☉浙江省臺州市椒江二中 金立榮

函數(shù)圖像的平移作為一種重要的幾何變換，在中學(xué)數(shù)學(xué)中占有十分重要的地位，它不僅能簡化函數(shù)的解析式，方便學(xué)生準確畫出函數(shù)圖像和了解函數(shù)性質(zhì)，而且還能揭示同名函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，啟發(fā)學(xué)生舉一反三，融通歸一，從而更好地認識函數(shù)的本質(zhì).因此學(xué)好函數(shù)圖像的平移，意義重大而深遠.但在現(xiàn)實的學(xué)習中，學(xué)生的學(xué)習效果卻不太理想，用傳統(tǒng)的方法解決就會過于復(fù)雜，且容易出錯.針對這一現(xiàn)狀，筆者認真閱讀了課程標準中函數(shù)平移的相關(guān)知識，并在此基礎(chǔ)上用幾何畫板將函數(shù)圖像平移和平移界點作細致而深入的研究，給出了一種函數(shù)圖像平移變換的規(guī)律，以供讀者參考.

一、問題提出

問題1 把二次函數(shù)y=3x2的圖像向左平移2個單位，再向上平移1個單位，所得到的圖像對應(yīng)的二次函數(shù)表達式是（ ）.

A.y=3（x-2）2+1 B.y=3（x+2）2-1

C.y=3（x-2）2-1 D.y=3（x+2）2+1

學(xué)生看到關(guān)于這些函數(shù)的圖像平移變換就發(fā)愣——“心理失敗”.這些函數(shù)圖像的平移變換和有具體解析式的函數(shù)是一樣的，它們?nèi)匀蛔裱瘮?shù)概念的本質(zhì)及圖像變換的基本性質(zhì).下面就此題借助幾何畫板的演示，讓學(xué)生在運動變化中掌握“動中有靜，靜觀其變，動靜結(jié)合”的基本策略，突破難點.

二、探究的方法和過程

1.新建參數(shù)構(gòu)造函數(shù)動態(tài)解析式

用參數(shù)構(gòu)造函數(shù)解析式，可以通過參數(shù)的改變來控制解析式的改變，進而控制函數(shù)圖像的改變.動態(tài)解析式的實現(xiàn)生動直觀地揭示了函數(shù)的性質(zhì)以及函數(shù)圖像的變化規(guī)律，在教學(xué)實踐中取得了非常好的效果.下面我們以用參數(shù)構(gòu)造動態(tài)解析式y(tǒng)=a（x-h）2+k為例，來看動態(tài)解析式是如何通過參數(shù)來實現(xiàn)的.

2.新建三個參數(shù)a、h、k

3.畫函數(shù)的圖像

（1）選擇“繪圖”菜單的“繪制新函數(shù)”命令，彈出“新建函數(shù)”計算器.

（2）依次點擊“工作區(qū)中的a=……”、“計算器上的*”、“（”、“x”、“-”、“工作區(qū)中的h=……”，移動光標到括號外，再點“^”、“2”、“+”、“k”.

（3）這時你的計算器中的顯示如圖1所示，單擊確定.這時工作區(qū)中會出現(xiàn)函數(shù)的圖像和坐標系.為分析問題1需要改變參數(shù)a=3、h=0、k=0的值，拋物線的形狀進行相應(yīng)的改變，如圖2所示.

圖1

圖2

（4）動態(tài)解析式的建立.

運行幾何畫板后，單擊“圖表”菜單，選擇“新建參數(shù)”命令后出現(xiàn)如圖3所示的對話框，參數(shù)默認無單位，也可以建立帶單位的參數(shù).單擊“確定”后，在畫板工作區(qū)便出現(xiàn)了參數(shù)，如圖4所示.（說明：還可以通過“度量”/“計算”命令新建參數(shù)）

圖3

圖4

（5）控制參數(shù)值的改變.

參數(shù)建立后，如何對參數(shù)進行控制呢？常用的有以下三種方法.

方法1：選中工作區(qū)中的參數(shù)，通過按鍵盤上的“+”或“-”鍵可以使參數(shù)值增加或減小.

方法2：雙擊工作區(qū)中的參數(shù)，打開“編輯參數(shù)”對話框（如圖5），可以直接輸入需要的參數(shù)值.

圖5

方法3：選中參數(shù)后，選擇“編輯”菜單下的“操作類按鈕”下拉菜單中的“動畫”命令，打開參數(shù)的動畫屬性對話框（如圖6），根據(jù)需要進行相關(guān)設(shè)置.單擊“確定”后，在工作區(qū)中出現(xiàn)一個“運動參數(shù)”按鈕，單擊此按鈕，參數(shù)按設(shè)置進行變化.

