☉山東省濱州市北鎮(zhèn)中學(xué)初中部 邢成云

☉山東省濱州市北鎮(zhèn)中學(xué) 張鳳秀

原有的實(shí)驗(yàn)版教材，在安排上無(wú)形中淡化了對(duì)推理的要求，說(shuō)是遵循螺旋上升的原則，實(shí)際上在七年級(jí)下冊(cè)較少涉及演繹推理.現(xiàn)行修訂版在本章的教學(xué)內(nèi)容上基本保持不變，但適量增設(shè)了相關(guān)演繹推理類的題目，充實(shí)了演繹推理的陣容.本文即在研讀的基礎(chǔ)上，從具體題目的變化嘗試探尋推理意識(shí)的有意加強(qiáng)，力圖在感知變化、體悟邏輯規(guī)律的過(guò)程中做到理解課標(biāo)、理解教材，從而更好地理解教學(xué).

一、諸位名家對(duì)推理的定調(diào)

陳省身先生：“學(xué)生應(yīng)該學(xué)會(huì)推理，推理很要緊，推理不僅在數(shù)學(xué)上，在其他學(xué)問(wèn)里也是要用到的……整個(gè)數(shù)學(xué)就是建立在推理上的，所以數(shù)學(xué)厲害.推理出來(lái)的結(jié)果一定是對(duì)的，做個(gè)實(shí)驗(yàn)，機(jī)器不靈，材料不干凈，結(jié)果可能不一樣，但推理是同一個(gè)結(jié)果.”

楊樂(lè)院士：“凡是從事數(shù)學(xué)研究和數(shù)學(xué)教育的，都會(huì)對(duì)從中學(xué)學(xué)習(xí)幾何時(shí)受到的嚴(yán)格的邏輯思維訓(xùn)練有很深的體會(huì)，似乎很難找到別的東西來(lái)代替它對(duì)中學(xué)生進(jìn)行嚴(yán)格的邏輯思維培養(yǎng).”

谷超豪院士：“數(shù)學(xué)成為各門科學(xué)可靠的工具，也正因?yàn)樗哂凶顕?yán)謹(jǐn)最嚴(yán)格的特性……要學(xué)會(huì)嚴(yán)格推理是必須的，一定要逐步使學(xué)生適應(yīng)這種嚴(yán)格的推理方式，并且在書(shū)寫上能反映出來(lái).特別是在幾何的教學(xué)上，一定要重視這種邏輯的演繹，這也是訓(xùn)練邏輯推理能力的有效方法，是重視幾何教學(xué)的一個(gè)原因.”

人教社李海東：“中學(xué)幾何教學(xué)需要直觀實(shí)驗(yàn)，但是不能只有它而沒(méi)有邏輯推理，應(yīng)做好從前者到后者的過(guò)渡，體現(xiàn)幾何證明的教育價(jià)值.只有這樣，才能發(fā)展學(xué)生的理性思維，使學(xué)生的思維水平得到應(yīng)有的發(fā)展.”［1］

以上各位名家擺正了推理證明合法的、不可替代的身份，給我們初中數(shù)學(xué)的教學(xué)以方向的引領(lǐng)，同時(shí)，我們縱觀古今不難發(fā)現(xiàn)，古希臘幾何學(xué)家注重推理，更多的是依靠邏輯思維，所以才孕育出了歐幾里得《原本》這樣的具有里程碑意義的重要著作等.而我國(guó)古代的幾何學(xué)家研究幾何是為了實(shí)用，是唯用是尚的，所以才浮于淺層、行之不遠(yuǎn).項(xiàng)武義先生一語(yǔ)道的：“唯用是尚，則難見(jiàn)精深，所及不遠(yuǎn)”［2］.綜上我們不難得出一個(gè)觀點(diǎn)：幾何教學(xué)需要直觀實(shí)驗(yàn)，但也需要邏輯推理，如果沒(méi)有邏輯推理，那么對(duì)圖形的認(rèn)識(shí)將難以深入.

二、新教材外在的變化

《2011年版課程標(biāo)準(zhǔn)》和《實(shí)驗(yàn)稿課程標(biāo)準(zhǔn)》一樣，強(qiáng)調(diào)了“獲得數(shù)學(xué)猜想——證明猜想”的全過(guò)程，以及在這個(gè)過(guò)程中的合情推理和演繹推理.需要特別指出的是：推理能力的發(fā)展應(yīng)貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中.我們知道，在解決問(wèn)題的過(guò)程中，兩種推理功能不同，相輔相成，合情推理用于探索思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論；演繹推理用于證明結(jié)論.“大膽地猜想，小心地求證”就是對(duì)這兩種推理關(guān)系的經(jīng)典刻畫(huà)，這兩種推理不可或缺、不可偏廢（上文已獲得的認(rèn)識(shí)），但原實(shí)驗(yàn)教材有重“合情”輕“演繹”之嫌，對(duì)推理證明的弱化已成不爭(zhēng)的事實(shí).

