莆田涵江區(qū)三江口鎮(zhèn)三江小學(xué) 梁仁東

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合情推理在小學(xué)數(shù)學(xué)四個(gè)領(lǐng)域中的應(yīng)用

莆田涵江區(qū)三江口鎮(zhèn)三江小學(xué) 梁仁東

在解決問(wèn)題的過(guò)程中，合情推理具有猜測(cè)和發(fā)現(xiàn)結(jié)論、探索和提供思路的作用，是“發(fā)現(xiàn)真理”的思維。合情推理適合小學(xué)生的思維特點(diǎn)，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)注重合情推理的應(yīng)用，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展。

合情推理 小學(xué)數(shù)學(xué) 教學(xué)應(yīng)用

推理一般包括演繹推理和合情推理，合情推理是根據(jù)已有的事實(shí)和正確的結(jié)論（包括定義、公理、定理等）、實(shí)驗(yàn)和實(shí)踐的結(jié)果，以及個(gè)人的經(jīng)驗(yàn)和直覺(jué)等推測(cè)某些結(jié)果的推理過(guò)程，歸納、類比是合情推理中常用的思維方法。在解決問(wèn)題的過(guò)程中，合情推理具有猜測(cè)和發(fā)現(xiàn)結(jié)論、探索和提供思路的作用，是“發(fā)現(xiàn)真理”的思維?！稊?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》也提出，“學(xué)生通過(guò)義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明等數(shù)學(xué)活動(dòng)，發(fā)展合情推理能力和初步的演繹推理能力?！币虼?，教師應(yīng)當(dāng)創(chuàng)造性地使用教材，將合情推理落實(shí)到“數(shù)與代數(shù)”、“空間與圖形”、“統(tǒng)計(jì)與概率”、“實(shí)踐與綜合應(yīng)用”等四個(gè)領(lǐng)域之中，把數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)的過(guò)程展開(kāi)、還原，讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、比較、歸納、類比……即根據(jù)合情推理提出猜想，然后再通過(guò)演繹推理證明猜想是否正確，發(fā)展學(xué)生的思維能力和創(chuàng)新能力。

1 合情推理在“數(shù)與代數(shù)”中的應(yīng)用

“數(shù)與代數(shù)”的內(nèi)容主要包括數(shù)與式、方程與不等式、函數(shù)，它們都是研究數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型。這一領(lǐng)域的整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)和百分?jǐn)?shù)及其運(yùn)算的意義、法則、定律等都是從紛繁復(fù)雜的生活實(shí)際問(wèn)題中概括出來(lái)的，從“多”中求“同”，也就是從個(gè)別特殊的事物中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并進(jìn)行歸納。因此，教學(xué)中，通常適用從特殊到一般，從個(gè)別事物中概括出一般規(guī)律的歸納思維方法，而且根據(jù)小學(xué)生的年齡特點(diǎn)，一般使用不完全歸納法。

（1）概括意義。

得出：分子比分母小的分?jǐn)?shù)叫真分?jǐn)?shù)，真分?jǐn)?shù)小于1。

得出：分子比分母大或分子和分母相等的分?jǐn)?shù)叫假分?jǐn)?shù)，假分?jǐn)?shù)大于或等于1。

（2）歸納定律。

如：（3×5）×4=3×（5×4）

（15×25）×4=15×（25×4）

（34×28）×21=34×（28×21）……

得出：（a×b）×c=a×（b×c）,叫作乘法結(jié)合律。

（3）發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

如：6÷3=2

24÷12=2

48÷24=2

120÷60=2……

得出：被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘或除以相同的數(shù)（零除外），商不變。

（4）抽象數(shù)量關(guān)系。

如：一個(gè)游泳圈12元，3個(gè)游泳圈多少元？列式：12×3=36（元）

一個(gè)皮球15元，3個(gè)皮球多少元？列式：15×3=45（元）

一瓶可樂(lè)7元，2瓶可樂(lè)多少元？列式：7×2=14（元）

……

得出：總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量

教學(xué)中，教師應(yīng)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，把數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)的過(guò)程展開(kāi)、還原，讓學(xué)生經(jīng)歷“觀察—?dú)w納—驗(yàn)證”歸納推理的整個(gè)過(guò)程，讓學(xué)生明白應(yīng)用不完全歸納法得出的結(jié)論不一定正確，還需要進(jìn)一步證明。這樣，就能讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的產(chǎn)生、發(fā)展過(guò)程，避免對(duì)知識(shí)進(jìn)行機(jī)械的程式化訓(xùn)練，從而通過(guò)解決實(shí)際問(wèn)題培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感。

