高崇智

一、數(shù)學(xué)史與高中數(shù)學(xué)教學(xué)

數(shù)學(xué)史是一門交叉學(xué)科，它研究的領(lǐng)域是數(shù)學(xué)與史學(xué)相重疊的那個部分。數(shù)學(xué)這一學(xué)科是如此的古老而富有活力，致使對其歷史的研究也成為了學(xué)者們努力探求的一個公認(rèn)的學(xué)術(shù)領(lǐng)域，使學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的學(xué)生們?nèi)チ私膺@一學(xué)科的歷史是很自然的事情，數(shù)學(xué)史可以看成數(shù)學(xué)的重要組成部分。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史的目的，一是了解和熟悉數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史事實；二是在數(shù)學(xué)歷史發(fā)展的過程中，探索前人的數(shù)學(xué)思想。探索前人的數(shù)學(xué)思想，可以對現(xiàn)在的數(shù)學(xué)教育工作起到指導(dǎo)性的作用。我國的教育行政管理部門對于數(shù)學(xué)史的教育是十分重視的，數(shù)學(xué)史已成為中學(xué)數(shù)學(xué)教材中的重要組成部分，以習(xí)題、注釋等多種形式出現(xiàn)在教材中。把數(shù)學(xué)史融入日常的教學(xué)中，不僅有助于學(xué)生加深對數(shù)學(xué)概念、方法、思想、作用的理解與掌握，是利教、利學(xué)的好方法，高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)善于運用。平面解析幾何是高中數(shù)學(xué)的重要模塊，在高中數(shù)學(xué)中的位置舉足輕重，是高考重點考查的內(nèi)容之一，所以，了解解析幾何的創(chuàng)立過程，同時揭示平面解析幾何背后蘊含的思想，就顯得十分必要了。

二、解析幾何的創(chuàng)立

1.解析幾何創(chuàng)立的背景

幾何學(xué)的發(fā)展經(jīng)歷了漫長的歷史，最早的開端可以追溯到古埃及、古印度及古巴比倫，時間大約在公元前3000年，直到公元前3世紀(jì)，希臘大數(shù)學(xué)家歐幾里得把古埃及和古希臘人的幾何學(xué)知識加以系統(tǒng)地整理和總結(jié)，用公理化的方法建立起了一個嚴(yán)密的邏輯體系，這標(biāo)志著幾何學(xué)成為一個獨立的分支。在解析幾何建立之前，代數(shù)和幾何是兩個獨立的分支，代數(shù)學(xué)可以用來對抽象的未知量進行推測，幾何學(xué)可幫助人們認(rèn)識真實世界的知識和真理。然而，歐式幾何過多地依賴于圖形，抽象程度高，代數(shù)又過多地受到法則和公式的約束，缺乏直觀。兩者的局限性限制了數(shù)學(xué)的發(fā)展，如何能夠取兩者的精華，把代數(shù)學(xué)和幾何學(xué)有機地進行結(jié)合，去認(rèn)識真實世界的知識與真理？一門新的學(xué)科便呼之欲出了，這樣的背景之下，兩個法國人笛卡爾和費馬站在了時代的前列。

2.笛卡爾與費馬的解析幾何

笛卡爾有一個近乎瘋狂的想法——把一切問題變?yōu)閿?shù)學(xué)問題，再把一切數(shù)學(xué)問題變?yōu)榇鷶?shù)問題進行解決，這個想法促使笛卡爾最終建立了解析幾何。笛卡爾認(rèn)為希臘人留給后人的幾何方法過于抽象和特殊，歐式幾何的每一個證明，都需要一個新的特殊方法才能夠解決，這是“笨拙和不必要的”，笛卡爾透徹地看到代數(shù)方法的力量，出于一種對方法論的強烈興趣，笛卡爾著手把代數(shù)應(yīng)用于幾何中。他引入了“坐標(biāo)”的概念，利用“坐標(biāo)法”，提出方程表示曲線的思想，最終以“坐標(biāo)”這一媒介，實現(xiàn)了幾何問題的代數(shù)化。通常把笛卡爾作為解析幾何的創(chuàng)立者，因為他不僅使用了使人容易理解的記憶方法，以及遠(yuǎn)比他人優(yōu)越的技巧，而且他還把不同次數(shù)的幾條曲線同時表示在了同一個坐標(biāo)系內(nèi)，使得解析幾何所研究的空間形式大大地擴展了，笛卡爾的工作證明了這樣一個事實：幾何問題不僅可以歸結(jié)為代數(shù)形式，而且還可以利用代數(shù)語言通過代數(shù)變換去發(fā)現(xiàn)幾何性質(zhì)。而費馬也是解析幾何的創(chuàng)立者，那么費馬與笛卡爾兩者有什么不同呢？費馬與笛卡爾研究的角度和方法不同，各有側(cè)重。笛卡爾的研究角度是由軌跡出發(fā)去探究它的方程；而費馬則是由方程出發(fā)去探求它的軌

跡，前者由幾何到代數(shù)，后者由代數(shù)到幾何，一正一反，正好是解析幾何的兩個方面，所以，費馬與笛卡爾同享解析幾何創(chuàng)立者這一殊榮。但是從歷史的發(fā)展來看的話，笛卡爾的工作更加具有突破性。

