何姍姍 劉 浩 唐月紅(南京航空航天大學理學院，南京 106)

2(南京航空航天大學機電學院，南京 211106)

引言

近年來，隨著我國人口老齡化逐漸達到高峰，股骨頸骨折成為一種常見的骨科疾病，而股骨特征提取則成為當今醫(yī)學研究的主題之一。由于股骨外形結(jié)構(gòu)復雜多樣，所以幾何建模成為面向醫(yī)療應用的CAD/CAE/CAM 技術(shù)的關(guān)鍵。三維幾何模型可用于臨床應用和病理研究，不僅在三維觀察和三維測量中起到重要作用，而且也用于人工假體的數(shù)字化設(shè)計、智能化虛擬手術(shù)、計算機輔助手術(shù)導航和三維有限元分析［1］。

股骨近端形態(tài)和大小在不同個體間存在明顯差異，不同年齡、性別、種族的形態(tài)有所不同。前些年，我國股骨假體大多從外國進口，但由于差異性的存在，在外形匹配上存在缺陷。近年來，人工假體設(shè)計成為我國醫(yī)學研究的熱點，其中不同個體設(shè)計符合個體的假體成為研究的重點，而如何描述個體的股骨近端形態(tài)是假體設(shè)計的必要條件。

股骨頭中心、股骨頭直徑、頸干角是股骨近端的主要特征，它們?yōu)槎ㄖ坪侠淼墓晒羌袤w及醫(yī)學手術(shù)提供條件［2-3］。在醫(yī)學和形態(tài)學上，關(guān)于股骨特征的提取都有研究。目前，關(guān)于股骨近端特征的提取大多是通過基于X 射線投影的人工測量方法［4-6］，進而獲得股骨頭中心、頸軸線、干軸線和頸干角等特征數(shù)據(jù)。但是，對于股骨復雜的三維結(jié)構(gòu)，二維測量具有較大的誤差性。文獻［7 -8］利用CT 影像和逆向工程，分析股骨近端的三維幾何特征，具有很強的突破性和精確性。醫(yī)學研究表明，股骨頸干角的大小與股骨骨折亦有關(guān)聯(lián)［9］。筆者試圖利用數(shù)學方法，從股骨幾何形態(tài)學的角度分析股骨形態(tài)，根據(jù)不同位置的幾何特征來描述股骨，從而尋找計算股骨頸干角的方法。

本研究基于CT 獲得髖關(guān)節(jié)的斷層數(shù)據(jù)，導入醫(yī)學處理軟件進行圖像處理和三維建模，獲得了股骨的輪廓線并存成IGES 格式，通過Matlab 讀入IGES 生成點云數(shù)據(jù)，然后通過三維最小二乘球擬合來得到股骨頭中心和股骨頭直徑，同時通過二維圓擬合和空間直線擬合來得到干軸線，最后根據(jù)已知頸干角的測量數(shù)據(jù)，通過優(yōu)化迭代來擬合最佳頸干角，找到頸軸線的位置。

1 股骨外形分析

股骨是人體中最大的長管狀骨，可分為一體兩端(見圖1)。上端朝向內(nèi)上方，其末端膨大呈球形，叫“股骨頭”，股骨頭的外下方較細的部分稱“股骨頸”。頸與體的夾角稱“頸干角”，男性平均132°，女性平均127°。頸體交界處的外側(cè)有一向上的隆起，叫做大轉(zhuǎn)子，其內(nèi)下方較小的隆起叫做小轉(zhuǎn)子。股骨頸的下方稱為股骨體。

圖1 股骨上端特征(1—股骨頭;2—股骨頸;3—大轉(zhuǎn)子;4—小轉(zhuǎn)子;5—股骨體)Fig． 1 The upper characteristics of femur (1 －femoral head; 2 － femoral neck; 3 － greater trochanter;4 －lesser trochanter;5 － femoral shaft)

