李 楠 程錦房 何光進(jìn) 張 煒

（海軍工程大學(xué)兵器系 武漢 430033）

空間信號(hào)的波達(dá)方位估計(jì)是空間譜估計(jì)中的重要研究方向，其中大部分算法均需要知道入射信號(hào)源數(shù)，但在實(shí)際場(chǎng)合情況下信號(hào)源數(shù)往往未知，這就需要預(yù)先估計(jì)信號(hào)源數(shù).如果信源數(shù)估計(jì)錯(cuò)誤，就會(huì)導(dǎo)致信號(hào)子空間和噪聲子空間劃分不準(zhǔn)，即兩者不能完全正交，從而造成估計(jì)信號(hào)源時(shí)的漏報(bào)或虛警，同時(shí)導(dǎo)致信號(hào)波達(dá)方位的估計(jì)偏差.因此，只有準(zhǔn)確估計(jì)出信號(hào)源數(shù)才能有效地獲取信號(hào)源的波達(dá)方位.

目前常用的信號(hào)源數(shù)估計(jì)方法有：基于信息論準(zhǔn)則的方法、蓋氏圓方法、平滑秩法、矩陣分解法以及正則相關(guān)等方法［1－2］.基于信息論的 AIC準(zhǔn)則不是一致性估計(jì)，即在大快拍數(shù)的場(chǎng)合，仍然有較大的誤差概率，而最小描述長(zhǎng)度準(zhǔn)則是一致性估計(jì)，也就是在高信噪比情況下該準(zhǔn)則有較好的性能，但在小信噪比條件下該準(zhǔn)則相比AIC有高的誤差概率.蓋氏圓方法需要人工設(shè)置閾值，且在信噪比較低時(shí)常常會(huì)產(chǎn)生欠估計(jì)或過(guò)估計(jì).平滑秩法和矩陣分解法只適用于高信噪比和大快拍條件，且兩者均是以犧牲陣列孔徑為代價(jià)的.正則相關(guān)技術(shù)需要2個(gè)空間分離的陣列，硬件開(kāi)銷(xiāo)大，實(shí)際應(yīng)用中有困難.

文中提出一種基于核一致判別的信源數(shù)估計(jì)方法，它利用并行因子分析方法表示信號(hào)協(xié)方差張量，通過(guò)計(jì)算該模型的秩來(lái)確定信源數(shù)，由于矢量水聽(tīng)器聲壓和振速通道均含有信源數(shù)信息，本方法能夠充分利用多路信號(hào)的特點(diǎn)，在低信噪比和小快拍條件下實(shí)現(xiàn)信源數(shù)的估計(jì).本文將它稱之為核一致判別信源數(shù)估計(jì)方法.

1 矢量陣列輸出互譜張量模型

一均勻線陣由M個(gè)矢量水聽(tīng)器組成，用來(lái)接收R個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶信號(hào)，單矢量水聽(tīng)器信道數(shù)為Nc.設(shè)各個(gè)信號(hào)源發(fā)出的信號(hào)對(duì)于該均勻線列陣的入射角為（θ1，θ2，…，θR），則矢量陣的輸出模型為

式中：A（φ）＝ ［a（φ1）?u1，a（φ2）?u2，…，a（φR）?uR］；符號(hào) ? 表示Kronecker積，又稱直積；a（φr）＝ ［1，e－jβr，…，e－j（M－1）βr］T為信號(hào)導(dǎo)向矢量為相鄰陣元間同一信號(hào)的相位延遲；ur＝ ［1，cosθr，sinθr］為信號(hào)傳播矢量；S（t）＝［xi1（t），xi2（t），…，xiM（t）］T為入射信號(hào)波前矩陣（i＝1，2，…，Nc）；N（t）為噪聲矩陣.設(shè)信號(hào)和噪聲不相關(guān)，各陣元接收到的信號(hào)互相獨(dú)立，則輸出信號(hào)協(xié)方差為一個(gè)4階張量（M×Nc×M×Nc.其中：M為陣元數(shù)；Nc為單矢量水聽(tīng)器信道數(shù)）.

2 并行因子分析

并行因子分析最早應(yīng)用在化學(xué)光譜分析中，僅僅是在近幾年才被引入到陣列信號(hào)處理當(dāng)中來(lái).它是一種多維低秩分解方法，是二維低秩分解的擴(kuò)展.以三維張量X∈CI×J×K為例，它可以分解為

式中：ar，br，cr分別為矩陣A∈I×R，B∈J×R和C∈K×R的第r列向量；N∈CI×J×K表示噪聲，見(jiàn)圖1.實(shí)際情況下，信源功率一般是不等的，為提高信源數(shù)的估計(jì)性能，要對(duì)信號(hào)的功率進(jìn)行歸一化，使得

圖1 三階張量并行因子分解

任意一個(gè)三階張量X秩的定義與矩陣秩的定義類(lèi)似，即分解張量X所需要的秩為1的三階張量的最小數(shù)目［3］.并行因子分析方法的最大優(yōu)點(diǎn)是它的分解具有惟一性，而在傳統(tǒng)的矩陣雙線性分解中，如果沒(méi)有足夠的輔助信息（例如統(tǒng)計(jì)獨(dú)立、正交等條件）一般分解不惟一，另外并行因子分析對(duì)噪聲也具有較強(qiáng)的魯棒性.下面通過(guò)核一致判別法確定張量的秩，從而實(shí)現(xiàn)信源數(shù)的估計(jì).

