郭雄英

摘要：在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，三垂線定理是非常重要的內(nèi)容，要求學(xué)生必須重點(diǎn)掌握。三垂線定理及其逆定理是高考重點(diǎn)考核的知識(shí)點(diǎn)之一。因此，在教學(xué)中，教師如何將三垂線定理及其三垂線定理的逆定理講透是非常重要的。本文針對(duì)于優(yōu)化三垂線定理教學(xué)進(jìn)行了具體的分析和研究。教師通過(guò)不斷對(duì)三垂線定理進(jìn)行優(yōu)化教學(xué)，促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)上的進(jìn)步。

關(guān)鍵詞：三垂線定理；逆定理；爪子定理；教學(xué)

0 前言

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，針對(duì)于三垂線定理的教學(xué)，是重點(diǎn)的教學(xué)內(nèi)容，教師需要采用有效的教學(xué)方法，提高學(xué)生學(xué)習(xí)三垂線定理及其三垂線定理的逆定理的學(xué)習(xí)效率，使學(xué)生能夠全面的掌握三垂線定理及其三垂線逆定理的重點(diǎn)，并且將其融會(huì)貫通的應(yīng)用到實(shí)際的解題當(dāng)中。本文針對(duì)于三垂線定理主要進(jìn)行如下幾個(gè)方面的分析，對(duì)三垂線定理講解的重點(diǎn)進(jìn)行了研究，區(qū)分了三垂線定理以及逆定理，三垂線定理及其逆定理是爪子定理的特例這一事實(shí)，并且詳細(xì)的探討了如何靈活的的運(yùn)用三垂線定理及其三垂線定理的逆定理。下面就進(jìn)行具體的研究。

1 如何進(jìn)行三垂線定理的講解

在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)中，教師只有想辦法對(duì)三垂線定理進(jìn)行有效的講解，才能夠使學(xué)生全面的掌握三垂線定理方面的相關(guān)知識(shí)。教師在進(jìn)行三垂線定理講解的時(shí)候，應(yīng)該注意以下幾個(gè)方面[1]。一是，在強(qiáng)化三垂線定理?xiàng)l件的時(shí)候，教師應(yīng)該與學(xué)生一定對(duì)三垂線定理的內(nèi)容進(jìn)行解析，教師與學(xué)生一起對(duì)三垂線定理逐字逐句的進(jìn)行解釋，包括每個(gè)條件和結(jié)論的含義。二是，教師應(yīng)該揭示三垂線定理及其逆定理的實(shí)質(zhì)，三垂線定理及其逆定理是研究直線和直線之間垂直關(guān)系的。三是，應(yīng)該擬清三垂線定理的結(jié)構(gòu)關(guān)系。教師在進(jìn)行三垂線定理教學(xué)的過(guò)程中，學(xué)生剛開(kāi)始可能分不清各條直線之間的關(guān)系，教師應(yīng)該幫助學(xué)生將所涉及的面與線，線與線之間的關(guān)系進(jìn)行理順，三垂線定理及其逆定理的條件和結(jié)論一共涉及到四線、三垂以及一平面[2]。因此，在實(shí)際學(xué)習(xí)中學(xué)生一定要先找出兩個(gè)垂直，再推出第三個(gè)垂直。

2 正確區(qū)分三垂線定理及其逆定理

學(xué)生在實(shí)際的學(xué)習(xí)中，三垂線定理及其逆定理在理論上敘述非常的相似，很多學(xué)生在學(xué)生中，容易將三垂線定理和三垂線定理的逆定理混淆。因此，教師應(yīng)該教授學(xué)生的鑒別的方法。實(shí)際上，三垂線定理是判定平面內(nèi)一直線與該平面外的一直線（指斜線）垂直關(guān)系的，而三垂線定理的逆定理是判定平面內(nèi)一直線與這平面的斜線在該平面內(nèi)的射影的垂直關(guān)系的。三垂線定理及其三垂線定理的逆定理是有著本質(zhì)的區(qū)別的。

