吳永新?陳冰

摘 要： 本程序在運(yùn)行開始時(shí)，會(huì)要求用戶輸入指標(biāo)的層數(shù)和第一層的指標(biāo)數(shù)，在每一個(gè)層次的矩陣元素輸入完成后，程序會(huì)要求用戶輸入下一個(gè)層次中的指標(biāo)數(shù)，因此本程序可進(jìn)行無限個(gè)層次的迭代運(yùn)算。

關(guān)鍵詞：Matlab；層次分析法；判斷矩陣；決策

在當(dāng)前信息化、全球化的大背景下，傳統(tǒng)的手工計(jì)算已不能滿足人們高效率、高準(zhǔn)確度的決策需求。因此計(jì)算機(jī)輔助決策當(dāng)仁不讓地成為了管理決策的新工具、新方法?；诖耍疚脑诔浞职l(fā)揮計(jì)算機(jī)強(qiáng)大運(yùn)算功能的基礎(chǔ)上，選用美國(guó)MathWorks公司的集成數(shù)學(xué)建模環(huán)境Matlab R2009a作為開發(fā)平臺(tái)，使用M語言進(jìn)行編程，對(duì)計(jì)算機(jī)輔助決策在層次分析法中的運(yùn)用進(jìn)行討論。試圖通過程序?qū)崿F(xiàn)層次分析法在計(jì)算機(jī)系統(tǒng)上的運(yùn)用，為管理決策探索出新的道路。

一、層次分析法的計(jì)算流程

根據(jù)層次分析法的相關(guān)理論，層次分析法的基本思想是將復(fù)雜的決策問題進(jìn)行分解，得到若干個(gè)下層指標(biāo)，再對(duì)下層指標(biāo)進(jìn)行分解，得到若干個(gè)再下層指標(biāo)，如此建立層次結(jié)構(gòu)模型，然后根據(jù)結(jié)構(gòu)模型構(gòu)造判斷矩陣，進(jìn)行單排序，最后，求出各指標(biāo)對(duì)應(yīng)的權(quán)重系數(shù)，進(jìn)行層次總排序。

1.1 構(gòu)造層次結(jié)構(gòu)模型 在進(jìn)行層次分析法的分析時(shí)，最主要的步驟是建立指標(biāo)的層次結(jié)構(gòu)模型，根據(jù)結(jié)構(gòu)模型構(gòu)造判斷矩陣，只有判斷矩陣通過了一致性檢驗(yàn)后，方可進(jìn)行分析和計(jì)算。其中，結(jié)構(gòu)模型可以設(shè)計(jì)成三個(gè)層次，最高層為目標(biāo)層，是決策的目的和要解決的問題，中間層為決策需考慮的因素，是決策的準(zhǔn)則，最低層則是決策時(shí)的備選方案。一般來講，準(zhǔn)則層中各個(gè)指標(biāo)的下級(jí)指標(biāo)數(shù)沒有限制，但在本文中設(shè)計(jì)的程序尚且只能在各指標(biāo)具有相同數(shù)量的下級(jí)指標(biāo)的假定下，完成層次分析法的分析，故本文后文選取的案例也滿足這一假定。1.2 建立判斷矩陣 判斷矩陣是表示本層所有因素針對(duì)上一層某一個(gè)因素的相對(duì)重要性的比較給判斷矩陣的要素賦值時(shí)，常采用九級(jí)標(biāo)度法（即用數(shù)字1到9及其倒數(shù)表示指標(biāo)間的相對(duì)重要程度）。1.3 檢驗(yàn)判斷矩陣的一致性 由于多階判斷的復(fù)雜性，往往使得判斷矩陣中某些數(shù)值具有前后矛盾的可能性，即各判斷矩陣并不能保證完全協(xié)調(diào)一致。當(dāng)判斷矩陣不能保證具有完全一致性時(shí)，相應(yīng)判斷矩陣的特征根也將發(fā)生變化，于是就可以用判斷矩陣特征根的變化來檢驗(yàn)判斷的一致性程度。在層次分析法中，令判斷矩陣最大的特征值為λmax，階數(shù)為n，則判斷矩陣的一致性檢驗(yàn)的指標(biāo)記為： ⑴ CI的值越大，判斷矩陣的一致性越差。當(dāng)階數(shù)大于2時(shí)，判斷矩陣的一致性指標(biāo)CI與同階平均隨機(jī)一致性指標(biāo)RI之比稱為隨機(jī)一致性比率。 ⑵ 當(dāng)CR<0.1時(shí)，即可認(rèn)為判斷矩陣具有滿意的一致性。然而由于在為各指標(biāo)間相互重要性程度大小的判定過程中存在人為主觀因素，因此在判斷矩陣不能通過一致性檢驗(yàn)時(shí)，需要對(duì)各指標(biāo)間相互重要性程度重新進(jìn)行賦值，直至其通過矩陣一致性檢驗(yàn)。其最大特征值對(duì)應(yīng)的特征向量即為該指標(biāo)相對(duì)于上一級(jí)指標(biāo)的重要性排序。1.4 進(jìn)行層次總排序 在通過層次單排序得出各指標(biāo)相對(duì)上一級(jí)指標(biāo)的重要性排序向量后，沿遞階層次結(jié)構(gòu)逐級(jí)依次由下往上進(jìn)行矩陣計(jì)算，則可得到各底層指標(biāo)對(duì)最高層的相對(duì)重要性權(quán)重，從而可對(duì)各底層指標(biāo)的優(yōu)先次序進(jìn)行排序，找出重點(diǎn)指標(biāo)并予以特別關(guān)注。

