摘要： 為克服傳統(tǒng)算法求解大規(guī)模雙邊裝配線平衡問題計算時間長、性能不穩(wěn)定的缺陷，針對第Ⅰ類雙邊裝配線平衡問題，應用綜合信息素搜索規(guī)則與全局信息素更新規(guī)則，提出了一種先產生任務排列序列、后按啟發(fā)式分配規(guī)則產生可行解的蟻群算法，可有效脫離陷入局部最優(yōu)解.用改進蟻群算法對30個不同規(guī)模的問題進行求解，并與標準蟻群算法和禁忌搜索算法進行了對比.結果表明：改進蟻群算法求出29個最優(yōu)解，比普通蟻群算法、禁忌搜索算法分別能多求得6個和3個最優(yōu)解；應用于汽車雙邊裝配線算例，在保持平衡效率的條件下，改進蟻群算法計算時間為21.01 s，比普通蟻群算法減少了9.14 s，計算效率提高了30.3%.

關鍵詞： 雙邊裝配線；蟻群算法；優(yōu)化

中圖分類號： TH165文獻標志碼： AImproved Ant Colony Algorithm

for TwoSided Assembly Line Balancing Problem of Type IZHANG Zeqiang1，HU Junyi1，2，CHENG Wenming1

（1. School of Mechanical Engineering， Southwest Jiaotong University， Chengdu 610031， China； 2. CSR Qishuyan Institute Co. Ltd.， Changzhou 213011， China）

Abstract：To overcome the disadvantages of traditional algorithms in solving largescale twosided assembly line balancing problems （TALBPs）， such as long computing time and unstable results， an improved ant colony algorithm （ACO） was proposed for solving the TALBP of type I. In the proposed algorithm， a task sequence was generated first， and a feasible solution was then obtained by the heuristic assignment method； in addition， the pheromone summation rule and a global pheromone updating rule were adopted to avoid the ants falling into the locally optimal solutions. A series of numerical experiments were conducted on 30 test problems of different size using the proposed ACO algorithm， the standard ant colony algorithm， and the tabu search algorithm for comparison. The results indicate that the proposed ACO algorithm obtained 29 optimal solutions for the 30 test problems， and obtained 6 and 3 more optimal solutions than the standard ant colony algorithm and the tabu search algorithm， respectively. Finally， the proposed ACO algorithm was applied to a real car assembly line and obtained the satisfactory solutions within 21.01 s， saving 9.14 s and improving the computational efficiency by 30.3% when compared with the traditional ACO under the same line efficiency.

Key words：twosided assembly lines； ant colony algorithm； optimization

與單邊裝配線相比，雙邊裝配線具有縮短裝配線長度、減少原材料運輸與工人移動成本、降低工具和夾具費用等優(yōu)點[1]，被廣泛應用于汽車、裝載機、卡車等中大型產品的裝配生產過程，能產生明顯的經濟效益.

隨著雙邊裝配線廣泛應用，雙邊裝配線平衡問題（twosided assembly lines balancing problem， TALBP）亦隨之而生.裝配線平衡問題作為NPHard難題[2]，難以在合理的時間內精確求解.與單邊裝配線相比，由于TALBP裝配線布局形式的改變，在分配任務時，除滿足操作方位的要求，還需綜合考慮不同操作方位的前序任務對自身開始裝配時間的影響.因此， TALBP較單邊裝配線平衡問題更復雜.鑒于雙邊裝配線平衡問題的實際應用價值和求解難度，近年來TALBP受到了企業(yè)界和學術界的廣泛關注[1，35].

文獻[1]針對TALBP提出了一種任務成組分配方法，并采用多個啟發(fā)式規(guī)則，以降低左右工位任務之間的相關度，該方法具有簡單易于實現等優(yōu)點，但往往會增加雙邊裝配線需開啟工位的數量；文獻[4]提出了一種基于COMSOAL（computer method of sequencing operations for assembly lines）的啟發(fā)式方法，用于求解大規(guī)模雙邊裝配線平衡問題；文獻[6]針對隨機型雙邊裝配線平衡問題，提出了一種啟發(fā)式算法，該算法具有簡單快速等優(yōu)點，但求解質量有待提高.

