付麗慧

(石家莊鐵路職業(yè)技術學院，河北石家莊 050041)

一、問題的提出與背景

數(shù)學向一切領域的滲透和發(fā)展是當代科學發(fā)展的一個顯著特點，分配問題就是數(shù)學在社會科學中的一個應用實例。在社會的許多結構和公共機關中都存在分配問題，如一個立法委員會中將席位分配到各種不同的政治團體中，一個學院中的有限個教師分配給各個系，按某種優(yōu)先權或目標將有限艘船只確定地分配給海軍各艦隊等等。

其實，對于畢業(yè)的師范生來說找工作中提及最多的便是此類問題。如下面的問題：某市有三所中學，總共有學生4000人，其中第一中學有2060名學生，第二中學有1260名學生，第三中學有680名學生，現(xiàn)本市教育局有14個教師指標，打算分給各中學，但如何分配才是合理公平的呢？又由于教師缺乏，教育局經多次申請，又得到一個教師指標，試問這個教師指標應分給哪所中學才算公平合理？

任何一種分配，人們總希望它滿足一定的合理性。下面我們便來找出如何公平分配某市的教師指標的方法。

二、問題的假設及符號說明

1.假設各所學校的人數(shù)是穩(wěn)定不變的，且沒有教師兼職；

2.假設在教師指標的分配過程中，分配是穩(wěn)定的，且不受任何其他因素影響；

3.假設每個學校至少分到一個教師指標，如若分配不到，則將其剔除在分配之外；

4.M表示教育局擁有的教師指標數(shù)；

5.假設某市共有r所學校；

三、建立模型

模型Ⅰ

⒈按比例分配 對于本次討論的問題，hi(i=1,2,3)出現(xiàn)了小數(shù)(見表一)，但被分配的人員是不可分的物體，所以,必須是整數(shù)。習慣上，我們如果對hi“四舍五入取整數(shù)”或者“去掉尾數(shù)”，結果會導致教師指標多余，或者教師指標不夠分配。例如表一中的數(shù)據(jù)，若采取“四舍五入取整數(shù)”，則有m1=7，m2=4,m3=2，致使教師指標多余；對表一中第六列數(shù)據(jù)，同樣采取“四舍五入取整數(shù)”，則有m1=8，m2=5，m3=3，此時M=16，結果使教師指標不夠分配；而采取“去掉尾數(shù)”，只會導致教師指標數(shù)多余。對此情況我們可以采取下述方法。

⒉ 參照慣例法 具體步驟如下：

⑴先讓各所學校取得教師指標的整數(shù)部分；

⑵再把小數(shù)部分按從大到小的順序排列，將剩余的教師指標中第一個分給小數(shù)部分最大的學校，第二個教師指標分給小數(shù)部分次大的學校，依次類推，直至教師指標分配完畢。

按上述兩種方法分配的教師指標情況見表一：

表一：按照比例并參照慣例的指標分配

但由上表可以發(fā)現(xiàn)，當教師指標增加一個時，反而使第三中學的教師指標數(shù)減少一個，顯然不符合常理；所以，要解決此問題必須舍棄所謂的慣例，找到衡量公平分配的標準。故上面模型不成立，必須重新建立模型。

模型Ⅱ

為了討論方便起見，不妨先討論第一中學與第二中學兩所學校公平分得教師指標的情況。如下從不公平度方面入手：

1.絕對不公平度

表二：單位份額的指標絕對不公平度情況

從上表可以看出，A與B之間的絕對不公平度與C與D之間的絕對不公平度是一樣的。從常識，我們知道，A與B之間顯然比C與D之間更不公平。為了說明A與B之間比C與D之間更不公平，我們引入一個新概念：相對不公平度。

⒉相對不公平度

由上述定義可知：A與B之間對A的相對不公平度是(12-10)/10=0.2；C與D之間對C的相對不公平度是:(102-100)/100=0.02,即A與B之間對A的相對不公平度是C與D之間對C的相對不公平度的10倍。下面便從相對不公平度上進行討論。

建立了衡量不公平的相對不公平度rA,rB之后,判定教師指標分配的原則是盡可能地使相對不公平度減到最小。

⒊ 利用相對不公平度rA,rB來討論當增加一個教師指標的時候,該名指標應分配給A與B中哪所學校。

綜合上述⑴⑵兩種情況可知,Xi可用來衡量A與B之間誰將得到增加的一個教師指標。

⒋ 現(xiàn)用上面3中所述方法,解決本文開始所提出的問題：教育局如何將有限的教師指標進行合理分配？

⑴ 對14個教師指標的合理分配

先按照比例法計算結果(參照表一中第4列)將整數(shù)部分的13個指標分配完畢,有m1=7,m2=4,m3=2,再應用X值法分配剩下的1個教師指標。下面分別計算X1，X2，X3。

所以增加的一個教師指標應分給第二中學,即m2=4+1=5。即14個教師指標分配的結果是:m1=7,m2=5,m3=2。

⑵對于15個教師指標的分配

同⑴中,先按照比例法計算結果(參照表一中第6列)將整數(shù)部分的13個指標分配完畢,有m1=7,m2=4,m3=2再應用X值法分配剩下的2個教師指標。下面分別計算X1，X2，X3。由⑴中計算可知,第14個教師指標應分給第二中學, 即分配的結果是:m1=7,m2=5,m3=2。對于第15個教師指標,同樣用X值法。

四、結果分析

在上述方法推導過程中,我們可以發(fā)現(xiàn),按照比例法以及參照慣例法都有其不足,而比值法不僅有推導過程,最后又應用實際例子驗證,結果是符合實際的。

五、推廣應用

指標分配問題,不僅僅應用在教師指標的分配上,實際上,從1788年美國憲法生效以來,關于美國各洲代表名額的分配就屬此類問題。說得更近一些,我們在日常生活中就能遇到,如各學院為了協(xié)調學校學生會的工作,從各個系選取學生代表;又如為了加強宿舍管理,從各個宿舍中選出學生代表參與到宿管委員會中等等。

參考文獻：

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