2 合情推理在“空間與圖形”中的應(yīng)用

關(guān)于“空間與圖形”的教學(xué)，《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：應(yīng)注重使學(xué)生通過(guò)觀察、操作、推理等手段，逐步認(rèn)識(shí)簡(jiǎn)單幾何體和平面圖形的形狀、大小、位置關(guān)系及變換；注重通過(guò)觀察物體、認(rèn)識(shí)方向、制作模型、設(shè)計(jì)圖案等活動(dòng)，發(fā)展學(xué)生的空間觀念。這一領(lǐng)域中，點(diǎn)、線、面、體相互聯(lián)系，很多新的知識(shí)在很大程度上是在先前的知識(shí)上發(fā)展起來(lái)的，在方法、思想等方面都有著一定的聯(lián)系，教學(xué)中可應(yīng)用類比推理，根據(jù)兩個(gè)不同對(duì)象的某些方面（如特性、屬性、關(guān)系等）相同或相似，推出它們?cè)谄渌矫嬉部赡芟嗤蛳嗨?，?lái)探索新知。

例如，教學(xué)平行四邊形面積的計(jì)算，首先，復(fù)習(xí)舊知：“長(zhǎng)方形、正方形是特殊的平行四邊形，對(duì)邊都平行且相等，具有很大的相似性?！逼浯危伴L(zhǎng)方形的面積=底×高，正方形的面積=邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)”，引導(dǎo)學(xué)生猜想：“平行四邊形面積的計(jì)算公式是怎樣的，用什么方法來(lái)驗(yàn)證自己的猜想？”

應(yīng)用類比推理，就是要抓住事物普遍存在的相似性，即使是相差甚遠(yuǎn)的兩類對(duì)象只要按其內(nèi)在聯(lián)系的相似性就能進(jìn)行類比。如，長(zhǎng)方體和圓柱的體積可用“底面積×高”進(jìn)行計(jì)算，類推棱柱和圓柱形鋼管等都可以這樣計(jì)算。計(jì)算三角形的面積，可把兩個(gè)完全一樣的三角形移拼轉(zhuǎn)化成平行四邊形進(jìn)行計(jì)算；類推梯形面積的計(jì)算公式的推導(dǎo)。由圓的面積計(jì)算公式推導(dǎo)類比圓柱體積計(jì)算公式的推導(dǎo)；圓錐的體積和圓柱的體積的類比；不規(guī)則圖形面積的計(jì)算和規(guī)則圖形類比等等。

教學(xué)中，要著眼于直觀感知與操作確認(rèn)，多從學(xué)生熟悉的實(shí)際出發(fā)，讓學(xué)生動(dòng)手看一看，比一比，想一想，猜一猜，給足時(shí)間與空間，組織學(xué)生實(shí)踐操作，讓學(xué)生參與類比推理的全過(guò)程：觀察—類比—聯(lián)想。借助舊知識(shí)進(jìn)行類比推理，將學(xué)生的原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)向橫向拓展、向縱向延伸，加深對(duì)知識(shí)的理解和掌握，將先后的知識(shí)組成一個(gè)完整的體系。

3 合情推理在“統(tǒng)計(jì)與概率”中的應(yīng)用

“統(tǒng)計(jì)與概率”是通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)收集、整理、描述和分析以及對(duì)事件發(fā)生可能性的刻畫，來(lái)幫助人們作出合理的推斷和預(yù)測(cè)?！稊?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》強(qiáng)調(diào)：教學(xué)中應(yīng)注重學(xué)生有意識(shí)地經(jīng)歷收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)、作出推斷和決策的統(tǒng)計(jì)過(guò)程，在具體情境中對(duì)可能性的體驗(yàn)，培養(yǎng)統(tǒng)計(jì)推理能力。

統(tǒng)計(jì)中的合情推理是利用已有的知識(shí)對(duì)收集的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，作出合理的預(yù)測(cè)或推斷，是一種可能性的推理，與其它推理不同的是，由統(tǒng)計(jì)推理得到的結(jié)論無(wú)法用邏輯推理的方法去檢驗(yàn)，只有靠實(shí)踐來(lái)證實(shí)。如：為參加市乒乓球賽，學(xué)校要從兩人中挑選一人，選誰(shuí)比較合適呢？首先應(yīng)由學(xué)生對(duì)兩人在校隊(duì)練習(xí)的成績(jī)、雙方交戰(zhàn)的紀(jì)錄等情況進(jìn)行調(diào)查，然后整理成數(shù)據(jù)，進(jìn)行比較分析，再根據(jù)處理后的數(shù)據(jù)作出決策，確定應(yīng)該選誰(shuí)參加。又如教學(xué)“平均數(shù)”，解決問(wèn)題：①小明身高1.5米，到平均水深1.2米的游泳池游泳，是否有危險(xiǎn)？②六（1）班學(xué)生的平均身高比六（2）班的高，六（1）班的小明是否一定比六（2）班的小華高。解決第一題，學(xué)生就要通過(guò)收集游泳池深水區(qū)和淺水區(qū)的水深數(shù)據(jù)，明確深水區(qū)的水深超過(guò)小明的身高，然后作出推斷。解決第二題，讓學(xué)生對(duì)每個(gè)學(xué)生的身高數(shù)據(jù)進(jìn)行收集，分析就會(huì)發(fā)現(xiàn)六（1）班學(xué)生也有矮的，六（2）班的學(xué)生也有高的。