近年來，運用智能優(yōu)化算法求解TALBP成為一個重要趨勢.文獻[7]提出了一種求解雙邊裝配線平衡問題的遺傳算法；文獻[8]提出了雙邊裝配線平衡問題的一種基于任務序列的改進遺傳算法，采用基于序列、任務及其分配方位組合的編碼方法，運用可行的交叉與變異算子，使搜索過程僅在可行解空間內進西南交通大學學報第48卷第4期張則強等：第Ⅰ類雙邊裝配線平衡問題的改進蟻群算法行，提高了效率；文獻[9]提出了求解雙邊裝配線平衡問題的禁忌搜索算法，該算法在求解效率與求解質量方面都有較好表現，但求解時間較長，測試問題計算用時最長達到2 100 s；文獻[10]提出了一種蜂群算法求解帶區(qū)域約束的雙邊裝配線平衡問題.

通過模仿蟻群覓食行為發(fā)展起來的蟻群算法（ant colony optimization， ACO），在求解諸多組合優(yōu)化問題時表現出優(yōu)異的求解能力[1112]，對裝配線平衡問題[1314]求解速度快、平衡率高.鑒于ACO求解裝配線平衡問題的優(yōu)越性能，已有應用ACO求解雙邊裝配線平衡問題.文獻[15]提出了求解雙邊裝配線平衡問題的一種蟻群優(yōu)化算法，其特點是兩隊螞蟻協同工作，分別在裝配線的兩邊構造平衡解，具有較優(yōu)的求解性能.

為探索解決問題的新途徑，本文提出了一種先構造任務排列序列，后采用改進啟發(fā)式規(guī)則產生具體工作站分配方案的蟻群算法.該方法采用了在任務及其排列序列中可能位置之間釋放信息素的方法，并引入帶信息素總合規(guī)則的混合搜索機制，針對TALBP問題特征，提出了新的啟發(fā)式規(guī)則.最后對多個不同規(guī)模的實例進行了驗證，表明了算法的有效性.1雙邊裝配線平衡問題1.1 雙邊裝配線雙邊裝配線是在單邊裝配線的基礎上，將原本單一的生產線分成左右兩側.如圖1所示，在裝配線的兩側并行完成同一產品的不同裝配任務，互對的兩工位稱為成對工位，其中一個為另一個的伴隨工位，如工位1和工位2. 在雙邊裝配線中，可供分配的任務按其操作位置偏向性可分為3種：適左型任務（L）、適右型任務（R）、無偏向型任務（E，即兩邊皆可操作）.故在雙邊裝配線問題中，除需考慮任務之間的先后約束關系外，還需考慮任務的操作方位約束，圖2中圈內數字表示任務編號，圈外字母表示任務的操作方位約束，樹狀圖體現了任務之間的先后操作順序的約束關系.

圖1雙邊裝配線示例

Fig.1Typical example of twosided assembly line圖2優(yōu)先順序圖示例

Fig.2Example of a precedence diagram

1.2第Ⅰ類雙邊裝配線平衡問題的數學模型第Ⅰ類雙邊裝配線平衡問題（TALBPⅠ）定義為：在給定生產節(jié)拍，并滿足任務先后約束關系的條件下，將一組任務盡可能均衡地分配到各個工位的左右兩邊裝配線中，以最小化裝配線長度.其TALBPⅠ數學模型如下.

設I為任務集， I={1，2，…，N}； ID為按操作方位分割的任務集， D=L，R，E； Ij、Ij′為工位j和j′上分配的任務集； tT j、tD j為工位j的總操作時間及延遲時間； tT j′為工位j′的總操作時間； tD j′為工位j′的延遲時間； P（i）為任務i的所有前序任務集； S為所有P（i）為空的任務i的集合，即可選任務集合； W為未分配任務集合； n為開啟的位置總數； NS為開啟的工位總數；

xiuk=1，任務i分配到位置u上，

操作方位為k，k∈{L，R}，

0，否則.

