許 晴，祖正虎，徐致靖，張文斗，鄭 濤

(北京生物工程研究所，北京 100071)

1 引 言

公共交通系統(tǒng)是一個城市的關(guān)鍵基礎(chǔ)設(shè)施，與市民的日常生活、城市的正常運轉(zhuǎn)及經(jīng)濟發(fā)展密切相關(guān).復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的興起，為研究城市公共交通開辟了一條新的道路.將城市公交系統(tǒng)抽象為復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，可以從系統(tǒng)的高度研究公交系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)性質(zhì)及本質(zhì)規(guī)律，從公交系統(tǒng)發(fā)展變化的過程中探索系統(tǒng)潛在的演化機制，是對公交系統(tǒng)傳統(tǒng)研究方法的有益補充，有利于對現(xiàn)實公交系統(tǒng)的規(guī)劃、管理與決策.

國內(nèi)外學(xué)者從復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)角度對城市公共交通系統(tǒng)開展了大量研究.Sienkiewicz等［1］研究了波蘭22個城市的公共交通網(wǎng)絡(luò)，分析了度、特征路徑、簇系數(shù)等拓撲參數(shù).Ferber等［2］對世界上14個大城市的公交網(wǎng)絡(luò)進行了實證分析.國內(nèi)方面，Li Ping等［3］對中國10個較大城市(成都、廣州、杭州、上海、沈陽、深圳、天津、武漢、南京、北京)的公交網(wǎng)絡(luò)進行了實證分析，發(fā)現(xiàn)各城市公交網(wǎng)絡(luò)均表現(xiàn)出小世界特性.另外，他們研究了城市公交網(wǎng)絡(luò)的全局與局部效率，結(jié)果表明，這十個城市公交網(wǎng)絡(luò)局部效率很高，而全局效率很低.陸化普等［4］研究了廊坊、濟寧和大連的城市公交網(wǎng)絡(luò).顧前等［5］對北京、上海和杭州3大城市公共交通網(wǎng)絡(luò)分別在L空間和P空間映射下的網(wǎng)絡(luò)進行了研究，發(fā)現(xiàn)3個城市的公交網(wǎng)絡(luò)均具有較小的平均路徑和較大的簇系數(shù)，即具有典型的小世界特征，這種特征在P空間中反映更為明顯;節(jié)點度分布在Space L方法描述下具有無標(biāo)度特性，在Space P方法的描述下具有指數(shù)分布特征.惠偉等［6］以上海、北京等城市的公交線路部分站點和路線為例，分別從公交站點網(wǎng)絡(luò)、公交換乘網(wǎng)絡(luò)和公交線路網(wǎng)絡(luò)角度總結(jié)了城市公交網(wǎng)絡(luò)的復(fù)雜特性，發(fā)現(xiàn)北京和上海的公交網(wǎng)絡(luò)具有小世界特性，度分布都符合指數(shù)分布.

目前針對中國城市公交網(wǎng)絡(luò)的研究還僅限于對北京、上海、廣州、深圳等大城市的實證研究，尚沒有同時橫向?qū)Ρ确治龃罅砍鞘泄痪W(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)特征的研究.本文于2012年3月10日獲取可公開下載的城市公交信息數(shù)據(jù)庫(http://mobile.8684.cn/down)，各城市數(shù)據(jù)庫中包含該城市所有公交線路名稱、始末班車時間等信息及每條公交線路上(上下行)依次經(jīng)過的公交站點的名稱及經(jīng)緯度坐標(biāo)，利用C++編程解析數(shù)據(jù)庫內(nèi)容.考慮到部分城市公交系統(tǒng)規(guī)模過小(如云南潞西僅有2條公交線路8個公交站點)而帶來的隨機性影響，本文針對公交線路達到10條以上的330個中國城市的公交信息構(gòu)建公交復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，覆蓋了中國大陸直轄市、所有省份的省會城市及其他主要城市.各城市公交線路數(shù)量從10條(臨滄、渭南、滁州等)到1714條(北京)，公交站點數(shù)量從32個(臨滄)到9502個(上海)，公交系統(tǒng)規(guī)?？缍染薮?本文探討了不同規(guī)模的城市公共交通網(wǎng)絡(luò)在拓撲結(jié)構(gòu)上不依賴于城市人口、社會、經(jīng)濟等外部因素的共性特征，所得結(jié)論對城市公共交通研究及公交網(wǎng)絡(luò)演化建模具有指導(dǎo)和參考作用.

