楊蜀寧

摘 要：本文結(jié)合函數(shù)，對圖像的斜率、截距、面積和交點進(jìn)行了分析。

關(guān)鍵詞：實驗；數(shù)據(jù)分析；圖像；函數(shù)

一、問題的提出

在物理實驗中，數(shù)據(jù)處理是實驗的重要組成部分，在新課程標(biāo)準(zhǔn)中，加入了大量利用傳感器的DIS實驗，由于有計算機的輔助，大大簡化了實驗數(shù)據(jù)的測量，使得大量、精準(zhǔn)的數(shù)據(jù)采集成為可能。因此，新課程標(biāo)準(zhǔn)更注重實驗數(shù)據(jù)的分析，數(shù)據(jù)處理的方式也更多地采用圖像法。圖像法可以比較直觀地表達(dá)所測物理量之間的關(guān)系。但是反過來，利用圖像分析實驗數(shù)據(jù)，卻是學(xué)生面對的困難，也是教學(xué)中亟待突破的難點。怎樣讀懂圖像？怎樣利用圖像進(jìn)行數(shù)據(jù)分析？這些問題成為物理教學(xué)的新課題。

二、利用函數(shù)讀懂圖像

假設(shè)在某個變化過程中有x和y兩個變量，如果x在某一個范圍內(nèi)的每一個確定值，y都有唯一確定的值與它對應(yīng)，x為自變量，確定y=f（x）的函數(shù)，就確定了某一變化過程中兩個變量之間的關(guān)系。圖像的坐標(biāo)軸x、y代表兩個不同的物理量，而坐標(biāo)軸內(nèi)的圖像則反映了這兩個物理量之間的物理關(guān)系。因此，認(rèn)識某一圖像時，首先應(yīng)該明確坐標(biāo)軸表示的是哪一個物理量， 然后由物理量的基本關(guān)系推導(dǎo)圖像的函數(shù)關(guān)系。

例：圖（a）是“DIS向心力實驗器”，利用這個實驗裝置探究向心力大小與角速度ω、轉(zhuǎn)動r半徑之間的關(guān)系。

當(dāng)質(zhì)量為m的物體隨旋轉(zhuǎn)臂一起做半徑為r的圓周運動時，受到的向心力可通過牽引桿由力傳感器測得，旋轉(zhuǎn)臂另一端的擋光桿每經(jīng)過光電門一次，通過力傳感器和光電門就同時獲得一組向心力F和角速度ω的數(shù)據(jù)，并直接在坐標(biāo)系中描出相應(yīng)的點。得到多組F、ω的數(shù)據(jù)后，連成平滑的曲線①，經(jīng)函數(shù)擬合為一個拋物線。在物體的質(zhì)量m，轉(zhuǎn)動半徑r不變的情況下，改變角速度ω，得到的過原點的二次函數(shù)，說明F∝ω2。

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改變物體的轉(zhuǎn)動半徑r重復(fù)實驗（實驗的條件見上表），得到的拋物線分別如圖（b）中的①、②、③所示。對于不同的曲線是由于物體轉(zhuǎn)動半徑r不同而得到的，由控制變量的基本思想，質(zhì)量m一定的前提下，在（b）圖中角速度相同的點（相同橫坐標(biāo)），F(xiàn)（縱坐標(biāo)）的倍數(shù)關(guān)系F1：F2：F3=1：2：3=r1：r2：r3，故F∝r。

綜上所述，當(dāng)質(zhì)量m不變時，F(xiàn)∝ω2r。

三、對圖像的特征進(jìn)行分析

1.分析圖像的斜率

圖像的斜率表示的是縱軸應(yīng)變量y隨橫軸自變量x的變化快慢，為縱坐標(biāo)的差值比橫坐標(biāo)的差值，其物理意義可由函數(shù)推導(dǎo)。

例：某同學(xué)在做“驗證溫度不變時氣體的壓強跟體積的關(guān)系”實驗時，實驗過程為：緩慢推動注射器活塞，記錄下一組氣體體積值，并同時由連接計算機的壓強傳感器測得對應(yīng)體積的壓強值，將數(shù)據(jù)輸入計算機處理后，得到了V—1/p關(guān)系圖線。經(jīng)過兩次實驗后分別得到圖線a和圖線b，如圖所示。（設(shè)實驗過程中，環(huán)境溫度沒有變化）根據(jù)圖線a和b分析，第一次實驗和第二次實驗得到的圖線不同，分析其可能的原因。

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分析：圖像中a，b兩條線的斜率不同，由理想氣態(tài)方程pV=nRT，斜率k=■=nRT，斜率與物質(zhì)的量成正比，斜率不同，表示封閉氣體物質(zhì)的量不同。