目標函數為

min n，（1）

約束條件為

若xiuk=1， 則xhgk=0，

h∈P（i），g，u=1，2，…，n，且g>u；

∑nu=1xiuk=1，k∈{L， R}，i∈I，（2）

u，j=2u-1，j′=2u，（3）

tT j=∑i∈Ixiukti，k=L，

tT j′=∑i∈Ixiukti，k=R，（4）

tT j+tD j≤C，tT j′+tD j′≤C，u.（5）

式（1）表示最小化裝配線長度；式（2）表示任務安排滿足優(yōu)先順序關系約束；式（3）表示任一任務必須且只能分配到一個位置u上，且分配后操作方位為左邊或右邊；式（4）中tT j、tT j′分別表示在某位置u時工位j與j′的總操作時間；式（5）表示任意位置u的雙邊工位作業(yè)時間必須滿足節(jié)拍約束.2TALBPI的改進蟻群算法2.1 蟻群算法蟻群算法[16]在諸多組合優(yōu)化問題中得到了應用[1112]，并表現出優(yōu)異的求解性能.在應用此算法解決工程問題時，需先將問題抽象為若干個節(jié)點或步驟，在每個節(jié)點或步驟需進行構造解元素的多種選擇.人工螞蟻在節(jié)點圖中搜索前進， 每遍歷一次節(jié)點，就構成問題的一個完整解.通過信息素的正反饋作用，最后收斂到最優(yōu)解.本文提出求解TALBP的改進蟻群算法包括4個主要內容：構造任務排列序列、改進的信息素搜索規(guī)則、啟發(fā)式分配規(guī)則產生解的具體分配方案、信息素更新規(guī)則.2.2 構造任務排列序列先產生一列僅考慮任務先后約束關系的排列，即所有裝配任務的一個排列序列. 隨后用啟發(fā)式分配規(guī)則調用此排列，并產生一個完整的雙邊工位分配方案，即一個可行解.為較快形成僅考慮先后約束關系的排列，采用候選任務集方法，僅在可選任務列表中進行任務選擇，以減少問題的搜索空間，提高搜索速度.

考慮任務的先后約束關系，若一個未分配任務i的所有前序任務都已分配，則任務i是可選任務. 再考慮優(yōu)先順序約束和節(jié)拍約束，在任務排列序列中確定當前位置的可選任務集合，即候選任務集合Nj.

螞蟻在訪問每個序列位置時，都將面對一個可選任務集合Nj，螞蟻需根據每項任務的選擇概率選擇一項任務，并進入此排列的下一個位置，直至訪問整個序列完畢.圖3表示圖2所示問題的一個任務排列序列，圖3中數字表示任務編號，字母代表任務操作偏向性.

IE3R2E4L7E5R6L8R9L

圖3一個完整的任務排列序列

Fig.3A full task sequence of assignment

2.3 改進的信息素搜索規(guī)則在任務序列構造過程中，螞蟻每周游一次即構造出一個完整任務排列序列.構造出最優(yōu)解所對應任務序列的螞蟻在所經路徑上釋放信息素，以吸引后續(xù)螞蟻跟隨.基本蟻群算法在尋優(yōu)過程中，易受早期發(fā)現的較好解的影響而陷入局部最優(yōu).

為避免算法搜索停滯現象并保持其搜索范圍，即在“利用”信息素的同時保持較大的隨機性，本文借鑒了文獻[13]的改進信息素規(guī)則，即增加一個隨機搜索以避免陷入局部最優(yōu)，綜合考慮了利用現有信息和隨機搜索兩種規(guī)則，構造出如下2種方式的混合搜索機制：

Pij=∑jh=1τihαηβi∑s∈Nj∑jh=1τshαηβs，0≤r≤r1，

隨機選擇i∈Nj， r1

式中： Pij為當前可選任務集合中的任務i在當前位置j的被選擇的概率；

τih為任務i分配到位置h的信息素；

r為（0， 1）之間的隨機數；

r1為用戶定義的參數，滿足0

Nj為螞蟻在當前分配序列位置j的候選任務集；

α、 β為決定信息素強度和啟發(fā)式信息相對重要性的參數；

ηi為任務i的啟發(fā)式信息，選取該任務的位置權重wP i作為啟發(fā)式信息：

ηi=wP i=ti+∑j∈Fitj，i=1，2，…，N，（7）

式中： Fi為任務i的后繼任務集合.

