在信息量不斷膨脹的當(dāng)代社會，大量的數(shù)字充斥著人們的視野，處理和閱讀數(shù)字背后信息的能力顯得愈發(fā)重要，因此，微積分等高等數(shù)學(xué)課程在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力、提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)方面的作用越來越受到肯定和重視。教材體現(xiàn)了微積分教育的理念，決定了微積分教學(xué)的內(nèi)容，是微積分教學(xué)中不可忽視的一環(huán)。我國目前雖然每年都有不少重點教材、規(guī)劃教材推出，然而大多數(shù)是經(jīng)典數(shù)學(xué)理論體系和方法的簡單重復(fù)和增刪取舍，缺少實際應(yīng)用，真正有新意的并不多。在此，筆者選取了中美兩國的兩本流傳度較廣的微積分教材，即美國最為暢銷的微積分教材——James Stewart的《微積分》和國內(nèi)經(jīng)管類專業(yè)使用比較廣泛的中國人民大學(xué)趙樹嫄編著的《微積分》（第3版），并從兩者的編寫思想、內(nèi)容呈現(xiàn)、習(xí)題設(shè)置等方面進行比較和分析，以期發(fā)現(xiàn)美國微積分教材中可資借鑒的地方，進而為我國的微積分教材改革提供一些參考。

數(shù)學(xué)內(nèi)容的比較

Stewart版《微積分》主要內(nèi)容包括：函數(shù)與模型、極限與導(dǎo)數(shù)、求導(dǎo)法則、微積分的應(yīng)用、積分、積分的應(yīng)用、積分方法、積分的進一步應(yīng)用、微分方程、參數(shù)方程和極坐標(biāo)、無窮序列與級數(shù)、向量與解析幾何、向量函數(shù)、偏導(dǎo)數(shù)、多重積分、向量微積分、二階微分方程等17個部分。而人大版《微積分》主要內(nèi)容包括：函數(shù)、極限與連續(xù)、導(dǎo)數(shù)與微分、中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、不定積分、定積分、無窮級數(shù)、多元函數(shù)、微分方程與差分方程簡介等9個部分。

從純數(shù)學(xué)理論的角度來看，這兩本教材比較接近，內(nèi)容基本相同，這是非常自然的。因為這些內(nèi)容本就是微積分?jǐn)?shù)學(xué)理論體系和方法的核心內(nèi)容，無論對哪個國家的學(xué)習(xí)微積分課程的學(xué)生來說都是必須具備的經(jīng)典知識。然而從附加內(nèi)容上來看，兩本教材就存在著明顯的差異了。Stewart版《微積分》在介紹數(shù)學(xué)內(nèi)容的同時還把數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)文化教育貫穿進來；將重要的概念和定理從產(chǎn)生的實際背景，到抽象定義，再到實際應(yīng)用的過程中所經(jīng)歷的智慧、方法和趣事展現(xiàn)給學(xué)習(xí)者。如在介紹極限時，會在書頁左側(cè)的空白處插入“牛頓與極限”“柯西與極限”的小知識。這種如講故事般輕松愉快的方式，既增加了學(xué)習(xí)的趣味性，也使學(xué)習(xí)者在學(xué)習(xí)的過程中容易看到微積分的時代背景、本質(zhì)，對微積分“從何而來，是什么，能做什么”有更多的理解和認(rèn)識，可以擁有更開闊的視野，為創(chuàng)造性思維打下基礎(chǔ)。這個在國內(nèi)教材中幾乎很難看到。

編寫理念的比較

Stewart版《微積分》和其它美國大多微積分教材一樣強調(diào)對概念的理解，并通過四原則來實現(xiàn)——即闡述主題的“幾何化、數(shù)值化、代數(shù)化和文字化”。如講極限概念時，通過數(shù)值計算、圖形演示的方式直觀而自然地引出了極限的文字化定義，或者說直觀定義，再以同樣的方式給出大量的例子，甚至極限的運算法則。讓學(xué)生首先對極限本質(zhì)有了一個強烈的認(rèn)識之后，再在后面的內(nèi)容中進一步介紹極限的嚴(yán)格的代數(shù)化定義——ε-δ定義。強化了對極限這一概念本身的理解。