2 構(gòu)建公交復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)

定義網(wǎng)絡(luò)的拓撲結(jié)構(gòu)是分析公交網(wǎng)絡(luò)的前提和基礎(chǔ).目前，城市公交網(wǎng)絡(luò)拓撲模型主要采用L空間模型和P空間模型，分別對應(yīng)于公交站點網(wǎng)絡(luò)和公交換乘網(wǎng)絡(luò).公交站點網(wǎng)絡(luò)以公交站點為網(wǎng)絡(luò)節(jié)點，在同一條公交線路上相鄰的兩個公交站點間連一條邊.公交換乘網(wǎng)絡(luò)同樣以公交站點作為網(wǎng)絡(luò)節(jié)點，同一條公交線路上的任意兩個公交站點之間連上一條邊，如圖1所示.這兩種抽象方法在其它形式的交通網(wǎng)絡(luò)研究中也被普遍采用，如鐵路網(wǎng)絡(luò)［7］，地鐵網(wǎng)絡(luò)［8］等.除此之外，對交通網(wǎng)絡(luò)進行研究還有其他處理方法，如吳建軍、高自友等考慮公交線路起訖站點形成的網(wǎng)絡(luò)［9，10］.

P空間模型中，每個公交站點的節(jié)點度k和節(jié)點間的距離具有明確的物理意義.節(jié)點度代表從該站點不需換乘公交線路所能到達的公交站點數(shù)，節(jié)點間的距離可解釋為乘客從一個站點到達另一個站點所需乘坐的公交線路數(shù)目，即換乘次數(shù)+1.如圖2(b)中，節(jié)點3的度為5表示從站點3不需換乘可到達5個公交站點，節(jié)點1到5的距離為2表示乘客從站點1到站點5需要進行1次換乘才能到達.而L模型過度抽象使得特征參數(shù)值物理意義模糊，路徑選擇單純追求路徑最短，與乘客實際選擇出入較大，難以反映實際公交路網(wǎng)特性.同時，從圖1中可以看出，同一城市的公交線路網(wǎng)絡(luò)是公交換乘網(wǎng)絡(luò)的子圖，和公交線路網(wǎng)絡(luò)相比，公交換乘網(wǎng)絡(luò)包含了更多的信息.因此，本文主要研究城市公交系統(tǒng)在P空間映射下的網(wǎng)絡(luò)即公交換乘網(wǎng)絡(luò)的拓撲結(jié)構(gòu).

圖1 公交網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建示意圖Fig.1 Schematic diagram of public transport network building process

3 公交復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)度分布

圖2為公交站點數(shù)量前5名城市公交網(wǎng)絡(luò)累積度分布分別在半對數(shù)坐標(biāo)系中和雙對數(shù)坐標(biāo)系中的表現(xiàn).從圖中可以看出，這些網(wǎng)絡(luò)的累積度分布在半對數(shù)坐標(biāo)系下更接近于直線.對330個城市公交網(wǎng)絡(luò)累積度分布分別進行指數(shù)和冪律擬合得到指數(shù)值、標(biāo)準(zhǔn)偏差和擬合度等信息，可以看出對每個城市的公交網(wǎng)絡(luò)度分布更適合以指數(shù)分布進行描述，擬合得到的指數(shù)分布于(0.0085，0.25).網(wǎng)絡(luò)度分布符合指數(shù)分布表明中國城市公交復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)不是傳統(tǒng)的隨機網(wǎng)絡(luò)(節(jié)點度服從泊松分布)，也不是擇優(yōu)增長的網(wǎng)絡(luò)(節(jié)點度為冪律分布)，而是隨機演化的增長網(wǎng)絡(luò)，新增公交站點與已有公交站點的連接方式為隨機連接，此發(fā)現(xiàn)對330個城市具有普遍適應(yīng)性，暗示這可能是公交系統(tǒng)演化的內(nèi)在基本規(guī)律，對公交網(wǎng)絡(luò)演化建模研究具有重要指導(dǎo)意義.