啟發(fā)式規(guī)則采用了位置權重，綜合考慮了作業(yè)時間和后續(xù)作業(yè)數，是2種規(guī)則的結合.在該啟發(fā)式規(guī)則的指引下，對后續(xù)任務較多且作業(yè)時間較長的任務優(yōu)先分配的概率更大.

根據式（6），按照概率選擇使用2個策略中的某個規(guī)則，從候選任務集Nj中選擇一項任務：

（1） 利用.若隨機數r滿足0≤r≤r1，則以概率Pij從候選任務集Nj中選擇一項任務.

（2） 隨機選擇.若隨機數r滿足r1

從信息素搜索規(guī)則看，改進的信息素搜索規(guī)則根據隨機數r值選擇用Pij或者隨機方式選擇任務. 根據當前位置可選任務集，由式（6）計算出每個任務的位置權重系數以及信息素矩陣.普通蟻群算法按照每項任務信息素積累值大小進行概率選擇，而改進蟻群算法具有更強的搜索能力.2.4啟發(fā)式分配規(guī)則將蟻群搜索構造的一個任務序列生成可行的雙邊分配方案，本文提出新的分配規(guī)則，步驟如下：

（1） 開啟新工位，并記錄工位數.

（2） 檢查任務序列q處任務是否滿足左右工位任一邊的節(jié)拍約束，轉步驟（3）.

（3） 任務為L型或R型進入步驟（4），為E型進入步驟（5）.

（4） 查找是否有處于同一工位的緊前任務，是則進入步驟（4.1），否則進入步驟（4.2）.

（4.1） 找出同一工位中所有緊前任務的最晚結束時刻，并與此邊結束時刻對比，選擇較大者與序列q處任務裝配時間相加，判斷是否滿足節(jié)拍約束.若滿足令q=q+1，并更新左邊工位（當為L型任務時）或右邊工位（當為R型任務時）的結束時刻，轉步驟（6），否則轉步驟（1）.

（4.2） 查看是否滿足節(jié)拍約束，若滿足令q=q+1，并更新左邊工位（當為L型任務時）或右邊工位（當為R型任務時）的結束時刻，轉步驟（6），否則轉步驟（1）.

（5） 查找是否有處于同一工位的緊前任務，若有轉步驟（5.1），否則轉步驟（5.2）.

（5.1） 查找處于同一工位中緊前任務的最晚結束時刻，判斷是否滿足節(jié)拍約束，若滿足令q=q+1，并且放入同一邊，并更新此邊工位結束時刻，轉步驟（6），否則返回步驟（1）開啟新的工位.

（5.2） 在左右兩邊中選擇能使其最早開始的一邊，若左右兩邊結束時刻相同，則隨機選擇一邊，更新此邊結束時刻，轉步驟（6）.

（6） 查看任務是否全部分配完畢，若是轉步驟（7），否則返回步驟（2）.

（7） 記錄此任務排列的工位數量，作為適應度值儲存，至此任務序列分配完畢.2.5 信息素更新規(guī)則局部信息素更新，當螞蟻將任務i分配到序列位置j，邊ij上的信息素τij按式（8）進行更新，

τij←（1-ρ1）τij+ρ1τ0，（8）

式中： ρ1為局部信息素蒸發(fā)系數， 0<ρ1<1；

τ0為初始化信息素的值（一個很小的初始輸入），

τ0=1NK*，K*=1C∑Ni=1ti.