人大版《微積分》與我國其它大多數(shù)微積分教材一樣更注重嚴(yán)格的邏輯證明和公式的推導(dǎo)，主要以代數(shù)化，輔以少量幾何化的方式闡述數(shù)學(xué)內(nèi)容，對于內(nèi)容的數(shù)值化和文字化的表示則略去不提或一筆帶過。仍以極限為例，人大版《微積分》通過兩個數(shù)值的例子引出極限的直觀定義后就直接進入到ε-δ定義，并將重點放在了用此定義證明極限上面。學(xué)生的注意力很快就從極限本身轉(zhuǎn)向了公式的推導(dǎo)和證明。這導(dǎo)致不少學(xué)生在學(xué)完微積分后能證明和計算極限，卻不能清晰地說出極限究竟是什么。

日本數(shù)學(xué)家米山國藏說：“我搞了多年的數(shù)學(xué)教育，發(fā)現(xiàn)學(xué)生們在初中、高中接受的數(shù)學(xué)知識因畢業(yè)進入社會后，幾乎沒有什么機會應(yīng)用這些作為知識的數(shù)學(xué)，所以通常是出校門不到一兩年很快就忘掉了。然而，不管他們從事什么業(yè)務(wù)工作，唯有深深銘刻于頭腦中的數(shù)學(xué)精神、數(shù)學(xué)的思維方法、研究方法和著眼點等，都隨時隨地發(fā)生作用，使他們受益終生?！痹谕ㄗR教育、素質(zhì)教育的大背景下，轉(zhuǎn)變和革新教學(xué)理念并將其體現(xiàn)在教材建設(shè)上來，是每一個數(shù)學(xué)教育工作者都應(yīng)該深入思考的問題。

數(shù)學(xué)應(yīng)用的比較

與國內(nèi)教材相比，國外教材的一個突出的特點是把數(shù)學(xué)理論應(yīng)用于解決實際問題。教材中的應(yīng)用題習(xí)題量大、時效性強，選擇的幾乎都是最新的實際問題，內(nèi)容涉及物理學(xué)、幾何學(xué)、生物學(xué)、化學(xué)、醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟學(xué)、金融學(xué)、社會學(xué)、建筑學(xué)、地質(zhì)學(xué)等，幾乎包含了各個學(xué)科領(lǐng)域。而且時效性較強，不同的學(xué)科領(lǐng)域面廣、量大，緊密結(jié)合了最新的實際問題。如Stewart《微積分》（第5版），第17頁在講到函數(shù)的表示方法時給出了Northridge地震的記錄圖；第210頁在講到導(dǎo)數(shù)刻畫變化率的問題時，所引的例子為物理學(xué)上金屬桿或金屬片的線密度，化學(xué)中化學(xué)反應(yīng)的反應(yīng)速度，生物學(xué)中血液流動速度相對于血流到血管中心軸線距離的變化率，以及經(jīng)濟學(xué)中生產(chǎn)的邊際成本；在講到導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用問題時又介紹了對彩虹的形狀、位置和顏色的數(shù)學(xué)解釋。盡管這些問題從數(shù)學(xué)角度來看都只不過是關(guān)于某個指標(biāo)的變化率，然而一旦和實際問題相聯(lián)系，既增加了題目的趣味性，又拓寬了讀者的知識面，價值大大增加了。

國內(nèi)教材在應(yīng)用方面多局限于微積分在物理、幾何中的傳統(tǒng)應(yīng)用，而且所涉及到的數(shù)據(jù)也多是純?yōu)榻忸}而編造出來的，并非如國外教材一般多用的是現(xiàn)實生活中的真實數(shù)據(jù)。由于缺少時代氣息和真實感，國內(nèi)教材容易使學(xué)生感覺到自己與微積分距離十分遙遠(yuǎn)，從而影響了其學(xué)習(xí)積極性。實際上，微積分的一個顯著特征是數(shù)學(xué)核心內(nèi)容十分成熟穩(wěn)定，但應(yīng)用卻越來越廣泛。Stewart版《微積分》通過精選只涉及較為初等的數(shù)學(xué)知識而又能體現(xiàn)微積分思想和數(shù)學(xué)建模精神，能引起學(xué)生興趣，又是學(xué)生在生活中可能會真實接觸到的案例，訓(xùn)練了學(xué)生用數(shù)學(xué)解決實際問題的能力。近年來，國內(nèi)教材在這方面有所改進，但做得仍然是很不夠的。