圖2 按站點數(shù)量前5位城市公交復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)累積度分布(a)半對數(shù)坐標(biāo)系 (b)對對數(shù)坐標(biāo)系Fig.2 Cumulative degree distribution of public transport complex networks in top 5 cities ranked by bus station numbers(a)Under semi-logarithmic coordinate system(b)Under double logarithmic coordinate system

4 公交網(wǎng)絡(luò)的小世界特征

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的小世界性質(zhì)指網(wǎng)絡(luò)具有如下拓撲特征:

在本文研究的330個城市的公交網(wǎng)絡(luò)中，平均最短路徑最大的城市是上海(3.458)，表示在上海市的9502個公交站點中，從任意一個站點到另外一個站點平均只需換乘2.458次即可到達.每個城市公交換乘網(wǎng)絡(luò)簇系數(shù)分布于(0.707465，0.943122)，均遠大于對應(yīng)隨機網(wǎng)絡(luò)的簇系數(shù).表1為按公交站點數(shù)量排名前10名城市公交換乘網(wǎng)絡(luò)基本統(tǒng)計參數(shù).因全部城市公交網(wǎng)絡(luò)的基本統(tǒng)計參數(shù)較多，無法在正文中有所體現(xiàn)，故本文中只節(jié)選前10名城市數(shù)據(jù)(如需要全部數(shù)據(jù)可與本文作者聯(lián)系:xuqing1443@yahoo.com.cn).從這些統(tǒng)計結(jié)果可以看出，城市公交網(wǎng)絡(luò)普遍具有較小的平均路徑和較大的簇系數(shù)，即典型的小世界網(wǎng)絡(luò)特征.

表1 站點數(shù)量前10名城市公交網(wǎng)絡(luò)基本統(tǒng)計參數(shù)Tabel 1 Basic statistical parameters of public transport network in top 10 cities ranked by bus station numbers

5 公交網(wǎng)絡(luò)同配性質(zhì)

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同配性質(zhì)描述網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點之間的連接偏好，間接反映了網(wǎng)絡(luò)的組織演化機制.如果度大的節(jié)點傾向于連接度大的節(jié)點，則稱網(wǎng)絡(luò)是正相關(guān)(Assortatieness)，反之則是負相關(guān)(Disassortativeness)的.Pastor － Satorras 等人［11，12］給出了同配性一個簡潔直觀的刻畫，即計算度為k節(jié)點的鄰居節(jié)點的平均度，其值為k的函數(shù).對于正、負相關(guān)的網(wǎng)絡(luò)，函數(shù)圖形分別是k的遞增、遞減曲線;對于不相關(guān)的網(wǎng)絡(luò)，函數(shù)值為常數(shù).隨后，Newman指出只需計算節(jié)點度的Pearson相關(guān)系數(shù)r(－1≤r≤1)就可以描述網(wǎng)絡(luò)的同配性［13］，r定義為

式中 ji，ki分別表示連接第i條邊的兩個頂點j，k的度，M表示網(wǎng)絡(luò)的總邊數(shù).r的取值范圍為(－1≤r≤1)，當(dāng)r＞0時，網(wǎng)絡(luò)是正相關(guān)的;當(dāng)r＜0時，網(wǎng)絡(luò)是負相關(guān)的;當(dāng) r=0時，網(wǎng)絡(luò)不相關(guān).

