鄭金

若在豎直平面內從某一固定點以相同的初速率 、不同的拋射角發(fā)射質點，則各運動軌跡組成拋物線族，如果有一條光滑曲線處處與這些拋物線相切，這條曲線就是此拋物線族的包絡線，也是一條拋物線。拋物線族中所有的拋物線都不會越出包絡線所界定的邊界線，也就是說不論怎樣調整拋射角，都不能擊中包絡線以外的目標，因此把包絡線稱為安全拋物線。

1 方程推導

1.1 問題。在夏季從地面向云層發(fā)射防雹炮彈，初速度為v0，若忽略空氣阻力和重力加速度變化的影響，求炮彈所能達到區(qū)域的邊界方程。

1.2 分析。以拋出點為坐標原點，水平分速度方向為x軸方向，豎直向上為y軸方向，建立直角坐標系，沿坐標軸方向分解斜上拋運動，其位移分別為x=v0cosθ·t

可變形為關于tanθ的一元二次方程，

即（gx2）tan2θ-（2v20）tanθ+（2v20+gx2）=0。

這是所有符合條件的拋物線方程，可分兩類，一類不跟包絡線相切，其上各點都對應兩個θ ；另一類跟包絡線相切，由于切點不可能是兩條拋物線的交點，因此切點只對應一條拋物線，即對應唯一一個 θ。

同時，方程還表示所有拋物線上各點的集合，這些點分兩類，一類在包絡線之內，各點對應兩個不同的θ；另一類是邊界點，在包絡線上，是切點的集合，所以安全拋物線上各點分別對應唯一的拋射角θ。

關于tanθ的一元二次方程應該有實數(shù)解。而且只要滿足θ取單值的條件，對應的各點就在包絡線上，僅當判別式為零時，二次方程有單根，各點P（x，y）為切點，組成一條包絡線。可得到包

對于包絡線方程，當拋射速度確定時，若x確定，則y取最大值；若y確定，則x取最大值。而當某點確定時，則拋射速度取最小值。

2 方程應用

例1 在傾斜角為θ的斜面底端向斜面上拋出物體，初速度為v0，當拋射角a為多少時，落點最遠？其值為多少？

解析 以拋出點為坐標原點，