圖6

（6）動中思靜，找出規(guī)律.

通過點擊“動畫距離參數(shù)”按鈕，讓圖形動起來，就可以觀察函數(shù)圖形位置改變隨參數(shù)h的改變而左右平移（如圖7），變成動態(tài)問題；同一坐標系中，y=3（x-2）2的圖像（如圖8）是由函數(shù)y=3x2的圖像向右平移2個單位得到的，而y=3（x+2）2的圖像（如圖9）是由函數(shù)y=3x2的圖像向左平移2個單位得到的.這樣函數(shù)沿著x軸移動，變換的是x，口訣是左加右減.

圖7

圖8

圖9

同理，y=3x2+2的圖像（如圖11）是由函數(shù)y=3x2的圖像向上平移2個單位得到的，而y=3x2-2的圖像（如圖12）是由函數(shù)y=3x2的圖像向下平移2個單位得到的.這樣函數(shù)圖像沿著y軸移動，變換的是y，口訣是上加下減.

圖10

圖11

圖12

三、函數(shù)圖像平移規(guī)律的實驗

二次函數(shù)頂點式的圖像的平移規(guī)律是左加右減，上加下減.那么其他函數(shù)圖像的平移也是這樣的嗎？

在剛才探究的基礎(chǔ)上，先不妨以反比例函數(shù)為例繼續(xù)研究反比例函數(shù)圖像平移的過程，從解決問題的方法與策略上加以強化與提煉，這樣才能更好地拓展師生“研究活動”的時間和空間，提升“研究活動”的質(zhì)量與功能.

圖13

圖14

圖15

四、函數(shù)圖像平移規(guī)律的應(yīng)用

問題3 在平面直角坐標系中，將直線y=-3x-2：

（1）向左平移2個單位長度，所得直線的解析式為________.

（2）先向右平移1個單位長度，再向下平移2個單位長度，所得直線的解析式為_________.

分析：函數(shù)沿著x軸移動，變換的是x，口訣是左加右減，所以向左平移2個單位長度，-3x要變?yōu)?3（x+2）.

解（運用結(jié)論解答）：（1）y=-3（x+2）-2，即y=-3x-8；

（2）y=-3（x-1）-2-2，即y=-3x-1.

通過上述一系列活動，讓學(xué)生在體驗二次函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)的運動過程中，感性認識各類函數(shù)圖像的平移和變量之間的關(guān)系.函數(shù)圖像的平移問題本質(zhì)上是根據(jù)平移前后兩個函數(shù)的位置關(guān)系，來求解平移后新函數(shù)的解析式.類似以上的規(guī)律還有很多，學(xué)生完全沒有必要把每一個都總結(jié)出來，只要熟練掌握了基礎(chǔ)知識和探究問題的方法，問題的難點會一一解決.希望學(xué)生在學(xué)習中抓好基礎(chǔ)知識，熟練應(yīng)用基礎(chǔ)知識解決問題.不要有“放棄”的態(tài)度，應(yīng)該仔細分析，利用基本知識一點點突破，最終解決問題.

五、理論獲得

發(fā)現(xiàn)活動和探究活動都不可使活動過多停留在外部操作的形式上，而應(yīng)及時使活動上升到內(nèi)部的思維操作層面上，這是數(shù)學(xué)探究活動的精髓所在！因此，教學(xué)中不要僅滿足“就題論題”，要善于“借題發(fā)揮”，如對高次函數(shù)的平移（如圖16、17、18）等都有左加右減、上加下減的規(guī)律.這可對他們今后進一步學(xué)習其他函數(shù)的平移、軸對稱等變換帶來深遠的影響！

圖16

圖17

圖18

值得一提的是，開展話語交流是對探究結(jié)果理論獲得進行理性升華的基本途徑，對于具有較高思維價值的方向不明、結(jié)論未知的探究題，要注意話語交流的開放性，最大限度地用話語交流來激發(fā)學(xué)生的探索欲望，從而使學(xué)生的創(chuàng)造性和發(fā)散性思維得到激發(fā).

現(xiàn)代信息技術(shù)為數(shù)學(xué)教學(xué)提供了強大的工具，使數(shù)學(xué)教學(xué)更加生動、形象、高效.在日常的教學(xué)中重視信息技術(shù)工具的應(yīng)用，借助圖形的形象思維，用數(shù)形結(jié)合的辦法來進行教學(xué)，更加形象、生動地說明圖形的平移、對稱、全等等圖形的變換、變化，更好地把數(shù)學(xué)與實際聯(lián)系起來，以說明數(shù)學(xué)學(xué)習的價值和目的，幫助學(xué)生對數(shù)學(xué)知識有更好的理解，提高教學(xué)質(zhì)量.