曾堯鋒

摘 要：通過課本圓錐曲線的例題結(jié)合歷年高考題談斜率的一些性質(zhì)，探求高考試題的聯(lián)系，認(rèn)真研究高考試題，從而強(qiáng)化課本的作用，發(fā)掘其真正內(nèi)涵，探索出一般性的結(jié)論.

關(guān)鍵詞：課本例題；高考；斜率性質(zhì)

課本是教學(xué)之本，考題之源.近幾年的高考命題堅(jiān)持貫徹高考試題“源于課本”的命題原則，一直都很注重強(qiáng)化課本的作用.其中許多題目都能在課本上找到影子，是課本上題目的變形和轉(zhuǎn)化，因此課本典型例題、習(xí)題值得師生關(guān)注與思考.

人教版教材選修2-1有這樣一道例題（第41頁(yè)例3）：設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為，直線AM，BM相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積是-，求點(diǎn)M的軌跡方程.

我們知道點(diǎn)M的軌跡為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，該題可變形為：設(shè)點(diǎn)A，B是橢圓+=1長(zhǎng)軸的端點(diǎn)，點(diǎn)M在橢圓上，求直線AM，BM的斜率之積.在求斜率之積的過程中發(fā)現(xiàn)可以將其拓展到一般的橢圓.

探究一

推廣更一般的結(jié)論：

定理一：有心圓錐曲線（圓、橢圓、雙曲線都有對(duì)稱中心，統(tǒng)稱為有心圓錐曲線）+=1上任一點(diǎn)與任一直徑兩端點(diǎn)分別連線，其斜率之積為常數(shù)-.

例.（2012年湖北高考）設(shè)A是單位圓上x2+y2=1的任意一點(diǎn)，l是過點(diǎn)A與x軸垂直的直線，D是直線l與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)M在直線l上，且滿足DM=mDA（m>0，且m≠1）。當(dāng)點(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記點(diǎn)M的軌跡為曲線C.

（Ⅰ）求曲線C的方程，判斷曲線C為何種圓錐曲線，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)；

（Ⅱ）過原點(diǎn)且斜率為k的直線交曲線C于P，Q兩點(diǎn)，其中P在第一象限，它在y軸上的射影為點(diǎn)N，直線QN交曲線C于另一點(diǎn)H.是否存在m，使得對(duì)任意的k>0，都有PQ⊥PH？若存在，求m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

解析：（Ⅰ）略

（Ⅱ）標(biāo)準(zhǔn)答案利用例一的結(jié)論可簡(jiǎn)寫為：

本題第一問源于教材選修2-1第41頁(yè)例2的背景，考查了軌跡的求法，又體現(xiàn)了圓與橢圓的聯(lián)系，緊扣教材；同時(shí)又考查了分類討論的思想，延續(xù)了2011年湖北解析幾何題的風(fēng)格.第二問突顯幾何味，利用斜率之間的關(guān)系及點(diǎn)差法極大的簡(jiǎn)化運(yùn)算.

由此可以看到，2012年湖北理科高考解析幾何題有如下特點(diǎn)：

（1）突出貼近教材，彰顯數(shù)學(xué)文化.本題取材于數(shù)學(xué)選修2-1第41頁(yè)例2和例3的背景等，同時(shí)試題的表達(dá)方式與語(yǔ)言敘述盡可能與教材保持統(tǒng)一.這種做法可以為中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)施素質(zhì)教育創(chuàng)造寬松的環(huán)境，為高考復(fù)習(xí)提供“依綱靠本”的導(dǎo)向.

（2）與斜率有關(guān)的定值問題是解析幾何的“幾何味”體現(xiàn)之一，也是高考命題熱點(diǎn)，且?？汲Ｐ?

探究二

圓的很多優(yōu)美性質(zhì)可以類比推廣到有心圓錐曲線中，如圓的“垂徑定理”的逆定理：圓的平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦.類比推廣到有心圓錐曲線.

將上述性質(zhì)的條件作改變，仍然可以得到與有關(guān)的性質(zhì).

通過對(duì)一道課本例題的探究，我們深深體會(huì)到：在近幾年的高考試題中，對(duì)課本例題和歷年高考試題進(jìn)行變式改造，重新成為高考試題的例子不勝枚舉，因此我們要切實(shí)做到重視課本，精讀教材，但僅此還不夠，有些問題要在數(shù)學(xué)課本的基礎(chǔ)上有所變化、有所提高.從這一點(diǎn)講，變式探究符合廣大師生提高考試成績(jī)的心理，同時(shí)，變式探究也符合新課程倡導(dǎo)研究性學(xué)習(xí)的要求.

參考文獻(xiàn)：

邵賢虎.高考圓錐曲線試題中的恒定問題賞析.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2010（10）.

（作者單位 湖北省羅田縣第一中學(xué)）