學(xué)生經(jīng)歷統(tǒng)計(jì)推理的整個(gè)過(guò)程，理解了平均數(shù)的實(shí)際意義。就不會(huì)為統(tǒng)計(jì)而統(tǒng)計(jì)，而是明確了統(tǒng)計(jì)的目的，避免單純的統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算。

4 合情推理在“實(shí)踐與綜合應(yīng)用”中的應(yīng)用

設(shè)立“實(shí)踐與綜合應(yīng)用”領(lǐng)域的重要目標(biāo)是加強(qiáng)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系，數(shù)學(xué)各部分知識(shí)之間的聯(lián)系，以及數(shù)學(xué)學(xué)科與其他學(xué)科的綜合，讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、操作、實(shí)驗(yàn)、調(diào)查、推理等實(shí)踐活動(dòng)，學(xué)會(huì)綜合運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)和方法，經(jīng)過(guò)自主探索和合作交流，解決與生活經(jīng)驗(yàn)密切聯(lián)系的、具有一定挑戰(zhàn)性和綜合性的問(wèn)題，學(xué)會(huì)與他人合作交流，獲得積極的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情感，解決實(shí)際問(wèn)題的成功體驗(yàn)，促進(jìn)學(xué)生綜合應(yīng)用能力的發(fā)展，樹立正確的數(shù)學(xué)觀。因而為學(xué)生合情推理能力的培養(yǎng)提供了發(fā)展的機(jī)會(huì)，拓寬課堂教學(xué)范圍，大大超越以接受為主的內(nèi)容活動(dòng)范疇。如教學(xué)《合理存款》，①出示情景圖，讓學(xué)生獲取數(shù)學(xué)信息，形成問(wèn)題：小明媽媽準(zhǔn)備一萬(wàn)元等六年后小明上大學(xué)用，怎樣存款收益最大？②讓學(xué)生匯報(bào)課前通過(guò)各種渠道收集有關(guān)人民幣儲(chǔ)蓄的種類及利率相關(guān)規(guī)定的信息，篩選信息。③根據(jù)信息設(shè)計(jì)存款方案，并對(duì)方案進(jìn)行比較、預(yù)測(cè)、推斷，排除一些方案。④運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行計(jì)算，驗(yàn)證篩選出最優(yōu)方案。這樣，讓學(xué)生經(jīng)歷收集加工信息，根據(jù)信息設(shè)計(jì)方案，并進(jìn)行預(yù)測(cè)、推斷、篩選和驗(yàn)證，有機(jī)滲透了合情推理的思維，綜合應(yīng)用合情推理各類方式，養(yǎng)成善于觀察、猜測(cè)、分析、推理的好習(xí)慣。

教學(xué)中，在每個(gè)領(lǐng)域中應(yīng)用合情推理方式不是固定不變的，而是要根據(jù)教學(xué)內(nèi)容，或歸納推理，或類比推理，或統(tǒng)計(jì)推理，或綜合應(yīng)用。還應(yīng)注意合情推理結(jié)論的或然性，不能過(guò)分夸大合情推理的優(yōu)勢(shì)，將合情推理等同于演繹推理，要讓學(xué)生在解問(wèn)題的過(guò)程中知道合情推理的結(jié)論不一定正確，需要進(jìn)一步證明，必須與演繹推理優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)，形成正確應(yīng)用合情推理的意識(shí)，將合情推理的應(yīng)用提高到一個(gè)更加科學(xué)的層次，以至成為“科學(xué)發(fā)現(xiàn)的金鑰匙”。

[1] 喬治.波利亞.怎樣解題[M].閻育蘇,譯.北京:科學(xué)出版社,1982.

[2] [美]喬治.波利亞.數(shù)學(xué)與猜想(第一卷)[M].李心燦,譯.北京:科學(xué)出版社,1984.

[3] [美]喬治.波利亞.數(shù)學(xué)與猜想(第二卷)[M].李心燦,譯.北京:科學(xué)出版社, 1984.

[4] [美]喬治.波利亞.數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)(第二卷)[M].劉景麟,譯.呼和浩特:內(nèi)蒙古人民出版社, 1981.

[5] 史寧中. 數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)解讀[M]. 北京: 北京師范大學(xué)出版社, 2012.

[6] 余輝.循序漸進(jìn)地培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力[J].福建教育:小學(xué)版, 2010(6): 46-48.