張建軍

（石河子大學(xué)物理系，新疆 石河子 832000）

電磁場(chǎng)中高斯定理的證明方法已經(jīng)有不少文章作過(guò)討論，這些方法各有優(yōu)缺點(diǎn)，大體上可分為兩種，一是邏輯嚴(yán)密且數(shù)學(xué)應(yīng)用較多，但不夠直觀(guān)，對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不夠的學(xué)生理解起來(lái)比較困難［2，3］，二是有些方法深入淺出，容易被學(xué)生接受但缺乏邏輯的嚴(yán)密性［4，5］.現(xiàn)在通常用的工、農(nóng)、醫(yī)、藥學(xué)類(lèi)專(zhuān)業(yè)的大學(xué)物理教材中對(duì)電場(chǎng)中的高斯定理和磁場(chǎng)中的高斯定理的處理方法一般不相同，對(duì)電場(chǎng)中的高斯定理給出了詳細(xì)的證明方法，而磁場(chǎng)的高斯定理基本上是一句話(huà)帶過(guò)：“對(duì)于高斯曲面每條磁感應(yīng)線(xiàn)穿入一次穿出一次所以總通量的貢獻(xiàn)為零”，實(shí)際上是沒(méi)有證明，只是給出個(gè)結(jié)果，這樣的方法很難使學(xué)生信服.隨著中學(xué)物理和大學(xué)物理教學(xué)改革的深入，很多高校的大學(xué)物理教學(xué)學(xué)時(shí)不斷被壓縮，入校學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)差別也比較大，如何在有限的時(shí)間內(nèi)給出一種簡(jiǎn)單直觀(guān)、容易理解的證明方法就成了工、農(nóng)、醫(yī)、藥學(xué)類(lèi)專(zhuān)業(yè)在電磁學(xué)高斯定理教學(xué)中的一個(gè)問(wèn)題.實(shí)際上，大學(xué)物理課程進(jìn)行到電磁學(xué)部分時(shí)，學(xué)生已經(jīng)學(xué)過(guò)流體力學(xué)部分的內(nèi)容，將流體力學(xué)中的連續(xù)性原理遷移到磁場(chǎng)中來(lái)證明高斯定理在教學(xué)實(shí)踐中具有很好的操作性.具體教學(xué)實(shí)踐中參考以下過(guò)程.

1 流體力學(xué)中的連續(xù)性原理

在同一流管中，對(duì)于定常流動(dòng)：

其中，v為流速，S 為對(duì)應(yīng)的面積，兩邊求導(dǎo)寫(xiě)為微分形式，有

推廣一下，見(jiàn)圖1，當(dāng)速度與面元方向不一致時(shí)可進(jìn)一步寫(xiě)為

接下來(lái)引入矢量管的概念，說(shuō)明定常流動(dòng)（有的教材也稱(chēng)為穩(wěn)定流動(dòng)）的流速場(chǎng)與恒電磁場(chǎng)的共性：

（1）兩者都是矢量場(chǎng)，都可以用場(chǎng)線(xiàn)來(lái)描述其大小和方向.

（2）流速場(chǎng)和靜電場(chǎng)、恒磁場(chǎng)都只是空間的函數(shù)與時(shí)間無(wú)關(guān).因此在磁場(chǎng)中可以引入磁場(chǎng)矢量管，因而也有

（3）引入矢量管的模型：并證明在數(shù)學(xué)意義上流體矢量管和磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量管是完全相同的.

圖1 矢量管模型

2 證明磁場(chǎng)中的高斯定理

如圖2所示，由于磁感應(yīng)線(xiàn)是閉合的，因此磁感應(yīng)管也一定是閉合的，對(duì)于任意一微小磁場(chǎng)管L，在其與高斯面相交時(shí)必然截下兩個(gè)小面元，有：B1·dS1＝B2·dS2，對(duì)于高斯曲面，面元方向約定為指向由內(nèi)向外為正，從圖2上容易看出磁感應(yīng)管穿出為正，穿入為負(fù)，因此整個(gè)磁感應(yīng)管對(duì)高斯曲面的通量貢獻(xiàn)必然為零，有

磁場(chǎng)中的高斯定理得證.