髖關(guān)節(jié)由股骨和髖骨構(gòu)成，而股骨頭正是連接兩處2/3 的近似球體，其中最主要的參數(shù)是球心坐標和球體半徑。在假體設(shè)計中，可以利用球擬合來擬合股骨頭，補充股骨頭的損壞缺陷，從而實現(xiàn)假體與髖臼的良好匹配。

股骨體小轉(zhuǎn)子下端可以近似地看做一個圓柱，其主要參數(shù)是中心軸，即為股骨的干軸線。把干軸逐層圓面擬合，再把得到的圓心直線擬合，從而得到干軸線。

對于股骨頸，其主要參數(shù)是股骨的頸軸線。根據(jù)已得到的股骨干軸和股骨頭中心坐標設(shè)計算法，推導出頸軸線方程。

2 股骨頸干角計算方法

2.1 股骨的多線外形提取

本研究利用CT 原始的DICOM 文件，導入醫(yī)學處理軟件DataSet 進行基于灰度的圖形圖像處理，利用閾值分割和區(qū)域增長來逐層提取股骨邊界輪廓，這個過程如圖2 所示。

圖2 提取股骨切片邊界輪廓Fig．2 Femoral section boundary contour extraction

將逐層提取出的股骨輪廓的多線外形存成IGES 數(shù)據(jù)，通過Matlab 讀入IGES 數(shù)據(jù)，這些數(shù)據(jù)由每層 z 坐標相同的若干數(shù)據(jù)點組成。通過Matlab，可實現(xiàn)對股骨多線外形的光順、平移、旋轉(zhuǎn)、擬合等分析處理，其中股骨的多線外形數(shù)據(jù)如圖3所示。

圖3 股骨多線外形Fig．3 The multiline shape of femur

2.2 股骨頸干軸擬合

2.2.1 股骨頭中心和直徑的確定文獻［8，10 -12］都把股骨頭看成一個球體來擬合，筆者也采用該方法。不同的是，上述文獻數(shù)據(jù)為點云數(shù)據(jù)，在描述股骨外形時數(shù)據(jù)點數(shù)巨大。例如，文獻［10］中股骨點云有559 816 個數(shù)據(jù)點，龐大的數(shù)據(jù)點將不利于外形編輯，因此分別提出了不同的方法來精簡點云數(shù)據(jù)和剔除誤差點［10-11］。而本研究的數(shù)據(jù)是多線外形數(shù)據(jù)，是一種特殊的點云，介于有序與無序之間。例如，圖3 中的股骨點云數(shù)據(jù)約有18 684 個數(shù)據(jù)點，借用多線外形這一特性，可以直接來擬合股骨頭。在圖3 所示的股骨截面線數(shù)據(jù)上，觀察從股骨體到股骨頭的狀況，在同一z 坐標截面線從1 條變?yōu)? 條再變?yōu)? 條。由于原始數(shù)據(jù)僅由分別位于同一z 坐標的點集組成，找出全部位于股骨頭上的數(shù)據(jù)尚有難度。為了篩選出擬合股骨頭的有效數(shù)據(jù)，選截面線從2 條變?yōu)?條開始以上部分的股骨頭數(shù)據(jù)。擬合股骨頭的具體方法如下:

設(shè)球心坐標為(Ox，Oy，Oz)，半徑為R，則球面方程為

令a = - 2Ox，b = - 2Oy，c = - 2Oz，d = Ox2 +Oy2 + Oz2 - R2，則對于數(shù)據(jù)集(xi，yi，zi)(i = 1，2，…，n)，任一點(xi，yi，zi)到球心的距離的平方為

δ = xi

2 + yi

2 + zi2 + axi+ byi+ czi+ d + R2

求解式(1)，得出a，b，c，d。經(jīng)過換算，即求出股骨頭中心坐標(Ox，Oy，Oz)和股骨頭半徑R。

同時，對每個采樣點(xi，yi，zi)(i = 1，2，…，n)計算擬合殘差，有進而計算擬合誤差，有

利用式(2)～式(3)計算誤差，通過20 個算例計算股骨頭的數(shù)據(jù)點數(shù)平均為2 209個，且擬合平均誤差為0.434 0 mm，如表1 所示。