我們知道，原實(shí)驗(yàn)版人教教材對(duì)推理要求的總體設(shè)計(jì)，是按照這么一個(gè)思路逐步發(fā)展的：開(kāi)始是對(duì)某一個(gè)局部的問(wèn)題，說(shuō)點(diǎn)兒理；然后，逐漸地?cái)U(kuò)大到對(duì)一個(gè)重點(diǎn)部分稍微長(zhǎng)一點(diǎn)地完整地說(shuō)理；到對(duì)一個(gè)問(wèn)題完整地說(shuō)理（推理）；最后，進(jìn)入到符號(hào)表示形式上的一個(gè)問(wèn)題的完整說(shuō)理（推理）.原實(shí)驗(yàn)版人教教材八年級(jí)，在講三角形全等的時(shí)候，才逐步進(jìn)入到最后一個(gè)階段，用符號(hào)形式來(lái)表示完整的說(shuō)理，筆者認(rèn)為“角色”進(jìn)入的較晚，不利于學(xué)生演繹推理意識(shí)的形成，甚至停留在實(shí)驗(yàn)幾何的層面.而現(xiàn)行修訂版教材，從七年級(jí)下冊(cè)P14的例題解答開(kāi)始，抽象的推理符號(hào)就“閃亮登場(chǎng)”了.可見(jiàn)，對(duì)推理的提早滲透、遷移，首先體現(xiàn)在這種外在的變化，即由原來(lái)的文字“因?yàn)椤保八浴睋Q成了符號(hào)“∵”，“∴”，這應(yīng)然是對(duì)原實(shí)驗(yàn)版教材對(duì)推理表達(dá)力度不夠的外在驅(qū)動(dòng).

另外，在本章《小結(jié)》的回顧與思考欄目中，明確給出了一段話“……還要注意體會(huì)通過(guò)‘推理’獲得數(shù)學(xué)結(jié)論的方法，培養(yǎng)言之有據(jù)的習(xí)慣和有條理地思考、表達(dá)的能力.”把推理一詞擺在了桌面上，突出了推理的地位，這些閃爍于字里行間的變化，無(wú)不透射出對(duì)“推理”的加強(qiáng).當(dāng)然這里的推理并不只是演繹推理，還有合情推理的成分，它們的聯(lián)手才會(huì)彰顯出推理的魅力.

三、題目的增設(shè)

相關(guān)推理題目的增設(shè)，給了我們一個(gè)顯性的拉動(dòng)，這些題目給了學(xué)生嘗試的機(jī)會(huì)，充分體現(xiàn)了例題示范引領(lǐng)、練習(xí)呼應(yīng)對(duì)接、習(xí)題推動(dòng)配合、復(fù)習(xí)題進(jìn)一步落實(shí)的聯(lián)動(dòng)場(chǎng)景，它們的攜手對(duì)學(xué)生推理意識(shí)的培養(yǎng)大有裨益.

1.例題的引領(lǐng)

例題是經(jīng)過(guò)課程專家精挑細(xì)選而來(lái)的，本身具有典型性，有著多方面的教學(xué)功能，它承載著本節(jié)課的知能、技法以及思想方法等，起著規(guī)范、引領(lǐng)之用.

P21的例2是新增例題，它第一次以規(guī)范的形式展示了邏輯推理的過(guò)程，直接把推理推向了前臺(tái)，旗幟鮮明地給證明以合法身份，從此，證明登堂入室，規(guī)范的演繹推理拉開(kāi)了序幕，這種推理的遷移并非新創(chuàng)，其實(shí)也是對(duì)演繹推理的回歸，撿拾回了原來(lái)被散落的“珍珠”.

P21的例2 如圖1，已知直線b∥c，a⊥b.求證：a⊥c.

證明：因?yàn)閍⊥b，（已知）

所以∠1=90°.（垂直的定義）

又b∥c，

圖1

所以∠1=∠2，（兩直線平行，同位角相等）

所以∠2=∠1=90°，（等量代換）

所以a⊥c.（垂直的定義）

例2的規(guī)范呈現(xiàn)，外加對(duì)“證明”的旁注，明確了什么叫推理，其根據(jù)是什么條件等，并在例2之后，通過(guò)例子說(shuō)明了怎樣證明一個(gè)命題是假命題，這樣對(duì)證明的認(rèn)識(shí)就更加全面了.

