汪志宏 王 鵬

（陸軍軍官學(xué)院 合肥 230031）

1 引言

在現(xiàn)實(shí)生活中我們經(jīng)常碰到對(duì)一組方案進(jìn)行排序的問題，投票表決是經(jīng)常用到的方法。投票表決方法［1］歷史悠久，形式繁多，并且有效易操作。該方法實(shí)質(zhì)是一種序數(shù)群決策方法，也就是由多個(gè)人共同作決策，利用相應(yīng)的社會(huì)選擇函數(shù)，將各成員的偏好集結(jié)成社會(huì)的偏好，從而確定方案的排序。利用Borda分排序的方法［1］就是一個(gè)典型的序數(shù)類群決策方法，它是將m－1，m－2，…，1，0分別賦值予m個(gè)方案中排在第一位、第二位直到最后一位的方案，然后統(tǒng)計(jì)各方案的得分，依分?jǐn)?shù)大小排序。然而，利用Borda分排序常會(huì)遇到幾種方案得分一樣的情況，要將方案嚴(yán)格排序［3］，有必要對(duì)Borda函數(shù)進(jìn)行改進(jìn)。

2 一種類Borda函數(shù)

設(shè)有m個(gè)專家，n個(gè)方案，方案的集合為A＝｛x｝n。

定義2隨機(jī)變量X的分布律為

定義3函數(shù)

定義4函數(shù)

3 相關(guān)結(jié)論

定理1各方案利用第1類Borda分進(jìn)行排序同利用Borda分進(jìn)行排序結(jié)果是一致的。

證明：方案x的第1類Borda分

定理2若兩方案的第1類Borda分相同，只要其得票情況不完全一樣，則它們一定可以利用第k（k＝2，3，…，n）類Borda分中的一個(gè)進(jìn)行排序。

證明：假設(shè)方案a的賦值隨機(jī)變量X的分布律為P｛X＝n－k｝＝pk，k＝1，2，…，n。方案b的賦值隨機(jī)變量Y的分布律為P｛Y＝n－k｝＝qk，k＝1，2，…，n。則兩方案的第1類Borda分差：

假設(shè)對(duì)于其它的類Borda分，也有相似的結(jié)果，即有方程組：

…，n，其中pj－qj，j＝1，2，…，n看作未知量。

方程組的系數(shù)矩陣為

利用范德蒙行列式［2］知系數(shù)矩陣有一n－1階子式：

利用該函數(shù)進(jìn)行群決策方案排序的一般方法：

1）根據(jù)專家偏好確定每個(gè)方案的各勝選票數(shù)；

2）求出每個(gè)方案賦值隨機(jī)變量的期望，也就是第1類Borda分；

3）根據(jù)方案的第1類Borda分排序，若有幾個(gè)方案的分相同，求其第2類Borda分，對(duì)這幾個(gè)方案排序；

4）若再有幾個(gè)方案的分相同，再求它們的第3類Borda分，直到全部排序完成為止。

4 實(shí)例

例 設(shè)有7個(gè)專家，將4個(gè)方案A＝｛a，b，c，d｝進(jìn)行排序。已知他們的偏好次序?yàn)?/p>

滿足a?b?c?d的，2人；滿足b?c?a?d的，2人；滿足c?b?d?a的，1人；滿足d?a?c?b的，2人。

例題求解：

設(shè)a，b，c，d的賦值隨機(jī)變量分別為X1，X2，X3，X4，所以四個(gè)方案得分分別為

方案a，b分?jǐn)?shù)一樣，結(jié)果是a～Gb?Gd?Gc。

方案a，b的第二類Borda分：

所以最終結(jié)果：b?Ga?Gd?Gc。

5 結(jié)語(yǔ)

上文通過引入賦值隨機(jī)變量的期望或其函數(shù)的期望引入類Borda函數(shù)，用嚴(yán)密的數(shù)學(xué)語(yǔ)言證明了利用函數(shù)排序的可行性，方法容易理解便于運(yùn)用。

利用該群決策方法主要解決各方案得票情況不完全一樣的排序問題，若排序中遇到兩種或多種方案得票情況完全一樣，可以將這兩種或多種方案重投票然后綜合排序。

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