圖2 磁場(chǎng)中的高斯定理證明

3 證明通過(guò)任意曲面的電通量和通過(guò)球面的相等

首先利用常規(guī)方法證明一個(gè)點(diǎn)電荷處在球心上時(shí)對(duì)整個(gè)球面的電通量只與該電荷的電量有關(guān)［1］.如圖3所示，以正電荷q 為頂點(diǎn)向四周發(fā)出電場(chǎng)線(xiàn)形成電場(chǎng)管，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)圖3中的矢量管，在靜電場(chǎng)中，電場(chǎng)強(qiáng)度大小方向只與空間有關(guān)與時(shí)間無(wú)關(guān)的特點(diǎn)與穩(wěn)定流動(dòng)的流速場(chǎng)分布類(lèi)似，由圖3 可知，對(duì)任意一簇電場(chǎng)線(xiàn)構(gòu)成的矢量管，在球面和任意曲面的通量大小總是相同的，當(dāng)面元取遍球面時(shí)，包圍球面的任意曲面也取完，因此通過(guò)球面的電通量與通過(guò)任意面的必然相等.

若電荷處在曲面外，見(jiàn)圖3，通過(guò)面元1與面元2的通量大小相等，但正負(fù)相反，因此正好抵消.

圖3 球面和任意曲面

對(duì)于高斯曲面有折疊的特殊情況用圖4（a）來(lái)證明.在圖4 中很容易看出，如果高斯曲面有折疊，場(chǎng)矢量管穿入和穿出的次數(shù)是成對(duì)出現(xiàn)的，穿出為正，穿入為負(fù)，大小相等，相互抵消，并不影響上述3節(jié)中的結(jié)論.用圖4（b）證明當(dāng)電荷處在高斯曲面外時(shí)，對(duì)高斯曲面的通量也是成對(duì)出現(xiàn)，一正一負(fù)相互抵消.

圖4 閉合曲面有折疊情況

至此，電場(chǎng)的高斯定理的內(nèi)容已經(jīng)完全得到證明.

4 結(jié)語(yǔ)

電場(chǎng)線(xiàn)和磁場(chǎng)線(xiàn)本來(lái)就是法拉第受到流體力學(xué)中流線(xiàn)的啟發(fā)而引入的，本文將流量矢量管和連續(xù)性原理一并“遷移”過(guò)來(lái)，應(yīng)用于教學(xué)實(shí)踐，使證明本身直觀(guān)而易于理解，又不失嚴(yán)密性，對(duì)于大學(xué)一年級(jí)學(xué)生來(lái)說(shuō)，特別是數(shù)學(xué)準(zhǔn)備知識(shí)不夠的部分專(zhuān)業(yè)，避免了介紹立體角的概念.本文提供的思路特別在證明磁場(chǎng)的高斯定理時(shí)說(shuō)服力明顯增強(qiáng)，并且使電場(chǎng)和磁場(chǎng)中的高斯定理從證明方法上統(tǒng)一起來(lái)，適合于大學(xué)非物理專(zhuān)業(yè)普通物理課程的教學(xué).有利于引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)的學(xué)習(xí)方法，并啟發(fā)學(xué)生對(duì)所學(xué)的其他知識(shí)點(diǎn)也進(jìn)行類(lèi)似的思考，更重要的是這種知識(shí)遷移的思想，能夠啟發(fā)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)不同知識(shí)體系之間相互關(guān)系.這一點(diǎn)比知識(shí)本身更有意義.

［1］舒辰慧.物理學(xué)［M］.北京：人民衛(wèi)生出版社，2005.1（4），121－123.

［2］雷桂林，鄭偉強(qiáng).再談穩(wěn)恒磁場(chǎng)的高斯定理的證明［J］.甘肅教育學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，1999，13（4），77－78.

［3］陳鉞鋮.關(guān)于高斯定理證明的教學(xué)探討［J］.湖南理工學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2004，17（1），29－31.

［4］郭慧城.高斯定理的另一種證明［J］.吉林師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2006，02，103.

［5］郭文立.靜電場(chǎng)高斯定理的證明與證明中存在的一個(gè)問(wèn)題［J］.濮陽(yáng)教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2001，14（4），43.

［6］王旭.穩(wěn)恒磁場(chǎng)高斯定理的一個(gè)證明［J］.大學(xué)物理，1982，（01）：16－17.