2.練習(xí)的呼應(yīng)

修訂版教材P22的練習(xí)1是對(duì)原實(shí)驗(yàn)版的替換，原有的1題僅是要求指出命題的題設(shè)和結(jié)論，而現(xiàn)在修訂版的練習(xí)1是填寫推理的理由.

練習(xí)1 在下面的括號(hào)內(nèi)，填上推理的根據(jù).

如圖2，∠A+∠B=180°，求證：∠C+∠D=180°.

證明：因?yàn)椤螦+∠B=180°，

所以AD∥BC，（ ）

所以∠C+∠D=180°.（）

可見(jiàn)，通過(guò)規(guī)范的格式把一個(gè)簡(jiǎn)單的兩步推理擺了出來(lái)，在滲透格式的同時(shí)，對(duì)平行線的判定3和性質(zhì)3作為推理的依據(jù)進(jìn)行了識(shí)辨性鞏固，這種對(duì)推理的滲透，除了讓學(xué)生明白推理必須有理有據(jù)外，還要引導(dǎo)學(xué)生感知推理，體悟推理，為學(xué)生獨(dú)立推理證明做出了鋪墊，顯然是對(duì)本章小結(jié)中明確提出的“培養(yǎng)言之有據(jù)的習(xí)慣”的落實(shí).

圖2

3.習(xí)題的推動(dòng)

相對(duì)應(yīng)，在P23-24的習(xí)題5.3中增加了第6題和第13題，二題分屬于“復(fù)習(xí)鞏固”與“綜合運(yùn)用”兩個(gè)不同欄目，充實(shí)了習(xí)題的內(nèi)容，它們承載的都是對(duì)推理的滲透，不過(guò)有層次之別，第6題僅是要求填寫證明的理由，而第13題是要求完成證明，它通過(guò)留白的方式引導(dǎo)學(xué)生學(xué)步推理，并填寫理由，這種步步為營(yíng)的遞進(jìn)式滲透，符合學(xué)生的心理特點(diǎn)與認(rèn)知規(guī)律，合情合理.

以下分別對(duì)這兩道題目作一分析.

P23的第6題 在下面的括號(hào)內(nèi)，填上推理的根據(jù).

如圖3，AB和CD相交于點(diǎn)O，∠A=∠B，求證：∠C=∠D.

1.2.2 聯(lián)合組 聯(lián)合組患者接受腹腔鏡術(shù)聯(lián)合GnRH-α治療，腹腔鏡術(shù)治療方法同單獨(dú)組，同時(shí)在術(shù)后第3天開(kāi)始給予患者肌內(nèi)注射3.75 mg GnRH-α(達(dá)菲林,規(guī)格 :10×200 μ g，生產(chǎn)廠家：英國(guó)捷利康有限公司,批準(zhǔn)文號(hào)：國(guó)藥準(zhǔn)字H20040447)，每4周1次，3次為1個(gè)療程，停藥后開(kāi)始試孕。

證明：因?yàn)椤螦=∠B，

所以AC∥BD，（ ）

所以∠C=∠D.（）

圖3

不難發(fā)現(xiàn)，本題攜手P22的練習(xí)1，練習(xí)1是對(duì)平行線判定3和性質(zhì)3的考查，而本題是對(duì)平行線判定2和性質(zhì)2的考查，是對(duì)平行線性質(zhì)與判定的補(bǔ)缺式鞏固.其內(nèi)在的功能等同于練習(xí)1.

P24的第13題 完成下面的證明.

（1） 如圖4，AB∥CD，CB∥DE.求證：∠B+∠D=180°.

證明：因?yàn)锳B∥CD，

所以∠B=_______.（）

所以∠C+∠D=180°，（ ）

所以∠B+∠D=180°.

圖4

（2） 如圖5，∠ABC=∠A′B′C′，BD，B′D′分別是∠ABC，∠A′B′C′的平分線，求證：∠1=∠2.

圖5

證明：因?yàn)锽D，B′D′分別是∠ABC，∠A′B′C′的平分線.

又∠ABC=∠A′B′C′，

所以∠1=∠2.（）

這一大題拉長(zhǎng)了推理的過(guò)程，除了落實(shí)“培養(yǎng)事出有因、言必有據(jù)的思維習(xí)慣”外，還通過(guò)填寫殘缺的推理內(nèi)容，有向?qū)W生滲透“培養(yǎng)有條理地思考、表達(dá)的能力”的意圖.幫助學(xué)生扶著拐杖嘗試演繹推理，為了更好地向獨(dú)立推理證明邁進(jìn).

