楊靜宇，金美蘭

（1.赤峰學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，內(nèi)蒙古 赤峰 024000；2.養(yǎng)正高級中學(xué)，吉林 長春 130052）

泛函分析起源于變分法、偏微分方程邊值問題等，概況了經(jīng)典的數(shù)學(xué)分析等函數(shù)論課程中的重要概念、問題與成果，綜合了分析、代數(shù)和幾何等學(xué)科而形成，因此它與拓?fù)鋵W(xué)及抽象代數(shù)共同構(gòu)成現(xiàn)代數(shù)學(xué)的“三基”.基于泛函分析在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的重要性，它已經(jīng)成為高等院校數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的一門重要專業(yè)基礎(chǔ)課，這門課程主要講述無限維抽象空間和這類空間上的映射的性質(zhì).泛函分析這門課程內(nèi)容抽象、理論深刻、論述精密，所涉及的內(nèi)容、技巧和方法對數(shù)學(xué)專業(yè)與非數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生來說都很重要，應(yīng)用十分廣泛.因此這門課程已成為數(shù)學(xué)工作者從事教學(xué)與科研必不可少的知識基礎(chǔ).然而，一方面由于泛函分析本身難度較大，另一方面隨著就業(yè)形勢的變化多數(shù)高校轉(zhuǎn)變辦學(xué)理念以適應(yīng)社會需求，使得這門專業(yè)課程在諸多數(shù)學(xué)專業(yè)課程中被邊緣化，成為數(shù)學(xué)專業(yè)高年級的專業(yè)限選課，課時也隨之壓縮至54.在嚴(yán)峻的就業(yè)新形勢下，如何改革泛函分析的教學(xué)，使之在專業(yè)教學(xué)及就業(yè)中發(fā)揮其積極重要作用，是一個重要課題[1-4].下面結(jié)合本院數(shù)學(xué)專業(yè)教學(xué)實際，提出泛函分析教學(xué)改革的幾點建議.

1 明確專業(yè)培養(yǎng)目標(biāo)，優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容

在招生與就業(yè)以及學(xué)校由師范院校轉(zhuǎn)型到綜合型大學(xué)的新形勢下，我院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)、概率與統(tǒng)計兩個專業(yè)的學(xué)生培養(yǎng)目標(biāo)大體分位三類：教育類，培養(yǎng)能夠勝任中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的教學(xué)人員及其他教育工作者；應(yīng)用類，培養(yǎng)勝任統(tǒng)計、精算工作的應(yīng)用型人才；考研類，培養(yǎng)繼續(xù)攻讀更高層次的學(xué)位，從是科研工作的科研型人才.學(xué)生是教學(xué)的主體，我們應(yīng)該根據(jù)不同類型學(xué)生的需要對教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行優(yōu)化.為此，在實際教學(xué)過程中將泛函分析分為三個模塊：基礎(chǔ)模塊；應(yīng)用模塊；提高模塊.

基礎(chǔ)模塊，泛函分析中最基本的內(nèi)容，主要講述三個空間（度量空間、賦范線性空間、內(nèi)積空間），四個定理（泛函延拓定理、開映射定理、閉圖像定理、逆算子定理）及賦范線性空間上有界線性算子（泛函）的相關(guān)性質(zhì).這部分內(nèi)容對數(shù)學(xué)專業(yè)的所有學(xué)生來說都是必需的.通過這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)使學(xué)生掌握泛函分析的重要思想，進(jìn)而滿足后續(xù)課程對泛函分析知識的需求.

應(yīng)用模塊，由于這部分與實際問題聯(lián)系密切，其內(nèi)容可由任課教師與相關(guān)專業(yè)教師咨詢而定.這部分適合應(yīng)用類及考研類.通過這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)使學(xué)生具有初步應(yīng)用泛函分析知識分析問題解決問題的能力.

提高模塊，針對考研類同學(xué)設(shè)定.該部分內(nèi)容應(yīng)該更深入，可以適當(dāng)?shù)倪x取經(jīng)典外文書籍中的內(nèi)容進(jìn)行講解，甚至可以考慮雙語教學(xué)，以此為學(xué)生進(jìn)一步深造打下堅實基礎(chǔ).

2 改革教學(xué)方法

泛函分析這門課程內(nèi)容抽象，理論性強(qiáng)，欲達(dá)到良好的教學(xué)效果必須采取恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法，照本宣科只會影響泛函分析的教學(xué)效果和質(zhì)量.結(jié)合自身實際，我認(rèn)為應(yīng)做的一下幾方面.

2.1 注重整體的把握

在講授泛函分析課程時，應(yīng)該指導(dǎo)學(xué)生把握泛函分析的全局，對泛函分析課程有整體的把握，讓學(xué)生知道泛函分析這門課程主要要干什么.有如大海里航行，要了解基本航行.