當構建了一個完整解后，各任務至序列位置之間的信息素均按如下規(guī)則進行信息素全局更新，

τij←（1-ρ2）τij+ρ2Δτij，（9）

式中： ρ2為全局信息素蒸發(fā)系數， 0<ρ2<1；

Δτij=1Lgb，當前最優(yōu)分配方案包含邊（i，j），

0，否則，

式中： Lgb為當前最優(yōu)分配序列（方案）所需的工作站數.3 算法測試與分析本文采用MATLAB7.8對此改進蟻群算法（pACO）與普通蟻群算法（ACO）分別編寫了實驗程序.在處理器為e5300、主頻2.6 GHz、內存2.0 GB的硬件環(huán)境下，進行了算法測試.分別對Lee、Kim和Bartholdi雙邊裝配線平衡問題進行求解，問題規(guī)模為P9、P12、P24、P65、P148和P205. 普通蟻群算法與改進蟻群算法采用相同參數設置： α=1， β=2， ρ1=0.1， ρ2=0.9， r=0.9.

設螞蟻數為60、迭代次數為20，對所測試問題能找到大部分最優(yōu)解.引用文獻[9]中的禁忌搜索（tabu search， TS）作為對比算例，表1給出了30個測試問題的測試結果及其對比.表1中， N為問題的任務規(guī)模， C為節(jié)拍時間， ACO為普通蟻群算法， pACO為本文提出的改進蟻群算法.

表1測試結果及其對比

Tab.1Performance comparison for three algorithms

問題NC

/smmin

/個ACO

/個TS

/個pACO

/個Kim93333394333395222296222212533331263333127222212822222420444424253333243033332435232324402222Lee653818888654357777654906666655445665Bartholdi1483578988148408787714845967661485106666Lee2051 322111111112051 510910992051 69988982051 88888882052 07777772052 26677772052 45466662052 64356652052 8325565

當求解LeeP65問題的節(jié)拍時間為490 s時，在螞蟻數為60條件下，采用普通蟻群算法與改進蟻群算法分別運算10次. 普通蟻群算法平均在第7代找到最優(yōu)解，而改進蟻群算法在第2代找到最優(yōu)解，改進蟻群算法平均比普通蟻群算法可更快收斂至最優(yōu)解.圖4為改進蟻群算法與普通蟻群算法迭代收斂的對比.

分析表1中數據，在30個測試算例中，普通蟻群算法共求得23個最優(yōu)解；禁忌搜索算法共求得26個最優(yōu)解；本文的改進蟻群算法求得29個最優(yōu)解，用時最長284.69 s，并在較大規(guī)模問題（LeeP205）的求解中有顯著優(yōu)勢.從文獻[9]知， TSA求得26個最優(yōu)解.可見，由于采用改進的信息素搜索規(guī)則和改進的全局信息素更新規(guī)則等改進措施，相對普通蟻群算法、TSA算法，改進蟻群算法能對更大規(guī)模問題求得最優(yōu)解.

圖4LeeP65迭代收斂對比

Fig.4The convergent iterative comparison for LeeP65 4算法工程應用對某公司的微型車雙邊裝配線進行規(guī)劃設計，經實際調研，將該雙邊裝配線操作任務合并為85項.任務優(yōu)先關系如圖5～7所示，為簡化圖的復雜度拆分成3個圖顯示.可綜合圖5～7得到任務之間的優(yōu)先關系.

圖5優(yōu)先順序圖（Ⅰ）

Fig.5Precedence diagram（Ⅰ）

表2（第1欄為任務編號）為任務的操作時間、操作方位匯總（為節(jié)省篇幅，省略了操作名稱及說明）.采用本文的改進蟻群算法，對此雙邊裝配線進行優(yōu)化設計，參數設置為α=1， β=2， ρ1=0.1， ρ2=0.9， r=0.9，螞蟻數目為40，迭代次數為20. 普通蟻群算法和改進蟻群算法在相同參數設置下各運算10次求解該實例.當節(jié)拍時間為620 s時，優(yōu)化結果（表3）的平衡率為87.07%，平滑系數為92.10，平衡效果較好.