學(xué)習(xí)方式的多樣性比較

Stewart版《微積分》在引入數(shù)學(xué)主題的時候，經(jīng)常先給出數(shù)值計算的近似結(jié)果，再盡量給出幾何直觀圖，最后再給出嚴(yán)格的敘述。把數(shù)學(xué)理論和計算機技術(shù)有機結(jié)合，這是很多美國微積分教材的又一突出特點。這樣做，既符合科學(xué)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，又給學(xué)生提供了利用近似計算解決工程等實際問題的范例。隨著現(xiàn)代技術(shù)的發(fā)展尤其是計算機代數(shù)系統(tǒng)（CAS）的出現(xiàn)使計算機具有了多重聯(lián)系表示系統(tǒng)，為教學(xué)提供了契機。在Stewart版《微積分》中穿插了大量的利用數(shù)學(xué)軟件進行計算作圖的問題，所做的圖形精確漂亮，能使學(xué)生真實地感受到數(shù)學(xué)的美，增加了學(xué)習(xí)的興趣。如第142頁講到無窮遠(yuǎn)的極限時，先給出數(shù)值計算的近似結(jié)果，然后給出了CAS畫出的精確度比較高的直觀圖形，再給出嚴(yán)格的論證。學(xué)生也可以利用CAS強大的功能去解決很多計算問題，從而有更多時間去深入思考概念、基本理論和更復(fù)雜的例子，并應(yīng)用到實際問題上。此外，網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的發(fā)展使微積分教材變得更加立體，Stewart版《微積分》隨書附贈了兩張CD-ROM，一張稱為“TEC”（感受微積分），提供了一個實驗環(huán)境，如同一個無聲的老師，用探索、啟發(fā)式的方法逐步引導(dǎo)學(xué)生分析并解決問題，還能鏈接到網(wǎng)絡(luò)教學(xué)資源網(wǎng)站。另一張稱為“Interacive Video Skillbulder”（交互學(xué)習(xí)微積分），包含有與微積分教學(xué)有關(guān)的視頻與音頻等。教學(xué)可以不再局限于課堂，教學(xué)時空得到了延伸。

人大版《微積分》在計算機技術(shù)的應(yīng)用上體現(xiàn)得很少，只是把部分較簡單的近似計算內(nèi)容穿插在相應(yīng)章節(jié)中，由于沒有把這些計算和計算機結(jié)合，手工計算又很繁瑣，因此在教學(xué)中要么不講，要么一帶而過，完全體現(xiàn)不出近似計算在實際應(yīng)用中的重要價值。這一點對于工科和經(jīng)管類專業(yè)的學(xué)生來說應(yīng)該是個不小的遺憾。

例題和練習(xí)題設(shè)置的比較

Stewart版《微積分》習(xí)題的量很大，而且題目的類型也多，從概念復(fù)習(xí)題、判斷題，到難度各別的計算題、證明題和應(yīng)用題，一直到綜合性較強的探索研究題，此外還有用CAS解決的各種練習(xí)，習(xí)題按節(jié)和章安排，每節(jié)的習(xí)題分為一般練習(xí)題（包含難度各異的計算題、證明題和應(yīng)用題）和應(yīng)用研究題，每章的總習(xí)題則分為概念題、基于概念的判斷題、練習(xí)題和附加題（主要是一些難度或靈活性較大的題，或者是對某些教材內(nèi)容進行推廣的習(xí)題或探索性習(xí)題），層次分明，便于使用。在習(xí)題的選配上，Stewart版《微積分》具有以下幾個特點：其一，每章都專門設(shè)計和集中編排了一些非?；镜母拍铑}，以幫助學(xué)生學(xué)習(xí)和復(fù)習(xí)基本概念；其二，與基本概念和定理相結(jié)合的圖形題不僅多而且設(shè)計精妙；其三，編排了一些不同數(shù)學(xué)學(xué)科之間的交叉題，有利于開闊學(xué)生的眼界，激發(fā)學(xué)習(xí)其它數(shù)學(xué)課程的興趣；其四，應(yīng)用題數(shù)量多、覆蓋面廣，所用數(shù)據(jù)都來自生產(chǎn)與生活實際，有很強的真實感，不少應(yīng)用題及時反映了當(dāng)代科技發(fā)展的新成果，貼近時代步伐；其五，有相當(dāng)數(shù)量的使用計算機技術(shù)的習(xí)題；其六，注意習(xí)題的趣味性，增加習(xí)題對學(xué)生的吸引力。