可以看出，這種數(shù)據(jù)的采用方法和擬合方法對整個球體擬合造成的誤差相對較少，且具有一定的穩(wěn)定性，同時在性能上可以通過股骨頭直徑與正常值的對比來評價，將在文中第3 節(jié)具體分析。因此這種方法可以有效地的擬合股骨頭。

表1 股骨頭擬合實驗結(jié)果Tab．1 Experimental results of fit femoral head

2.2.2 股骨干軸線的確定

如圖1 所示，股骨體小轉(zhuǎn)子下端形似一個圓柱，因此對于股骨干軸的擬合，可把截面線的每一層看做二維圓擬合，求出一組圓心坐標。由于這些圓心不在一條直線上，所以再通過空間直線擬合［13］的方法進行擬合，得到直線方程(即為干軸方程)L:x =az +b，y =cz +d(其中z 為變量)。同時，利用2.2.1中類似的方法，可以計算出干軸直線擬合時的平均誤差。

2.2.3 優(yōu)化求解最佳頸干角

根據(jù)現(xiàn)有的關(guān)于頸干角測量的研究數(shù)據(jù)［2，5-6］，頸干角正常值在110° ～140°之間，男性平均為132°，女性平均為127°。頸干角隨年齡的增大而減小，兒童的頸干角大于成年人的頸干角。

從股骨形態(tài)學上分析，股骨頸類圓柱狀，中間細兩頭粗，因此與頸軸線垂直的平面截頸軸得到類圓形的截面，且截面積最小，而在同處垂直于不精確頸軸的平面截得的橫截面面積必定大于真實頸軸截得的面積。從這個理論分析出發(fā)，尋找精確頸軸。把頸干角α 在110° ～140°之間迭代搜索最佳頸干角來找尋精確頸軸。由2.2.1 和2.2.2 求出的球心坐標和干軸線確定一平面，在該平面上過股骨頭中心O 點做與干軸L 成α 夾角的直線與L 交于B點，如圖4 所示。

設(shè)B 點坐標為(at +b，ct +d，t)，可知

當α = 110°時，頸干軸交點為B1，其坐標為(at1+ b，ct1+ d，t1);當α =140°時，頸干軸交點為B2，其點坐標為(at2+ b，ct2+ d，t2)。

當α ∈(110°，140°)時，頸干軸交點B 的z 坐標t∈(t1，t2)。OB 為假定頸軸。過線段OB 中點C 做垂直于OB 的平面，截面線數(shù)據(jù)上分別在每層逐點連線，與平面相交點集D，如圖5 所示。

由圖5 看出，截面點位于空間的一個平面中，既可以采用空間曲線擬合截面點來計算截面面積，亦可以通過旋轉(zhuǎn)空間平面到與坐標平面平行來計算截面面積。由于曲線擬合和旋轉(zhuǎn)的復雜性以及可能帶來的誤差，所以可以采用投影的方法來計算截面面積。通過投影面積反求截面面積，使面積的計算變得簡單，從而減少了擬合和旋轉(zhuǎn)的復雜性與誤差性，具體方法如下:

已知截面數(shù)據(jù)點存為點集D，原則上D 為橢圓形狀，為了求D 所圍成圖形面積，把D 投影到xoy平面上，得到數(shù)據(jù)點D1，再利用定積分求解平面點集D1的面積S1，從而反求點集D 所圍成的面積S。這樣，就能夠避免直接擬合橢圓求面積而造成的誤差。

圖4 頸軸線擬合Fig．4 The fitting of neck axis

圖5 截面點數(shù)據(jù)Fig．5 Data of the cross-section

已知數(shù)據(jù)點D 所在平面為:

設(shè)a = Ox- Bx，b = Oy- By，c = Oz- Bz，則式(4)表示的平面法向量為(a，b，c)。該法向量與z軸夾角的余弦為cosθ，則原數(shù)據(jù)集D 點集所表示圖形的面積為S = S1/cosθ。

這樣，就得到截面面積S 是變量t 的函數(shù)。當t∈(t1，t2)時，根據(jù)橫截面面積最小來建立優(yōu)化模型，即

求解單變量約束最優(yōu)化式(5)，得到最優(yōu)解t 。

2.2.4 頸軸線和頸干角的確定:

根據(jù)上節(jié)求得的最優(yōu)解，即找到最佳頸干軸交點B 的坐標，這時OB 所在直線就是所求的頸軸線。同時，OB 與干軸線L 的夾角即為該股骨的頸干角。擬合出頸干軸直線，如圖6 所示。

圖6 擬合出的頸干軸。(a)例1;(b)例2Fig．6 The fitting of neck axis and shaft axis． (a)Example 1;(b)Example 2

3 結(jié)果

基于CT 獲得髖關(guān)節(jié)的斷層數(shù)據(jù)，通過導入醫(yī)學處理軟件來進行圖像處理和三維建模，獲得了股骨的輪廓線并存成IGES 格式，通過Matlab 讀入IGES 生成點云數(shù)據(jù)，再通過優(yōu)化步驟來得到頸干軸線的位置，同時確定股骨頸干角的大小。該研究主要基于數(shù)學方法，通過分析股骨外形結(jié)構(gòu)的角度來計算股骨頸干角。用20 例CT 數(shù)據(jù)來驗證該算法，得到的主要股骨特征數(shù)據(jù)，如表1 ～表2所示。

表2 頸干角實驗結(jié)果Tab．2 Experimental results of neck-shaft angle

由于采用的軟件在前期截面線的提取尚未完成自動化，所以仍需交互式提取。因提取的復雜性，筆者僅通過20 例CT 數(shù)據(jù)來進行測量。表1 的數(shù)據(jù)表明，該方法在擬合股骨頭時的平均誤差為0.434 0 mm，誤差較小，具有很好的擬合效果。在通過圓擬合和直線擬合干軸線時，擬合的平均誤差為0.384 1 mm。通過表2 的方差分析可以看出，股骨直徑的測量值穩(wěn)定性較強，同時股骨頸干角測量的平均值是126.325 9°。方差分析表明，本算法具有一定的穩(wěn)定性，但仍有待減小方差值，進一步的驗證工作將在截面線自動提取實現(xiàn)后進行。

4 討論和結(jié)論

利用數(shù)學方法，根據(jù)股骨外形的幾何特征來求解頸干角。具體實驗表明，這種方法能快速有效地計算出股骨頸干角，同時可以表示出頸干軸方程。與現(xiàn)有方法相比，有以下優(yōu)點:第一，為求解頸干角提供了一個新的思路;第二，與二維測量相比，三維測量具有明顯的優(yōu)點;第三，與現(xiàn)有的三維測量方法相比，本方法比文獻［8］中的方法更具簡便性。文獻［8］在求解最小截面時，通過確定一條假定頸軸做一系列截面來確定最小截面，其中并沒有說明假定頸軸的具體取法，并且直接對截面進行橢圓擬合會有一定的誤差;本研究通過干軸方程和夾角范圍確定假定頸軸，從而確定最小截面，相對簡單，并且在對截面積的計算時采用投影及定積分求解，具有更多的簡便性，可避免不必要的誤差性。但是，本方法還存在一定的缺陷，例如，在注重數(shù)學方法探討的同時，需加強實例驗證。同時，對誤差精度的估計也需進一步探討。

總之，本研究提出的求解頸干角的方法對于人體假肢的定制提供了一定的參考，并對股骨的變形研究工作提供了前提條件。

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