Sienkiewicz等在文獻［1］中分析了22個波蘭城市P空間映射下公交網(wǎng)絡(luò)的同配性，發(fā)現(xiàn)站點數(shù)量N＜500的城市公交網(wǎng)絡(luò)普遍負相關(guān)，N＞500的普遍正相關(guān).對中國城市公交網(wǎng)絡(luò)同配性的研究發(fā)現(xiàn)，這個相變點出現(xiàn)在大約 N=1000處，在N＞1000的32個城市中，度度正相關(guān)的城市為27個，N＜1000的298個城市中，度度負相關(guān)的城市為240個，占 90.03%，如圖 3所示.這表明，在N＜1000的城市公交系統(tǒng)中，度大的公交站點更傾向于連接度小的站點，而N＞1000的大城市公交系統(tǒng)中度大的站點更傾向于連接度大的站點，該結(jié)論對理解城市公交系統(tǒng)從原始站點到發(fā)展完善的演化規(guī)律及公交系統(tǒng)演化建模研究具有重要意義.

圖3 各城市公交站點數(shù)量和網(wǎng)絡(luò)同配性的關(guān)系Fig.3 The assortativity coefficient as a function of N

6 公交復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的等級模塊性

定義 ＜C(k)＞為度為k節(jié)點的平均簇系數(shù)，則 ＜C(k)＞與k之間的關(guān)系稱為簇度相關(guān)性(Clustering-Degree Correlations)，反映了不同度值節(jié)點間相互直接連接的聚類程度.

根據(jù)公交網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建機制，同一條公交線路上的公交站點之間形成一個完全連通圖，每個公交站點的簇系數(shù)都為1.當(dāng)某一公交站點同時還在其它公交線路上時，如圖1中的公交站點3同時屬于公交線路1和2，公交站點3的節(jié)點度增加，但線路1上其它站點和線路2上其它站點之間存在連邊的可能性幾乎肯定小于1，因此節(jié)點3的簇系數(shù)幾乎肯定要減小.可以看出，在公交網(wǎng)絡(luò)中，節(jié)點的簇系數(shù)和節(jié)點度之間具有強烈的負相關(guān)性.對中國城市的公交網(wǎng)絡(luò)研究發(fā)現(xiàn)，普遍存在如下現(xiàn)象:對較小的節(jié)點度，平均度簇系數(shù)幾乎保持不變，接近于1.隨著節(jié)點度的增加，＜C(k)＞與k之間近似服從冪律關(guān)系:＜C(k)＞～k－β.如圖4所示為按公交站點數(shù)量前4位城市公交網(wǎng)絡(luò)節(jié)點度與平均度簇系數(shù)的關(guān)系.

平均度簇系數(shù)隨度的這種冪律變化行為表明該網(wǎng)絡(luò)具有等級模塊性［14，15］.產(chǎn)生這種現(xiàn)象的原因可以由網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建機制來解釋，每條公交線路上的所有站點之間構(gòu)成一個完全連通圖，從而形成一個局域世界，整個公交網(wǎng)絡(luò)就是由這些局域世界構(gòu)成，各個局域世界之間通過公交線路之間的共有站點發(fā)生聯(lián)系.最終導(dǎo)致公交網(wǎng)絡(luò)中度很小的節(jié)點屬于高度連接的小模塊，具有較高的簇系數(shù)，而度很高的hub節(jié)點簇系數(shù)較低，其作用只是把不同的模塊連接起來.

圖4 站點數(shù)量前4位城市公交網(wǎng)絡(luò) ＜C(k)＞隨k冪律下降Fig.4 The variation of the clustering coefficient ＜ C(k)＞ againstthe degree k forpublic transport network in top 4 cities ranked by N indicates a logarithmic decay for large k

7 研究結(jié)論

對現(xiàn)實中的復(fù)雜系統(tǒng)進行實證研究是進行建模研究的基礎(chǔ).本文收集整理了全國330個城市的公交數(shù)據(jù)，建立了P空間下的城市公交復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，并針對復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的小世界特性、度分布、網(wǎng)絡(luò)同配性、等級模塊性等結(jié)構(gòu)屬性進行了詳細研究和橫向?qū)Ρ确治?，得出如下主要結(jié)論:

(1)網(wǎng)絡(luò)度分布普遍呈指數(shù)分布，表示公交網(wǎng)絡(luò)演化機制為隨機增長演化.