3 三垂線定理及其逆定理是爪子定理的特例

在高中數(shù)學(xué)中，三垂線定理及其逆定理是爪子定理的一個(gè)特例所存在。

爪子定理是：如圖1，ι是平面γ的斜線，m是ι在平面γ內(nèi)的射影，n為γ內(nèi)的任一直線，ι與平面γ所成的角為α，m與n所成的角為β，ι與n所成的角為θ，則cosθ=cosα·cosβ。

當(dāng)β=90°時(shí)，必有θ=90°，此時(shí)為三垂線定理；

當(dāng)θ=90°時(shí)，必有β=90°，此時(shí)為三垂線定理的逆定理。

4 如何靈活的的運(yùn)用三垂線定理及其逆定理

在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)中，教師對(duì)三垂線定理的教學(xué)，主要是為了學(xué)生能夠靈活的運(yùn)用三垂線定理，使學(xué)生能夠運(yùn)用三垂線定理解決實(shí)際的問(wèn)題[7]。教師應(yīng)該教會(huì)學(xué)生充分運(yùn)用平面位置的變化打破定勢(shì)思維習(xí)慣，通過(guò)下文的例題有意識(shí)的對(duì)學(xué)生加強(qiáng)訓(xùn)練，進(jìn)而確保學(xué)生能夠全面的掌握三垂線定理及其三垂線定理的逆定理。

例題：

如圖2所示，α∩β=CD，

AB⊥α于點(diǎn)E，AA1⊥β于點(diǎn)A1，

BB1⊥β于點(diǎn)B1，求證：CD⊥A1 B1

分析：

在本道習(xí)題中，一共涉及到2個(gè)平面，從圖1上看，CD和A1 B1均在平面β上，因此，這屬于內(nèi)內(nèi)二線，因此，我們?cè)谶M(jìn)行證明的時(shí)候針對(duì)于CD和A1 B1均在平面β上我們應(yīng)該運(yùn)用三垂線定理的逆定理進(jìn)行論證。而由題目我們可以推出，AB⊥CD，因此，我們?cè)谶M(jìn)行證明的過(guò)程中，需要充分的利用這個(gè)條件，在本題中，我們可以將AB⊥CD理解為平面α的垂線一定會(huì)垂直于所處在平面α內(nèi)的CD，由圖1我們可以了解，平面α和平面β是相交的，因此，我們可以得知AB是β的斜線，而由題目中AA1⊥β于點(diǎn)A1，BB1⊥β于點(diǎn)B1，我們所得，A1 B1是斜線AB在平面β中的射影。又從，α∩β，我們可以得知AB⊥CD是平面β中直線CD垂直于平面β的斜線AB。通過(guò)依據(jù)題目和圖1我們進(jìn)行分析，進(jìn)而理清了本題的證明思路，而本題主要就是應(yīng)用三垂線定理的逆定理進(jìn)行證明。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文主要對(duì)優(yōu)化三垂線定理的教學(xué)進(jìn)行了具體的分析和研究，通過(guò)本文的探討，我們了解到，教師在實(shí)際的教學(xué)中，需要采取相應(yīng)的教學(xué)策略，使學(xué)生全面的掌握有關(guān)于三垂線定理及其逆定理的相關(guān)方面的知識(shí)。另外，在教學(xué)中，教師應(yīng)該讓學(xué)生充分的理解三垂線定理的實(shí)質(zhì)和內(nèi)涵，學(xué)生只有掌握三垂線定理的實(shí)質(zhì)，才能夠真正的掌握有關(guān)于三垂線定理的知識(shí)，在平時(shí)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，解決實(shí)際的問(wèn)題，進(jìn)而不斷的促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)上的進(jìn)步。

參考文獻(xiàn)

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[7] 朱偉衛(wèi).例談三垂線定理及其逆定理圖形變換的訓(xùn)練[J].數(shù)學(xué)通報(bào)。 2009（06）。