鄧全齊

梯形的中位線具有的性質(zhì)是：梯形的中位線平行于上下兩底，并且等于兩底之和的一半。靈活利用梯形中位線的這一性質(zhì)可以解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題，下面舉例說明。

例1 （2012年四川省達(dá)州市中考題）如圖1，在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，則下列結(jié)論：

①EF∥AD；②S△ABO=S△DCO；③△OGH是等腰三角形；④BG=DG；⑤EG=HF。其中正確的個(gè)數(shù)是（ ）

A.1個(gè) B.2個(gè)

C.3個(gè) D.4個(gè)

解析 由梯形中位線性質(zhì)，可知EF∥AD∥BC，則可得G、H分別是BD、AC中點(diǎn)，因此①、④、⑤正確，由同底等高可得S△ABC=S△DBC，則②正確，若③成立，則可推出梯形是等腰梯形，而梯形ABCD并不是等腰梯形。故答案選D。

點(diǎn)評 本題涉及梯形中位線的性質(zhì)、三角形中位線判定及性質(zhì)、同底等高三角形面積的變換等知識點(diǎn)，考查了同學(xué)們簡單的推理能力及邏輯思維能力。

例2 （2012年貴州省六盤水市中考題）如圖2，已知：AA′//DD′，B、C是AD的四等分點(diǎn)，B′、C′是A′D′的四等分點(diǎn)，AA′=28 cm，DD′=36 cm，求BB′和CC′的長度。

分析 根據(jù)已知條件，要求BB′和CC′的長度，需要找到BB′、CC′與已知條件的關(guān)系，注意到B、C是AD的四等分點(diǎn)，B′、C′是A′D′的四等分點(diǎn)，聯(lián)想到梯形的中位線，可取AD的中點(diǎn)E和A′D′的中點(diǎn)E′，連接EE′，則EE′是梯形ADD′A′的中位線，且EE′的長度易求出。由于B′B和C′C分別是梯形AEE′A′和梯形EDD′E′的中位線，從而可以根據(jù)梯形中位線的性質(zhì)求出BB′和CC′的長度。

解 取AD的中點(diǎn)E和A′D′的中點(diǎn)E′，連接EE′，則EE′是梯形ADD′A′的中位線，所以EE′= （AA′+DD′）= （28+36）=32 cm。

又BB′是梯形AEE′A′的中位線，CC′是梯形EDD′E′的中位線，

所以BB′= （AA′+EE′）= （28+32）=30 cm，

CC′= （EE′+DD′）= （32+36）=34 cm。

點(diǎn)評 解答本題要構(gòu)造梯形中位線，熟練掌握梯形的中位線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵。

例3 （2012年山東省濱州市中考題）我們知道“連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線”“三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半”。類似的，我們把連接梯形兩腰中點(diǎn)的線段叫做梯形的中位線。如圖3，在梯形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，那么EF就是梯形ABCD的中位線。通過觀察、測量，猜想EF和AD、BC有怎樣的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論。

分析 連接AF并延長交BC的延長線于點(diǎn)G，則△ADF≌△GCF，可以證得EF是△ABG的中位線，利用三角形的中位線定理即可證得。

結(jié)論為：EF∥AD∥BC，EF= （AD+BC）。

證明 如圖4，連接AF并延長交BC的延長線于點(diǎn)G。

因?yàn)锳D∥BG，所以∠DAF=∠G，

在△ADF和△GCF中，∠DAF=∠G，∠DFA=∠CFGDF=CF。，

所以△ADF≌△GCF。所以AF=FG，AD=CG。

又因?yàn)锳E=EB，所以EF∥BG，EF= （BC+CG），

即EF∥AD∥BC，EF= （AD+BC）。

點(diǎn)評 梯形問題通常通過添加輔助線將其轉(zhuǎn)化為三角形或特殊四邊形來解決。常用添加輔助線的方法有：（1）平移一腰；（2）過同一底上的兩個(gè)頂點(diǎn)作高；（3）平移對角線；（4）延長兩腰。

例4 （2012年江蘇省南京市中考題）如圖5，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，對角線AC、BD交于點(diǎn)O，AC⊥BD，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)。

（1）求證：四邊形EFGH是正方形；

（2）若AD=2，BC=4，求四邊形EFGH的面積。

分析 利用三角形中位線定理來證明四邊形EFGH是正方形；借助梯形中位線得到EG的長，可求出四邊形EFGH的面積。

解 （1）因?yàn)镋、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，

所以EF是三角形ABC的中位線，所以EF∥AC，EF= AC，

同理可得，EH∥BD，HG= AC，EH=FG= BD，

所以EH=FG=EF=HG，所以四邊形EFGH為菱形。

因?yàn)镋F∥AC，EH∥BD，AC⊥BD，所以∠EHG=90°。

所以菱形EFGH為正方形。

（2）在梯形ABCD中，因?yàn)镋、G分別是AB、CD的中點(diǎn)。

所以EG為梯形ABCD的中位線，所以EG= （AD+BC）=3，四邊形EFGH的面積等于 EG2= ×9=4.5。

點(diǎn)評 本題題目中有中點(diǎn)，所以可轉(zhuǎn)化利用三角形中位線、梯形中位線來解決問題，注意正方形是特殊的菱形，其面積也可以為對角線平方的一半。