二、Matlab層次分析法程序設(shè)計(jì)思路

Matlab是矩陣實(shí)驗(yàn)室（Matrix Laboratory）的簡(jiǎn)稱，是美國(guó)MathWorks公司出品的數(shù)學(xué)軟件，用于算法開發(fā)、數(shù)據(jù)可視化、數(shù)據(jù)分析以及數(shù)值計(jì)算的高級(jí)技術(shù)計(jì)算語言和交互式環(huán)境。Matlab可以進(jìn)行矩陣運(yùn)算、繪制函數(shù)和數(shù)據(jù)圖像、設(shè)計(jì)算法、創(chuàng)建用戶界面、連接用其他編程語言編寫的程序等。Matlab以矩陣為計(jì)算單位，采用M語言作為程序語言，與C語言有諸多相似之處，并可方便地與C/C++、Microsoft Excel等工具和軟件進(jìn)行結(jié)合并進(jìn)行代碼共享和數(shù)據(jù)交換，可以方便地進(jìn)行數(shù)值分析、圖像處理等功能，配合功能強(qiáng)大的統(tǒng)計(jì)和金融工具箱，Matlab已經(jīng)可以在概率統(tǒng)計(jì)、經(jīng)濟(jì)管理等方面發(fā)揮強(qiáng)大的作用。 筆者所編程序即是運(yùn)用Matlab豐富的函數(shù)、矩陣運(yùn)算和程序控制功能，探索其在層次分析法分析中的運(yùn)用。程序通過三層循環(huán)結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)多個(gè)層次上各個(gè)判斷矩陣的輸入和生成，并可以通過計(jì)算它們的特征值，進(jìn)行矩陣的一致性檢驗(yàn)。當(dāng)所有的判斷矩陣一致性檢驗(yàn)均通過后，程序?qū)?duì)各層次從下往上依次計(jì)算，最終得出各底層指標(biāo)相對(duì)于準(zhǔn)則層的權(quán)重系數(shù)，從而有助于選擇最優(yōu)方案，其中的平行四邊形表示輸入數(shù)據(jù)，菱形表示判斷，根據(jù)判斷結(jié)果的不同出現(xiàn)2個(gè)分支。

三、應(yīng)用舉例

某市一十字路口常常因行人過街擁擠，存在安全隱患，市政部門欲對(duì)該路口進(jìn)行改造，現(xiàn)提出了3套改造方案：

方案1（S1）：建地下通道；

方案2（S2）：建人行天橋；

方案3（S3）：拆除周圍的舊建筑，拓寬街面。

市政部門認(rèn)為，該改造工程需考慮如下幾個(gè)方面的指標(biāo)：

指標(biāo)1（P1）：通車能力的大小；

指標(biāo)2（P2）：交通安全系數(shù)的高低；

指標(biāo)3（P3）：建筑費(fèi)用的高低；

指標(biāo)4（P4）：群眾出行方便度的大?。?/p>

指標(biāo)5（P5）：市容整潔程度的高低。

現(xiàn)在需要就以上問題進(jìn)行決策，需決定在三套方案（S1～S3）中選用最優(yōu)方案。其主要步驟及操作如下所示。

第1步：根據(jù)題目建立層次結(jié)構(gòu)模型。由于題目要求對(duì)3套方案均需考慮5個(gè)指標(biāo)，故可畫出指標(biāo)體系結(jié)構(gòu)圖。

第2步：形成判斷矩陣。形成判斷矩陣，需要對(duì)各指標(biāo)相互的重要性進(jìn)行標(biāo)度，矩陣的上三角部分與下三角部分以對(duì)角線為分界，對(duì)稱呈倒數(shù)排列，對(duì)角線上元素均為1，因?yàn)楦髦笜?biāo)與自身的重要性為“同等重要”，不同的指標(biāo)A1對(duì)A2的重要性與A2對(duì)A1的重要性互為倒數(shù)。

第3步：將以上各矩陣輸入程序，進(jìn)行計(jì)算。在Matlab的命令窗口依次按提示輸入矩陣后，程序輸出結(jié)果。

接著，程序?qū)Ω骶仃囉?jì)算所得的最大特征值對(duì)應(yīng)的特征向量按下式進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化

再給出各指標(biāo)的特征向量組成的矩陣

進(jìn)而得出三套方案相對(duì)于目標(biāo)的權(quán)重向量為

程序經(jīng)比較，發(fā)現(xiàn)方案1權(quán)重系數(shù)最大，進(jìn)而得出最終結(jié)論：方案1（地下通道）占優(yōu)。

四、總結(jié)及分析

本文通過使用Matlab軟件進(jìn)行編程，在滿足同一層次中各指標(biāo)對(duì)所有的下級(jí)指標(biāo)均產(chǎn)生影響的假定條件下，實(shí)現(xiàn)了層次分析法的分析運(yùn)算。本程序允許用戶自由設(shè)定指標(biāo)層次結(jié)構(gòu)內(nèi)的層次數(shù)以及各層次內(nèi)的指標(biāo)數(shù)，通過程序的循環(huán)，用戶只需輸入判斷矩陣的部分?jǐn)?shù)據(jù)，程序可依據(jù)層次分析法的計(jì)算流程進(jìn)行計(jì)算并作出判斷。本程序可以方便地處理層次分析法下較大的運(yùn)算量，解決層次分析法的效率問題，提高計(jì)算機(jī)輔助決策的時(shí)效性。

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