4.復(fù)習(xí)題照應(yīng)

為了鞏固前面推理證明滲透的成果，特在本章的復(fù)習(xí)題中增設(shè)一題，P37的第13題，它仍然是通過(guò)留白的方式，督促學(xué)生寫出證明的過(guò)程，并填好每一步的根據(jù).讓學(xué)生在這種初具框架的證明環(huán)境中得到歷練，照應(yīng)對(duì)推理證明的加強(qiáng)，把推理引向深入，為后面三角形一章推理證明的學(xué)習(xí)做好了鋪墊.

P37的第13題完成下面的證明.（1）如圖6，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是△ABC的邊BC，CA，AB上的點(diǎn)，DE∥BA，DF∥CA，求證：∠FDE=∠A.

證明：因?yàn)镈E∥BA，

所以∠FDE=_______.（）

因?yàn)镈F∥CA，

所以∠A=_________，（ ）

所以∠FDE=∠A.

圖6

圖7

（2） 如圖7，AB和CD相交于點(diǎn)O，∠C=∠COA，∠D=∠BOD.求證：AC∥BD.

證明：因?yàn)椤螩=∠COA，∠D=∠BOD，

又∠COA=∠BOD，（ ）

所以∠C=________.

所以AC∥BD.（）

其中的（1）題以平行線的性質(zhì)為載體，在順接P24習(xí)題5.3第13題的基礎(chǔ)上實(shí)施了提升，把原來(lái)的補(bǔ)寫1個(gè)推理空缺增加到2個(gè)，并且圖形復(fù)雜了，需要仔細(xì)地甄別，才能做出選擇，增加了推理滲透的力度；（2）題雖然僅是需要一個(gè)推理空缺的填寫，但進(jìn)行推理的條件眾多，增大了推理的跨度，將初步的推理證明推向階段性高度.

四、對(duì)后續(xù)學(xué)習(xí)推波助瀾

通過(guò)以上層級(jí)推進(jìn)式的學(xué)步訓(xùn)練，三種語(yǔ)言的不斷切換，尤其對(duì)符號(hào)語(yǔ)言的駕馭，使得推理簡(jiǎn)潔明了、有條不紊，為形式化推理證明鋪開(kāi)了路，在搭架子注理由、承上啟下填短句等“補(bǔ)白”的慢過(guò)程中，立足“照葫蘆畫(huà)瓢”式的模仿，逐步熟悉推理過(guò)程、明晰推理規(guī)則，經(jīng)由如此脈絡(luò)，推理意識(shí)不斷滲入，證明觀念得以涵育，思維視野漸次拓寬，縱然是初步的邏輯推理的體驗(yàn)和模仿過(guò)程，但這是真切的認(rèn)識(shí)、感悟，為八年級(jí)及以后的嚴(yán)格、規(guī)范的推理來(lái)了個(gè)緩沖，做好了鋪墊，打好了基樁，在后繼學(xué)習(xí)中，學(xué)生面對(duì)推理與證明，自然有了心理接納的物質(zhì)基礎(chǔ)和精神準(zhǔn)備，有效消除了畏難情緒.

五、結(jié)束語(yǔ)

縱觀以上題目的變化以及對(duì)這類題目的豐盈，無(wú)不昭示出對(duì)推理證明的加強(qiáng)，并且我們可以看到這種加強(qiáng)是逐步推進(jìn)的，符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)及心理規(guī)律.從教材習(xí)題看，尚未要求學(xué)生獨(dú)立證明一個(gè)真命題，當(dāng)然這是當(dāng)下教材要求的底線，而對(duì)學(xué)有余力的學(xué)生可以鼓勵(lì)他們嘗試規(guī)范書(shū)寫、自己證明，以提早摸索推理之道，鍛煉自己的邏輯思維，踐行好因材施教的基本原則.筆者通過(guò)研讀、思考，斗膽從題目的變化中挖掘內(nèi)蘊(yùn)、攝取信息，作了以上的分析，不當(dāng)之處，請(qǐng)各位同仁斧正！

1.李海東.直觀實(shí)驗(yàn)、邏輯推理、幾何證明的教育價(jià)值［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)，2005（6）.

2.項(xiàng)武義.基礎(chǔ)幾何學(xué)［M］.北京：人民教育出版社，2004.