2.分析圖像的截距

在分析實驗圖像時，若發(fā)現(xiàn)圖像不過原點，而是與兩坐標(biāo)軸相交，要從函數(shù)關(guān)系的表達(dá)式中找到截距的物理含義來分析。

例：由某種材料制成的電器元件，其伏安特性曲線如右圖所示?，F(xiàn)將兩個這樣的元件并聯(lián)接在電動勢為8V，內(nèi)阻為4Ω的電源上，對于非線性變化的電阻，不能用計算的方式確定其工作點，可以做出電源、電阻的U-I圖像，找到電阻的工作點。兩個電阻并聯(lián)接在電源的兩端，通過每一個電阻的電流為I=■×■=■，與閉合電路歐姆定路對照，對于每一個電阻而言，相當(dāng)于接在電動勢為8V，內(nèi)阻為r等效=2r=8Ω的電源的兩端，在U-I圖像中電壓軸的截距為電源電動勢E，電流軸的截距為電源的短路I0=■=1A，做出電源的U-I圖線（如上圖，電動勢為8V，短路電流為1A），兩條圖像的交點為電阻的工作點電壓2V，電流0.75A。

3.分析圖像的面積

除了圖像的坐標(biāo)軸、斜率、截距等具有重要的物理含義外，在一些圖像中，圖像下覆蓋的面積也常常與某個物理量相對應(yīng)，（類似于運動學(xué)中v-t圖像，圖像下覆蓋的“面積”表示質(zhì)點通過的位移）對這類看似復(fù)雜的問題要從兩坐標(biāo)軸的乘積的物理意義分析，找出面積所代表的物理含義，面積常常表示為縱軸物理量對橫軸物理量的累積（即數(shù)學(xué)的積分思想），常能使問題簡單明了。

例：如下圖甲所示，有一用釹硼材料制成的圓柱形強磁體M，現(xiàn)有一圓柱形線圈C從原點O左側(cè)較遠(yuǎn)處開始沿x軸正方向做直線運動，在線圈兩端接一阻值R=500Ω的定值電阻。現(xiàn)用一個電壓傳感器，測得R兩端的電壓隨時間變化的圖像，如下圖乙所示，乙圖中時刻6s到10s之間的圖線是直線，6s至8s期間流過電阻R的電量Q=It=■t，對于U-t圖像而言，圖像與時間軸圍成的面積即為Ut的乘積，故：

Q=■=4×10-6C

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4.分析圖像的交點

在電學(xué)實驗中，有的電源、電阻的伏安特性曲線是非線性的，無法寫出它們的函數(shù)關(guān)系。當(dāng)這些電源、電阻接入不同電路工作時，工作點都是不同的。需在同一坐標(biāo)系上同時做出多條圖線，分析它們的交點，得到所需的工作點。

例：硅光電池是一種可將光能轉(zhuǎn)換為電能的器件。某同學(xué)用下圖（a）所示的電路研究硅光電池的伏安特性曲線。圖中R0為已知定值電阻，兩個電壓表均視為理想電壓表。

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實驗一：用一定強度的光照射硅光電池，調(diào)節(jié)滑動變阻器，通過測量和計算得到該電池的U-I曲線，如上圖（b）中的甲線。實驗二：減小光的強度，重復(fù)實驗，得到的U-I曲線如上圖（b）中的乙線所示。調(diào)節(jié)滑動變阻器，使實驗一中的V1表的示數(shù)為1.5V，外電路的工作情況為電壓1.5V，電流與電源電流相同，在甲圖中找到此點為電路的工作點，做出此外電阻的U-I圖像（如上圖），保持該阻值不變，換作實驗二的電源，電源的圖像變了而外電阻的圖像不變，找到外電阻的U-I圖線與乙圖線的交點為新的工作點：1V，140μA，功率為0.14mA。

要讀懂圖像一定要結(jié)合函數(shù)，由于高中的數(shù)學(xué)知識的局限，對圖像的研究主要是對圖像的斜率、截距、面積、交點的分析。圖像的斜率主要是用于討論物理量的變化率，截距主要用于討論特殊工作狀態(tài)，面積主要用于討論物理量的累積，交點常常是用于找到非線性元件的工作點。在教學(xué)中，有意識、有目的地利用圖像分析數(shù)據(jù)，并結(jié)合函數(shù)進(jìn)行理論的指導(dǎo)，以數(shù)形結(jié)合的方式描述物理變化的規(guī)律，兩種方式相互補充，相互轉(zhuǎn)化，能加深對物理實驗的理解。

參考文獻(xiàn)：

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