(2)普遍具有較大的簇系數(shù)和較小的平均路徑長度，呈現(xiàn)典型的小世界特征.

(3)網(wǎng)絡(luò)同配性在公交站點數(shù)N等于1000處發(fā)生相變，小于1000的網(wǎng)絡(luò)大部分呈負相關(guān)，大于1000的網(wǎng)絡(luò)大部分呈正相關(guān).

(4)對較小的節(jié)點度，節(jié)點度平均度簇系數(shù)幾乎保持不變，接近于1.隨著節(jié)點度的增加，＜C(k)＞隨k的增大呈冪律下降關(guān)系，表示公交復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)具有顯著的等級模塊性.

各個城市公交網(wǎng)絡(luò)規(guī)模具有很大的跨度，各城市社會、經(jīng)濟、人口等方面也都存在較大差異，本文通過對眾多城市公交復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)參數(shù)進行縱向分析和橫向比較，找到公交網(wǎng)絡(luò)不依賴于這些外部因素的本質(zhì)屬性，本文研究成果可為探索城市公交網(wǎng)絡(luò)演化機制及建模提供參考和指導(dǎo)作用.

［1］Sienkiewicz J，Holyst J A.Statistical analysis of 22 public transport networks in Poland［J］.Physical Review E，2005，72(4):046127.

［2］VonF C，Holovatch T，Holovatch Y，et al.Public transport networks:empirical analysis and modeling［J］.The European Physical Journal B，2009，68:261-275.

［3］Li P，Xiong X，Qiao Z L，et al.Topological properties of urban public traffic networks in Chinese top-ten biggest cities［J］.Chinese Physical Letters，2006，23(12):3384-3387.

［4］Lu H P，Shi Y.Complexity of public transport networks［J］.Tsinghua Science and Technology，2007，12(2):204-213.

［5］顧前，楊旭華，王萬良，等.基于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的城市公共交通網(wǎng)絡(luò)研究［J］.計算機工程，2008，34(20):266-268.［GU Q，YANG X H，WANG W L，et al.Research on urban public transport networks based on complex networks［J］.Computer Engineering，2008，34(20):266-268.］

［6］惠偉，王紅.復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)在城市公交網(wǎng)絡(luò)中的實證分析［J］.計算機技術(shù)與發(fā)展，2008，18(11):217-219.［HUI W，WANG H.Empirical analysis of complex networks in public traffic networks［J］.ComputerTechnologyandDevelopment，2008，18(11):217-219.］

［7］Sen P，Dasgupta S，Chatterjee A，et al.Small-world properties of the Indian railway network［J］.Physical Review E，2003，67(3):036106.

［8］Latora V，Marchiori M.Is the Boston subway a smallworld network?［J］Physical A，2002，314(1):109-113.

［9］Wu J J，Gao Z Y，Sun H J，et al.Urban transit system as a scale-free network［J］.Modern Physics Letters B，2004，18(19＆20):1043-1049.

［10］吳建軍.城市交通網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)復(fù)雜性研究［D］.北京交通大學(xué)，2008.［WU J J.Studies on the complexity of topology structure in the urban traffic network［D］.Beijing Jiaotong University，2008.］

［11］Pastor S R，Vázquez A，Vespignani A.Dynamical and correlation properties of the Internet［J］.Physical Review Letters，2001，87(25):258701.

［12］Vázquez A，Pastor S R，Vespignani A.Large-scale topological and dynamical properties of the Internet［J］.Physical Review E，002，65(6):066130.

［13］Newman M E J.Assortative mixing in networks［J］.Phys Rev Lett，2002，89(20):208701.

［14］Ravasz E，Barabási A L.Hierarchical organization in complex networks［J］.Physical Review E，2003，67(2):026112.

［15］Ravasz E，Somera A L，Mongru D A，et al.Hierarchical organization of modularity in metabolic networks［J］.Science，2002，297(5586):1551-1555.