顧萬(wàn)軍

三角形的內(nèi)角和定理是：三角形的內(nèi)角和等于180 °。應(yīng)用這個(gè)定理可以解決許多數(shù)學(xué)問(wèn)題。下面舉例說(shuō)明。

一、求角的度數(shù)

例1 （2012年廣東省深圳市中考題）如圖1所示，一個(gè)60 °角的三角形紙片，剪去這個(gè)60°角后，得到一個(gè)四邊形，則∠1+∠2的度數(shù)為（ ）

A. 120° B. 180° C. 240° D. 300°

分析 根據(jù)三角形內(nèi)角和定理、平角定義可以求得∠1+∠2的度數(shù)。

解 如圖2，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，得∠3+∠4+60°=180°，

又根據(jù)平角定義，∠1+∠3=180°，∠2+∠4=180°，

所以180°-∠1+180°-∠2+60°=180°。

所以∠1+∠2=240°。故答案選C。

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形內(nèi)角和定理、平角定義、三角形外角性質(zhì)。解題時(shí)注意挖掘出隱含在題干中已知條件：三角形內(nèi)角和是180°。

二、判定三角形的形狀

例2 （2012年山東省濱州市中考題）一個(gè)三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)之比為2∶3∶7，這個(gè)三角形一定是（ ）

A.等腰三角形 B.直角三角形 C.銳角三角形 D.鈍角三角形

分析 已知三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)之比，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，可求得三角的度數(shù)，由此判斷三角形的類型。

解 三角形的三個(gè)內(nèi)角依次為180°×=30°，180°×=45°，180°×=105°，所以這個(gè)三角形是鈍角三角形。故答案選D。

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形的分類，這個(gè)三角形最大角為180°×=105°>90°。

本題也可以利用方程思想來(lái)解答，即2x+3x+7x=180°，解得x=15°，所以最大角為7×15°=105°。

三、用于解決實(shí)際問(wèn)題

例3 （2012年寧夏回族自治區(qū)中考題）如圖3，C島在A島的北偏東45°方向，在B島的北偏西25°方向，則從C島看A、B兩島的視角∠ACB= 度。

分析 先求出∠CAB與∠ABC和的度數(shù)，再根據(jù)三角形內(nèi)角和是180°即可進(jìn)行解答。

解 連接AB，因?yàn)镃島在A島的北偏東45°方向，在B島的北偏25°方向，

所以∠CAB+∠ABC=180°-（45°+25°）=110°。

又因?yàn)槿切蝺?nèi)角和是180°，

所以∠ACB=180°-（∠CAB+∠ABC）=180°-110°=70°。

故答案填70。

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是方向角的概念及三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)題意得出∠CAB與∠ABC和的度數(shù)是解答此題的關(guān)鍵。

練習(xí)

1.（2012年浙江省嘉興市中考題）已知△ABC中，∠B是∠A的2倍，∠C比∠A大20°，則∠A等于（ ）

A.40° B.60° C.80° D.90°

2.（2012年內(nèi)蒙古自治區(qū)呼和浩特市中考題）如圖4，在△ABC中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分線交于點(diǎn)E，則∠AEC= 。

參考答案

1.解：設(shè)∠A=x，則∠B=2x，∠C=x+20°，則x+2x+x+20°=180°，解得x=40°，即∠A=40°。故答案選A。

2.解：因?yàn)槿切蜛BC的外角∠DAC的角平分線和∠ACF的角平分線交于點(diǎn)E，所以∠EAC=∠DAE，∠ECA=∠ECF。

又因?yàn)椤螧=47°（已知），∠B+∠BAC+∠BCA=180°（三角形內(nèi)角和定理），

所以∠DAC+∠ACF=（∠B+∠ACB）+（∠B+∠BAC）=（∠B+∠B+∠BAC+∠ACB）==113.5°（外角和定理），

所以∠AEC=180°-（∠DAC+ACF）=66.5°。