圖6優(yōu)先順序圖（Ⅱ）

Fig.6Precedence diagram（Ⅱ）圖7優(yōu)先順序圖（Ⅲ）

Fig.7Precedence diagram（Ⅲ）

表2任務操作時間及操作方位

Tab.2Operation time and position of taskss

編號t/方位編號t/方位編號t/方位編號t/方位175/R2370/L4573/L67213/R278/E2474/L4675/L6870/L3150/E2573/R47143/R6971/R473/E2673/R4874/L7070/L575/L2773/L4973/L7173/R675/R2875/L5071/R7270/L767/L2973/R5171/R7370/R875/L3073/R52150/L7470/L975/R3175/L5375/R7570/L10150/L32108/R5475/L7673/L1175/E3373/L5571/R7770/L1271/E3470/L5673/L78130/R1369/E3567/R5771/R7975/L1474/R3667/L58146/R80106/R1575/L3770/R5971/L81106/L1675/R3870/L6071/L8269/R1768/E39126/R6167/L8375/R1875/L40126/L62286/R8471/R1973/E4170/L6373/R8567/L2075/E4273/E64146/L2171/E4373/R65210/R2267/L4475/R66286/L注：—/—表示作業(yè)時間/操作方位.

表3雙邊裝配線實例優(yōu)化結果

Tab.3Optimal solution for the realworld example of twosided assembly line

位置工位任務分配情況1左邊79（75，150）， 4（150，223）， 75（223，293），74（293，363），48（363，437）， 3（437，587）右邊1（0，75）， 2（75，153）， 78（153，383），67（283，496）2左邊7（0，67），5（67，142），49（143，216），10（216，366），68（366，436）， 22（436，503）右邊47（0，143），9（143，218），65（218，428），11（428，503），73（503，573）3左邊52（0，150），41（150，220），54（220，295），18（295，370），64（370，516），70（516，586）右邊13（0，69），32（69，177），19（177，250），26（250，323），25（323，396），58（396，542），51（542，613）4左邊23（0，70），27（70，143），8（143，218），28（218，293），66（293，579）右邊71（0，73）， 6（73，148）， 16（148，223），63（223，296）， 62（296，582）5左邊60（75，146），59（146，217），45（217，290），33（290，363），34（363，433），15（433，508），21（508，579）右邊55（0，71），14（75，149），29（149，222），17（222，290），30（290，363），43（363，436），44（436，511），84（511，582）6左邊56（0，73），24（73，147），72（147，217），76（217，290），46（290，365），61（365，432），77（432，502），36（502，569）右邊55（0，71），57（147，218），39（218，344），35（344，411），80（502，608）7左邊40（0，126），42（126，199），31（199，274），12（274，345），81（345，451），38（451，521），85（521，588）右邊20（0，75），50（75，146），82（199，268），69（268，339），37（339，409），83（409，484）注：—（—，—）表示任務序號（開始作業(yè)時間，完成作業(yè)時間），作業(yè)時間單位： s.

改進蟻群算法平均在迭代次數17.2次時找到的總位置數為7的較優(yōu)解，而普通蟻群算法針對該實例則僅有1次求得的總位置數為7的解.同時，在算法求解速度上，改進蟻群算法平均耗時21.01 s，而普通蟻群算法則耗時30.15 s，節(jié)省了9.14 s，計算效率提高了30.3%.由此可見，本文提出的改進蟻群算法較普通蟻群算法在求解質量和求解速度方面均表現出更優(yōu)越的性能. 5 結束語針對TALBP問題提出了一種改進蟻群算法，提出一種新的啟發(fā)式分配規(guī)則以產生可行解.采用在任務與任務序列位置之間釋放信息素的策略，并引入綜合信息素搜索規(guī)則與全局信息素更新策略，可有效脫離陷入局部最優(yōu)解.通過大量不同規(guī)模問題算例，對比普通蟻群算法和禁忌搜索算法，改進蟻群算法對不同規(guī)模問題的求解質量和速度更優(yōu)，驗證了該算法的有效性.應用改進蟻群算法求解某汽車雙邊裝配線任務分配問題，取得了良好的求解效果.

下一步研究可將ACO算法拓展應用至更接近實際的TALBP，例如，考慮復雜區(qū)域約束、不確定環(huán)境下存在多種隨機因素等情形下的TALBP.參考文獻：[1]LEE T O， KIM Y， KIM Y K. Twosided assembly line balancing to maximize work relatedness and slackness[J]. Computers and Industrial Engineering， 2001， 40（3）： 273292.