三、平面解析幾何背后的思想

1.化歸思想

化歸思想是一種重要的數(shù)學(xué)思維模式，在數(shù)學(xué)中幾乎無處不在?；瘹w實際上是一種用來轉(zhuǎn)化問題的策略，將一個難度較大的問題，通過某種途徑，轉(zhuǎn)化為相對簡單的問題，并通過已有的經(jīng)驗和知識進行解決，簡單化、直觀化和熟悉化是化歸的基本原則，其關(guān)鍵是要實現(xiàn)問題的模式化、規(guī)范化；將未知化為已知、化難為易、化抽象為具體、化一般為特殊等是化歸的方向?；瘹w思想是解析幾何的最基本思想，這點毋庸置疑，解析幾何的產(chǎn)生，實際上就來自于化歸思想，即把幾何問題化歸為代數(shù)問題進行解決。

2.方程思想

利用平面直角坐標(biāo)系，可以建立起一系列的對應(yīng)關(guān)系，比如平面的點與有序數(shù)對的對應(yīng)。這樣一來，幾何圖形便能夠看成一些點的集合，于是，這些點的坐標(biāo)便會滿足某些關(guān)系或者條件，這些關(guān)系或條件一般可以表示為等式，也就是方程；然后用代數(shù)的運算去求解所得到的方程，最后，再將所得到的代數(shù)結(jié)論“翻譯”為幾何結(jié)論，以上便是方程思想的基本體現(xiàn)。方程思想在平面解析幾何的應(yīng)用，最明顯的例子，便是在求解曲線方程時常用的“待定系數(shù)法”了。而事實上，無論點、直線、曲線，都可以用方程的形式表示出來，也就是所謂的軌跡方程，而方程的表現(xiàn)形式也是多樣的，例如，直線方程就有參數(shù)方程、兩點式方程、一般方程等等。這樣當(dāng)研究空間中點、直線或者曲線之間的關(guān)系時，便可根據(jù)具體情況而去選擇不同形式的直線方程，能夠幫助我們大大的簡化計算，而且有時對于不同形式的直線方程存在著不同的幾何意義。

3.向量思想

向量源出于物理當(dāng)中的矢量，自從向量被引入到數(shù)學(xué)當(dāng)中，

一些代數(shù)運算被向量運算極大地化簡。向量法的基本思想是根據(jù)問題的特征引進向量，利用向量的性質(zhì)及其運算規(guī)律實現(xiàn)幾何的證明。我們都知道平面解析幾何的基本思想是用代數(shù)的方法去研究解決平面幾何問題，為了能夠把幾何問題從對于形的研究轉(zhuǎn)化為能夠定量去計算的層面，我們就需要把幾何結(jié)構(gòu)代數(shù)化。正因為如此，我們引入了向量及向量的坐標(biāo)運算，可以說它們是將幾何結(jié)構(gòu)代數(shù)化的基礎(chǔ)。而且向量與坐標(biāo)也貫穿了整個解析幾何的學(xué)習(xí)，同時也為后繼課程的學(xué)習(xí)奠定了重要的基礎(chǔ)。事實上，我們可以把各種角的計算看成是兩向量夾角的計算；而各種距離的計算也可以通過求解向量的模長而得以實現(xiàn)。用向量方法來求解一些較為復(fù)雜的平面幾何問題，可以避免一些繁雜的代數(shù)與三角運算，更加方便而快捷地得到答案?？梢哉f向量法為平面幾何問題的研究提供了一種新的途徑，也是在高中平面解析幾何教學(xué)當(dāng)中必須要掌握的思想方法之一。

4.數(shù)形結(jié)合思想

解析幾何的實質(zhì)就是用代數(shù)的方法來研究并解決幾何問題，就是尋求方法去把空間或平面的幾何結(jié)構(gòu)系統(tǒng)進行數(shù)量化和代數(shù)化，即建立坐標(biāo)系，使得有序的實數(shù)組或?qū)崝?shù)對與空間或平面的點一一對應(yīng)，這樣，幾何問題便可以轉(zhuǎn)化為代數(shù)形式。因此在研究解析幾何問題時，就可用我們所熟悉的代數(shù)方法來進行研究。既然是研究幾何問題，自然避免不了數(shù)與形的碰撞，所以數(shù)形結(jié)合也是極其重要的思想方法。數(shù)形結(jié)合思想是指：在研究問題時， 注意數(shù)與形的結(jié)合，即根據(jù)問題的具體情形，把問題的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)，使復(fù)雜問題簡單化，從而使問題得到正確而有效的解決。在高中的平面解析幾何中，當(dāng)題目中出現(xiàn)了“圓”或者“角平分線”時，幾乎無一例外的要用到數(shù)形結(jié)合。解析幾何堪稱是數(shù)形結(jié)合的典范。由向量及其運算所建立的坐標(biāo)系是數(shù)形相互轉(zhuǎn)化的橋梁，實現(xiàn)了由數(shù)到形的轉(zhuǎn)化。

對于高中教師而言，不僅僅在平面解析幾何的教學(xué)過程中，

在高中的整個教學(xué)過程中，都應(yīng)該盡可能地利用數(shù)學(xué)史激發(fā)學(xué)生的興趣，并在教學(xué)過程中挖掘隱含在其背后的深刻思想，這樣才會讓學(xué)生覺得，原來，“數(shù)學(xué)”并非是印刷著成串定理及公式的“冷冰冰”的一本教材。

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（作者單位 黑龍江省拜泉縣第一中學(xué)）