人大版《微積分》習(xí)題按章安排，每章習(xí)題分為（A）、（B）兩部分，（A）部分基本是難度各異的計算題，以及少量的證明題，某些章還有少量概念題和應(yīng)用題；（B）部分均為選擇題，以計算為主，有少量考查概念理解。

對比發(fā)現(xiàn)，中美微積分教材在習(xí)題的風(fēng)格和設(shè)計的立意上有著明顯差異。就風(fēng)格而言，我國的教材習(xí)題類型比較單一，從數(shù)學(xué)上“加工”的比較正規(guī)，多為機械式的重復(fù)訓(xùn)練，相對比較枯燥；而美國教材的習(xí)題形式比較多樣，有些題目是比較開放性的。就設(shè)計立意而言，我國教材的習(xí)題多以知識立意為主，立足于對所學(xué)知識進行復(fù)習(xí)、鞏固和推廣，比較嚴(yán)謹(jǐn)；而美國教材的不少習(xí)題立足于能力立意，更注重數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的培養(yǎng)，比較活潑。應(yīng)該說兩種風(fēng)格和立意的習(xí)題各有優(yōu)缺點，具有互補性。

結(jié)束語

總體來說，兩種教材在基本的內(nèi)容體系和知識點上差別不大，比較明顯的差異在同樣內(nèi)容的不同呈現(xiàn)方式上。我國的教材大多比較注重符號的抽象表達、符號轉(zhuǎn)換和公式推導(dǎo)，過于強調(diào)理論的嚴(yán)謹(jǐn)和數(shù)學(xué)語言的表述，通常忽視了淺顯易懂的自然語言的運用。所以針對概念的數(shù)值、圖像、符號、自然語言的不同表達，我國學(xué)生呈現(xiàn)出符號較強、圖像稍弱、數(shù)值與語言最弱的趨勢。這使得學(xué)生對抽象概念能暫時記住，會用于計算或證明，但對其中所包含的數(shù)學(xué)思想缺乏真正的理解，無法用來解決實際問題，時間一長自然就都忘卻了。如果能借鑒美國微積分教材編寫的“四原則”，以多種表征方式呈現(xiàn)知識，學(xué)生也許更容易接受抽象概念。適度使用計算機技術(shù)，使教材能夠變得“立體”起來。加強對數(shù)學(xué)理論進行實際應(yīng)用的內(nèi)容，使學(xué)生真正明白微積分能做什么、怎樣做，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。當(dāng)然，我國的微積分教材也有自身的優(yōu)勢，如前后內(nèi)容銜接緊密，條理清晰，重復(fù)少，在課時有限的情況下教師容易教學(xué)等。但是，在我國微積分教材總體趨同的現(xiàn)狀之下，美國微積分教材為我們提供了一個新的思路和參照，有重要的借鑒作用?！八街?，可以攻玉”，理科數(shù)學(xué)、工科數(shù)學(xué)、經(jīng)濟管理類數(shù)學(xué)、文科數(shù)學(xué)、職業(yè)教育的數(shù)學(xué)，不同層次的微積分教材大同小異，無非是經(jīng)典內(nèi)容的增刪取舍，體現(xiàn)不出應(yīng)有的差異性。

參考文獻

[1]郭鏡明，應(yīng)明，朱小平.美國微積分教材中的習(xí)題配置特色[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2005（2）

[2]James Stewart著，白峰杉譯.微積分（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2004

[3]趙樹嫄.微積分（第三版）[M].北京：中國人民大學(xué)出版社，2007

（作者單位：中國勞動關(guān)系學(xué)院）