2.2 注重與熟悉知識的聯(lián)系與區(qū)別

泛函分析雖然主要介紹抽象的無窮維空間及其上的映射性質(zhì)，但它與古典分析有著極為深刻的聯(lián)系，所以在講授泛函分析時可以嘗試著與有限維空間的數(shù)學(xué)理論對照著講，正所謂“無窮來自有窮”.很多泛函分析中的定義、理論都是有窮維空間中的定義、理論在無窮維的推廣.例如泛函分析中的抽象向量的范數(shù)就是我們說的平面（空間）中向量長度概念的推廣.眾所周知向量長度滿足下面三個基本性質(zhì)：（1）對每一個向量x，都有一個實數(shù)||x||與之對應(yīng)，||x||≥0并且||x||=0當(dāng)且僅當(dāng)x=0,||x||成為向量x的長度.（2）對任意實數(shù)α及任意的向量x都有||αx||=|α|||x||.（3）對任意的向量x,y都有||x+y||≤||x||+||y||.我們把這三條基本性質(zhì)抽出來，把定義在無窮維抽象空間上滿足上述三個條件的實值函數(shù)||||成為是范數(shù)函數(shù)，而||x||成為x的范數(shù).這樣定義的范數(shù)擴(kuò)展了向量長度的定義，普通向量的長度只是它的一種特殊形式，有很多表面看起來不是長度的東西可以理解為長度，比如一定情況下，勢能可以理解為位移函數(shù)的長度.類似的有限維空間上的函數(shù)推廣到無限維空間就是泛函分析中的泛函與算子，平面幾何中的平行四邊形公式||x+y||2+||x-y||2=2(||x||2+||y||2)是泛函分析中判別賦范線性空間成為內(nèi)積空間的充要條件.但這里要注意不是所有有限維空間的結(jié)果都可以如上的平行推到泛函分析中.例如在數(shù)學(xué)分析中有“有界無窮序列一定有收斂的子列”，但在無窮維空間有界集不具有這樣的性質(zhì)，這時在無窮維空間引入了“列緊集：集合中的任何點列都有收斂的子列”且有“賦范線性空間X中的有界集是列緊集的充要條件是是有限維空間”.通過這樣的講解方式，不但可以消除學(xué)生對抽象的泛函分析的畏懼感，同時可以加深學(xué)生對泛函分析中的概念、結(jié)論的理解與掌握.

2.3 實時的引入反例

2.4 精選作業(yè)題

要結(jié)合課堂教學(xué)的內(nèi)容，挑選合適的作業(yè)題，讓不同類型的學(xué)生完成，旨在鞏固所學(xué)的知識.

3 改進(jìn)教學(xué)方式及教學(xué)手段

傳統(tǒng)的教學(xué)方式都是老師講，學(xué)生記.這種傳統(tǒng)的教學(xué)方式完全忽視了學(xué)生的學(xué)習(xí)主動性，不利于學(xué)生自學(xué)能力的培養(yǎng)，同時也不利于學(xué)生發(fā)展的需要.我們在教學(xué)的過程中應(yīng)該讓學(xué)生積極地參與其中，而不僅僅是被動的接受.因此我們可以結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，設(shè)定一些恰當(dāng)?shù)膯栴}，引導(dǎo)學(xué)生對將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容進(jìn)行預(yù)習(xí)，也可以考慮將一些簡單的內(nèi)容布置給學(xué)生，讓其準(zhǔn)備在下次課給同學(xué)講解.通過這些教學(xué)方式，一方面可以培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力，在預(yù)習(xí)或備課的過程中發(fā)現(xiàn)不懂得問題，帶進(jìn)課堂及時解決，提高學(xué)習(xí)效率.另一方面可以使學(xué)生參與到教學(xué)中來，成為積極地參與者，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性.

泛函分析這門課程我們通常采取板書這樣的教學(xué)手段.通過老師書寫板書與講解可以集中學(xué)生的注意力，帶動學(xué)生思考，加深學(xué)生對知識的理解與掌握，同時可以培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度.這種教學(xué)手段是講授數(shù)學(xué)專業(yè)基礎(chǔ)理論課不可替代的.但目前一方面學(xué)時壓縮，另一方面考慮到對抽象的概念、理論直觀形象化，完全的板書授課可能不能很好的達(dá)到預(yù)期教學(xué)效果，這時我們要借助多媒體這種新興的教學(xué)手段.一些定義、定理的內(nèi)容以及一些直觀的模型我們可以制作成課件在課堂上演示，這樣省去了書寫的時間，但定理的證明過程還是要采取板書的形式帶領(lǐng)學(xué)生逐步推導(dǎo).完全的多媒體教學(xué)在數(shù)學(xué)理論課的教學(xué)中是行不通的.板書與多媒體這對傳統(tǒng)與現(xiàn)代教學(xué)手段的恰當(dāng)結(jié)合，有利于達(dá)到良好的教學(xué)效果.

總之在招生就業(yè)的新形勢下，《泛函分析》這門課程的教學(xué)要順應(yīng)形勢，不斷地優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容，改革教學(xué)方法，提高教學(xué)質(zhì)量，為培養(yǎng)“應(yīng)用型、創(chuàng)新型、復(fù)合型”人才打下堅實的理論基礎(chǔ).

〔1〕榮嶸.《實變函數(shù)與泛函分析》課程改革初探[J].科技風(fēng).

〔2〕藍(lán)師義.對泛函分析教學(xué)改革的思考與建議[J].廣西民族大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2009（1）：94-96.

〔3〕陳白隸，溫淑萍，向雪萍.泛函分析教學(xué)的幾點建議[J].新疆師范大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2006（4）：92-98.

〔4〕程其襄，等.實變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ)[M].北京：高等教育出版社，2003.

〔5〕胡適耕，等.泛函分析[M].北京：高等教育出版社—施普林格出版社，2001.

〔6〕J.B.Conway,A Course in Functional Analysis(Second Edition),Springer-Verlag,2003.