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        L-代數(shù)上的賦值

        2022-08-02 14:30:42高小燕
        榆林學(xué)院學(xué)報 2022年4期
        關(guān)鍵詞:定義

        高小燕

        (榆林學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,陜西 榆林 719000)

        Rump在2008年提出L-代數(shù)[1],它具有多值邏輯,直覺邏輯和量子邏輯的特點,因此L-代數(shù)是值得研究的非經(jīng)典邏輯代數(shù)。隨后,Yang等人討論了格效應(yīng)代數(shù)和L-代數(shù)的關(guān)系[2],該團隊還證明了正交模格也是L-代數(shù)[3]。Ciungu 證明了交換的KL-代數(shù)是BCI-代數(shù)[4]。在[5]中,Rump從代數(shù)、幾何和拓?fù)涞慕嵌冉o出了L-代數(shù)的一些例子。

        Busneag首先在希爾伯特代數(shù)上定義了賦值,并借助賦值給出了一種度量,證明了蘊含運算在該度量下是一致連續(xù)的[6]。在此基礎(chǔ)上,Lee在BE-代數(shù)引入了偽賦值,利用偽賦值給出了偽度量,并證明了其上的二元運算是一致連續(xù)的[7]。近些年,Mehrshad等人在BCK-代數(shù)上定義了偽賦值,證明了在由偽賦值誘導(dǎo)的拓?fù)湎?L-代數(shù)上的運算是連續(xù)的[8]。

        本文在L-代數(shù)中引入強偽賦值和偽賦值的概念,討論他們之間的關(guān)系。接著給出強偽賦值和偽賦值的構(gòu)造,最后給出了強偽賦值與態(tài)可以相互誘導(dǎo)的公式。

        1 預(yù)備知識

        定義1[1]設(shè)L非空集合,稱(L,→,1)為L-代數(shù),若它滿足以下條件:對于?x,y,z∈L,

        (L1)x→x=1,x→1=1,1→x=x;

        (L2)(x→y)→(x→z)=(y→x)→(y→z) ;

        (L3) 若x→y=y→x=1,則x=y 。

        在L上定義關(guān)系為 x≤y?x→y=1,對于?x,y∈L;可以證明它是偏序關(guān)系。若L有最小元0,則稱L是有界L-代數(shù)。

        例1設(shè)L={0,a,b,c,1},→運算定義如下:

        →0abc1011111ab1b11baa111c0ab1110abc1

        則(L,→,1)是一個有界L-代數(shù)。

        定義2 設(shè)(L,→,1)是一個L-代數(shù),R是一個實數(shù)集,φ∶L→R,給出以下條件,對于?x,y∈L:

        (pv1)φ(1)=0 ;

        (pv2) 若φ(x)=0,則x=1

        (pv3) φ(y)≤φ(x→y)+φ(x);

        (pv4)φ(y)+φ(y→x)=φ(x→y)+φ(x)。

        若φ滿足(pv1)和(pv3),則稱φ是偽賦值;若φ滿足(pv1)和(pv4),則稱φ是強偽賦值;若φ滿足(pv1),(pv2)和(pv3),則稱φ是賦值;若φ滿足(pv1)-(pv4)則稱φ是強賦值。

        例2 設(shè)(L,→,1)是L-代數(shù)(見例1),在L上定義實值函數(shù)φ如下

        可以驗證φ滿足(pv1),(pv3) (pv4),從而φ是偽賦值和強偽賦值。但這個L-代數(shù)無強賦值。這是因為,假設(shè)φ是強賦值,則它滿足(pv4),令y=c,x=0,則由φ(y)+φ(y→x)=φ(x→y)+φ(x)得φ(c)+φ(0)=φ(1)+φ(0),由于φ(1)=0,因此φ(c)=0,這與(pv2)矛盾。

        定義3 設(shè)L是一個L-代數(shù),L上Bosbach態(tài)是一個函數(shù)s∶L→[0,1],滿足以下條件:

        (s1) s(1)=1 ;

        (s2) s(x)+s(x→y)=s(y)+s(y→x)。

        例3 設(shè)(L,→,1)是L-代數(shù)(見例1),在L上定義實值函數(shù)s如下

        可以驗證s是(L,→,1)上的Bosbach態(tài)。

        2 主要結(jié)論

        命題1 設(shè)φ是L上的一個偽賦值,則以下命題成立:

        (1)φ是反序的,即x≤y?φ(x)≥φ(y);

        (2)φ(x)≥0。

        證明(1)x≤y設(shè),則x→y=1,可得φ(y)≤φ(x→y)+φ(x)=φ(1)+φ(x)=φ(x)即φ(y)≤φ(x)。

        (2) 因為x≤1,φ(1)=0且φ是反序的,所以φ(x)≥φ(1)=0。

        推論1 強偽賦值是是偽賦值。

        證明設(shè)φ是L上的一個強偽賦值,則它滿足φ(y)+φ(y→x)=φ(x→y)+φ(x),由命題1的(2)知φ(y→x)≥0,因此φ(y)≤φ(x→y)+φ(x)。

        下面給出例子,說明偽賦值不是強偽賦值。

        例4 設(shè)L={0,a,b,c,d,1},→運算定義如下:

        →0abcd10111111ad1d1d1bcc1111cbcd1d1daacc1110abcd1

        則(L,→,1)是一個L-代數(shù)。在L上定義實值函數(shù)φ如下

        可以驗證而φ是L上的偽賦值,但它并不是L上的強偽賦值,因為2=φ(0→a)+φ(0)≠φ(a→0)+φ(a)=3。

        定理1 (1) φ是L上的偽賦值,則φ1和φ2也是偽賦值;

        (2) φ是L上的賦值,則φ1和φ2也是賦值;

        (3) φ是L上的強偽賦值,則φ1也是強偽賦值;

        (4) φ是L上的強賦值,則φ1也是強賦值。

        證明(1) 因為φ是L-代數(shù)上的偽賦值,所以φ滿足以下條件:

        (pv1)φ(1)=0 和(pv3) φ(y)≤φ(x→y)+φ(x)。

        由于φ1(x)=wφ(x),(w>0)我們有φ(1)=wφ(1)=0,即(pv1)成立;φ1(x→y)+φ1(x)=wφ(x→y)+wφ(x)≥wφ(y)=φ1(y),從而可得(pv3)成立,這就證明了φ1為L-代數(shù)上的偽賦值。

        下面驗證φ2滿足(pv3),從而φ2是偽賦值。當(dāng)x=y=1時,結(jié)論顯然成立。

        當(dāng)x≤y且x≠1時,此時分兩種情況,情況1,y=1,結(jié)論顯然成立;情況2,y≠1,我們有φ2(x→y)+φ2(x)=φ2(1)+φ2(x)=φ2(x)=wφ(x)+b≥wφ(y)+b=φ2(y)。

        這是因為φ是偽賦值,由命題1知φ是反序的。

        當(dāng)x≤y不成立時, 此時分兩種情況, 情況1,x=1,

        φ2(x→y)+φ2(x)=φ2(1→y)+φ2(1)=φ2(y)。

        情況2,x嚴(yán)格小于1,此時y嚴(yán)格小于1,因此φ2(x→y)+φ2(x)=wφ(x→y)+b+wφ(x)+b≥wφ(y)+b=φ2(y)。

        (2) 設(shè)φ是L-代數(shù)上的賦值,則φ(x)=0,一定有x=1。若φ(x)=0則0=φ1(x)=wφ(x),又因為w>0,從而φ(x)=0,因此有x=1。由(1)知φ1是L-代數(shù)上的賦值。

        若φ2(x)=0則必有x=1。否則φ2(x)=wφ(x)+b≥b>0矛盾。由(1)知φ2是L-代數(shù)上的賦值。

        (3) 由(1)知,φ1滿足(pv1),下面證明φ1滿足(pv4),從而φ1也是強偽賦值。

        φ1(y)+φ1(y→x)=wφ(y)+wφ(y→x)=wφ(x→y)+wφ(x)=φ1(x→y)+φ1(x)。

        (4) 由(2)和(3)知(4)是成立的。

        下面的例子說明:φ是L上的強偽賦值,但φ2不是L上的強偽賦值。

        例5 設(shè)L={0,a,b,c,d,1},→運算定義見例4,在L上定義實值函數(shù)φ如下

        但φ2并不是L上的強偽賦值,這是因為

        4=φ2(0→b)+φ2(0)≠φ2(b→0)+φ2(b)=5。

        定理2 設(shè)L是一個L-代數(shù),s是L上的Bosbach態(tài)。定義一個實值函數(shù)φt(x)=t-ts(x),?x∈L,t∈R且t≥0,則φt是L上的一個強偽賦值。

        證明首先證明φt滿足(pv1), φt(1)=t-ts(1)=t-t=0。

        其次證明φt滿足(pv4),

        φt(x→y)+φt(x)=t-ts(x→y)+t-ts(x)=2t-t(s(x→y)+s(x)),由(s2)得s(x)+s(x→y)=s(y)+s(y→x),從而2t-t(s(x→y)+s(x))=2t-t(s(y)+s(y→x)=(t-ts(y))+(t-ts(y→x))=φt(y→x)+φt(y),因此φt是L上的強偽賦值。

        定理3 設(shè)L是一個L-代數(shù),φ是L上的強偽賦值。令s(x)=1-φ(x),則s是L上的一個Bosbach態(tài)。

        證明顯然s(1)=1-φ(1)=1-0=1,從而滿足(s1)。 下面證明 (s2)成立。由s(x)定義知

        s(x)+s(x→y)=1-φ(x)+1-φ(x→y),因為φ滿足(pv4),即φ(y)+φ(y→x)=φ(x→y)+φ(x),從而有s(x)+s(x→y)=1-φ(x)+1-φ(x→y)=1-φ(y)+1-φ(y→x)=s(y)+s(y→x),因此s是L上的一個Bosbach態(tài)。

        3 結(jié)語

        L-代數(shù)既有模糊邏輯的特性,又有量子邏輯的特點,是一類重要的非經(jīng)典邏輯代數(shù)。本文在L-代數(shù)上引入了強偽賦值的概念,給出一些構(gòu)造方法,也討論強偽賦值與態(tài)的關(guān)系。關(guān)于強偽賦值的存在性和度量的誘導(dǎo)還有待研究。

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