3 核一致判別法估計(jì)信源數(shù)

為便于討論和讀者理解，這里仍以三階張量［4］為例進(jìn)行說(shuō)明，該方法可以直接向更高階擴(kuò)展（本文輸出信號(hào)協(xié)方差為四階張量）.

考慮一個(gè)三階秩R并行因子分析模型的矩陣化形式，它可表示為

式中：X∈CI×JK為張量X∈CI×J×K的矩陣化形式，即表示張量X的切片展開(kāi)；矩陣A∈CI×R，B∈CJ×R，C∈CK×R和N∈CI×JK.⊙表示 Khatri－Rao積.

文獻(xiàn)［4］表明，并行因子分析模型是Tucker3模型的一種特殊形式，所以經(jīng)過(guò)信源功率歸一化后，上面并行因子分析模型又可寫(xiě)成如下形式

式中：核矩陣T（R×RR）為張量T∈CR×R×R的切片展開(kāi)形式，張量T是三階超對(duì)角張量，即張量元素滿足

式中：δ（·）為Kronecker函數(shù).

矩陣A∈CI×R，B∈CJ×R，C∈CK×R均含有并行因子分析模型的秩信息，即信源個(gè)數(shù)信息，為有效提取三階張量秩，需計(jì)算下式的極小值［5］

式中：矩陣G∈CR×RR是三階張量G∈CR×R×R的切片展開(kāi)形式.

由文獻(xiàn)［6］可知式（7）可寫(xiě)成如下形式

式中：vecX為矩陣X的向量化表示.

式（12）的極小值解為

式中：＋為矩陣（C?B?A）的廣義逆.

經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)［7］，噪聲能量在張量核G∈CR×R×R中的分布具有趨于均勻化的特性，即張量G∈CR×R×R中的每個(gè)元素具有相近似的值，而信源能量在張量核G∈CR×R×R中的分布主要集中于超對(duì)角線上，尤其信源在功率歸一化后，張量核G∈CR×R×R與超對(duì)角張量T∈CR×R×R的差范數(shù)為零，即.通過(guò)計(jì)算核張量G與T的相似性最終確定信源數(shù)，這就是本文的理論基礎(chǔ).

核一致性可表示為

對(duì)于秩為1的張量核，由于沒(méi)有非對(duì)角元素，所以核一致性為100%，隨著張量秩R的增加，核一致性會(huì)減小，當(dāng)秩R達(dá)到最大（即達(dá)到該張量秩真值）時(shí)，若再增加秩R，則核一致性會(huì)迅速降低，原因在于噪聲的引入會(huì)導(dǎo)致非超對(duì)角線元素值的迅速增長(zhǎng)，這就是判別張量秩的主要依據(jù).

以上討論都是基于信源之間是相互獨(dú)立情況下進(jìn)行的，但實(shí)際上存在信源間存在相關(guān)甚至相干的情況，所以與二階矩陣類(lèi)似，在確定張量秩之前需對(duì)信號(hào)譜張量進(jìn)行空間平滑，方法采用與文獻(xiàn)［8］相同的方法即可.

4 算 例

為研究文中提出的核一致判別確定信源數(shù)方法的性能，進(jìn)行了大量的數(shù)值計(jì)算，結(jié)果如下.

算例1研究核一致判別信源數(shù)估計(jì)的成功概率隨信噪比的變化，并與蓋氏圓法和最小長(zhǎng)度描述法進(jìn)行比較.設(shè)有10個(gè)陣元矢量水聽(tīng)器線陣，陣元間距為半波長(zhǎng)，3個(gè)獨(dú)立的窄帶信號(hào)分別以15°，45°和60°的入射角入射到均勻線陣上，信號(hào)頻率為100Hz，噪聲為空間高斯白噪聲，快拍數(shù)為50，信噪比由－5dB變到20dB.核一致判別法、蓋氏圓法和最小長(zhǎng)度描述法分別獨(dú)立估計(jì)信源數(shù)300次，用蒙特卡洛法得到各自的正確估計(jì)概率，見(jiàn)圖2.由圖2可見(jiàn)：在低信噪比時(shí)，核一致判別法估計(jì)成功概率明顯好于蓋氏圓和最小描述長(zhǎng)度法，此外，蓋氏圓法需要根據(jù)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行人工設(shè)定判據(jù)的閾值.

