(diǎn)，點(diǎn)E在線段OA上（與點(diǎn)O、A不重合），點(diǎn)D（m，0）是x軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠BAE=∠BED=∠AOD.繼續(xù)探究：m在什么范圍時(shí)，符合條件的E點(diǎn)的個(gè)數(shù)分別是1個(gè)、2個(gè)？

圖9

圖10

（3）延長(zhǎng)AB交x軸于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)A作AR⊥x軸于點(diǎn)R.

如圖11，因?yàn)椤螦OD=∠BAE，所以AF=OF.設(shè)F（x，0），

所以B（6，2），所以AB=5.

在△ABE與△OED中，因?yàn)椤螧AE=∠BED，所以∠ABE+∠AEB=∠DEO+∠AEB，所以∠ABE=∠DEO.

因?yàn)椤螧AE=∠EOD，所以△ABE∽△OED.

圖11

因?yàn)椤?45-20m≥0，