[2]SCHOLL A， BECKER C. Stateoftheart exact and heuristic solution procedures for simple assembly line balancing[J]. European Journal of Operational Research， 2006， 168（3）： 666693.

[3]OZCAN U， TOKLU B. Multiplecriteria decisionmaking in twosided assembly line balancing： a goal programming and a fuzzy goal programming models[J]. Computers Operations Research， 2009， 36（6）： 19551965.

[4]OZCAN U， TOKLU B. Balancing twosided assembly lines with sequencedependent setup times[J]. International Journal of Production Research， 2010， 48（18）： 53635383.

[5]ZHANG Zeqiang， MURRAY C C. A corrected formulation for the double row layout problem[J]. International Journal of Production Research， 2012， 50（15）： 42204223.

[6]宋林，張則強，程文明，等. 隨機型雙邊裝配線平衡問題的一種啟發(fā)式算法[J]. 工業(yè)工程，2011，14（4）： 129134.

SONG Lin， ZHANG Zeqiang， CHENG Wenming， et al. Heuristic for twosided stochastic assembly line balancing[J]. Industrial Engineering Journal， 2011， 14（4）： 129134

[7]KIM Y K， SONG W S， KIM J H. A mathematical model and a genetic algorithm for twosided assembly line balancing[J]. Computers Operations Research， 2009， 36（3）： 853865.

[8]吳爾飛，金燁，續(xù)愛民，等. 基于改進遺傳算法的雙邊裝配線平衡[J]. 計算機集成制造系統(tǒng)，2007，13（2）： 268274.

WU Erfei， JIN Ye， XU Aimin， et al. Twosided assembly line balancing based on modified genetic algorithm[J]. Computer Integrated Manufacturing Systems， 2007， 13（2）： 268274.

[9]ZCAN U， TOKLU B. A tabu search algorithm for twosided assembly line balancing[J]. The International Journal of Advanced Manufacturing Technology， 2009， 43（7/8）： 822829.

[10]ZBAKIR L， TAPKAN P. Bee colony intelligence in zone constrained twosided assembly line balancing problem[J]. Expert Systems with Applications， 2011， 38（9）： 1194711957.

[11]DORIGO M， STTZLE T. Ant colony optimization： overview and recent advances[M]∥GENDREAU M， POTVIN J Y. Handbook of Metaheuristics. [S. l.]： Springer， 2010： 227263.

[12]劉潔，劉丹，何彥鋒. 帶中轉設施的垃圾收集VRP的改進蟻群算法[J]. 西南交通大學學報，2011，46（2）： 333339.

LIU Jie， LIU Dan， HE Yanfeng. Improved ant colony system algorithm for waste collection vehicle routing problem[J]. Journal of Southwest Jiaotong University， 2011， 46（2）： 333339.

[13]張則強，程文明，鐘斌，等. 求解裝配線平衡問題的一種改進蟻群算法[J]. 計算機集成制造系統(tǒng)，2007，13（8）： 16321638.

ZHANG Zeqiang， CHENG Wenming， ZHONG Bin， et al. Improved ant colony optimization for assembly line balancing problem[J]. Computer Integrated Manufacturing Systems， 2007， 13（8）： 16321638.

[14]張則強，程文明，鐘斌，等. 混合品種裝配線平衡問題的一種混合搜索機制的蟻群算法[J]. 機械工程學報，2009，45（5）： 95101.

ZHANG Zeqiang， CHENG Wenming， ZHONG Bin， et al. Hybrid behavior ant colony optimization for mixedmodel assembly line balancing problem[J]. Journal of Mechanical Engineering， 2009， 45（5）： 95101.

[15]SIMARIA A S， VILARINHO P M. 2ANTBAL： an ant colony optimization algorithm for balancing twosided assembly lines[J]. Computers Industrial Engineering， 2009， 56（2）： 489506.

[16]DORIGO M， BLUM C. Ant colony optimization theory： a survey[J]. Theoretical Computer Science， 2005， 344（2/3）： 243278.