圖2 3種方法估計(jì)正確概率隨信噪比的變化

圖3 3種方法估計(jì)正確概率隨快拍數(shù)的變化

算例2研究在不同快拍條件下，核一致判別法估計(jì)信源數(shù)成功的概率，并與蓋氏圓法、最小描述長(zhǎng)度法進(jìn)行比較.設(shè)有2個(gè)獨(dú)立的窄帶遠(yuǎn)場(chǎng)信號(hào)入射到均勻線陣上，入射角度分別為30°和75°，快拍數(shù)由30變化到180，信噪比為5dB，其他條件同算例1，用蒙特卡洛法計(jì)算，結(jié)果見(jiàn)圖3.由圖3可見(jiàn)：在小快拍條件下，核一致判別法依然要好于蓋氏圓法和最小描述長(zhǎng)度法，原因在于矢量水聽(tīng)器具有多路信號(hào)接收優(yōu)勢(shì)，能彌補(bǔ)采樣數(shù)目小的缺點(diǎn).

算例3研究獨(dú)立信源入射角夾角與信源數(shù)估計(jì)正確概率的關(guān)系，設(shè)信噪比為5dB，快拍數(shù)為100，2個(gè)獨(dú)立窄帶信號(hào)入射到均勻線列陣上，一個(gè)信號(hào)入射角為40°，另一個(gè)信號(hào)的入射角由41°變到50°，間距為1°，用蒙特卡洛法估計(jì)200次，其他條件同算例2，結(jié)果見(jiàn)圖4.由圖4可見(jiàn)，核一致判別法明與蓋氏圓法估計(jì)概率基本相當(dāng)，優(yōu)于最小描述長(zhǎng)度法，在夾角大于5°后，本文提出的方法估計(jì)的準(zhǔn)確概率近似為1.

圖4 3種方法估計(jì)正確概率隨夾角變化

算例4研究空間相關(guān)色噪聲下信源數(shù)估計(jì)正確概率，并與蓋氏圓法、最小描述長(zhǎng)度法進(jìn)行比較，空間相關(guān)色噪聲采用文獻(xiàn)［9］提供的模型，其他條件同算例2，信噪比為10dB，結(jié)果見(jiàn)圖5.由圖5可見(jiàn)：在相關(guān)系數(shù)大時(shí)，本文提供的方法明顯好于蓋氏圓法和最小描述長(zhǎng)度法.

圖5 空間相關(guān)色噪聲下3種方法估計(jì)正確概率比較

5 結(jié)束語(yǔ)

信源數(shù)準(zhǔn)確估計(jì)是很多方位估計(jì)的重要前提和基礎(chǔ)，以往基于矢量水聽(tīng)器的方位估計(jì)算法都是利用聲能流對(duì)各向同性噪聲的良好抑制實(shí)現(xiàn)的，但就如何提高聲矢量陣在信源數(shù)的估計(jì)準(zhǔn)確度方面沒(méi)有提出切實(shí)可行的辦法.本文通過(guò)多維信號(hào)處理提取了振速通道內(nèi)含有的信源數(shù)信息，比傳統(tǒng)方法能夠在更惡劣的環(huán)境噪聲情況下得到信源數(shù)，從而為后續(xù)方位估計(jì)提供基礎(chǔ).

［1］WAX M，KAILATH T.Detection of signals by information theoretic criteria［J］.IEEE Trans.On ASSP，1985，33：387－392.

［2］周 天，李海森，么 彬.近場(chǎng)源定位算法在水聲主動(dòng)成像系統(tǒng)中的應(yīng)用［J］.武漢理工大學(xué)學(xué)報(bào)：交通科學(xué)與工程版，2008，30（5）：135－138.

［3］ACAR E，YENER B.Unsupervised multi－way data analysis：a literature survey［J］.Transactions on Knowledge and Data Engineering，2009，21（1）：6－18.

［4］龔曉峰，劉志文，徐友根.電磁矢量傳感器陣列信號(hào)波達(dá)方向估計(jì)：雙模 MUSIC［J］.電子學(xué)報(bào)，2008，36（9）：1698－1073.

［5］MIWAKEICHI F，MARTINEZ M E，VALDES S P，et al.Decomposing EEG data into space－time－frequency components using parallel factor analysis［J］.NeuroImage，2004，22（3）：1035－1045.

［6］張賢達(dá).矩陣分析與應(yīng)用［M］.北京：清華大學(xué)出版社，2006.

［7］ESTIENNE F，MATTHIJS N，MASSART D，et al.Multi－way modelling of high－dimensionality electroencephalographic data［J］.Chemometrics and Intelligent Laboratory Systems，2007，58（1）：143－152.

［8］THAKRE A，HAARDT M，GIRIDHAR K.Single snapshot R－D unitary tensor－esprit using an augmentation of the tensor order［C］／／3rd IEEE International Workshop on Computational Advances in Multi－Sensor Adaptive Processing，2009：303－310.

［9］張 杰，廖桂生，王 玨.空間相關(guān)色噪聲下基于變換的信源數(shù)目標(biāo)估計(jì)［J］.電子學(xué)報(bào)，2005，33（9）：1581－1585.