馬祥

(蕪湖市勘察測繪設(shè)計研究院有限責任公司,安徽蕪湖 241000)

多種擬合方法在區(qū)域似大地水準面精化中的運用

馬祥?

(蕪湖市勘察測繪設(shè)計研究院有限責任公司,安徽蕪湖 241000)

主要介紹了自適應(yīng)最小二乘配置、薄板樣條、BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、多面函數(shù)、移動曲面等重力似大地水準面擬合計算的原理，同時以蕪湖市似大地水準面精化為例，重點探討了利用上述擬合方法所體現(xiàn)的精度和適用條件，并逐一對各種擬合方法計算結(jié)果做出比較，最后對如何確定合適的擬合方法做出闡述，并給出有益結(jié)論。

似大地水準面精化；擬合；自適應(yīng)最小二乘配置；薄板樣條；BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)；多面函數(shù)；移動曲面

1 引 言

為了得到更可靠的區(qū)域似大地水準面模型,需要利用GPS水準點進行重力似大地水準面擬合糾正。首先經(jīng)過格網(wǎng)平均重力異常、模型重力異常、模型似大地水準面、剩余法耶異常、重力似大地水準面等計算步驟,完成區(qū)域重力似大地水準面計算,根據(jù)殘差進行粗差探測與剔除；然后利用測區(qū)的GPS水準點成果將區(qū)域重力似大地水準面擬合適配于該區(qū)域的實測似大地水準面。在移去重力似大地水準面后,選取合理有效的擬合方法成為提高似大地水準面精化精度的關(guān)鍵因素。擬合糾正時,利用GPS水準點上的實測似大地水準面ζGPS與由規(guī)則格網(wǎng)內(nèi)插的重力似大地水準面ζgra的差值△ζ,采用多種擬合方法對區(qū)域重力似大地水準進行擬合糾正。常用的擬合方法有自適應(yīng)最小二乘配置、薄板樣條、BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、多面函數(shù)、移動曲面擬合。本文擬從如何選擇合適的擬合方法以及適用條件試圖做出一些有益探討。

2 常用的擬合方法

2.1 自適應(yīng)最小二乘配置法

該方法中觀測噪聲與信號的方差協(xié)方差一般靠經(jīng)驗或函數(shù)模型得到,這可能造成二者之間不合理的關(guān)系,這些不合理可以部分歸結(jié)于方差因子的不一致。因此,采用Helmert方差分量估計自適應(yīng)地調(diào)整觀測噪聲與信號的方差協(xié)方差的比例關(guān)系,可以提高區(qū)域似大地水準面擬合精度。

Helmert方差分量估計的基本思想是通過利用平差計算得到第i個去估計驗后單位權(quán)中誤差,進行迭代計算,合理地調(diào)整觀測噪聲與信號權(quán)矩陣的比例,直至二者的比例協(xié)調(diào)為止。主要步驟:假設(shè)信號的協(xié)方差函數(shù)已擬合,可得到信號、觀測噪聲的方差-協(xié)方差陣、。依文獻[7],設(shè)自適應(yīng)最小二乘配置的目標函數(shù)為:

假設(shè)等精度獨立觀測,初始單位權(quán)方差為1.0,則初次平差的先驗權(quán)陣分別為:

計算第i次平差得到的改正數(shù),則信號、觀測噪聲的驗后單位權(quán)方差為、。

其中:

依據(jù)方差分量估計計算信號、觀測噪聲的驗后單位權(quán)方差,依此重新定權(quán),求解傾向參數(shù)和隨機信號向量。

2.2 薄板樣條函數(shù)

薄板樣條是一種二維曲面,它是由一維三次樣條到二維的擴展。該曲面通過所有控制點且不要求擬合點呈規(guī)則格網(wǎng)排列,在認為實際高程異常是連續(xù)漸變時,由于樣條函數(shù)是曲率最小光滑的曲面,每個擬合點(控制點)可控制局部范圍,該方法具有離擬合點越遠相關(guān)性越小的特點。

薄板樣條擬合法是基于無限大平板小撓度方程的數(shù)學(xué)模型,其函數(shù)模型如下:

2.3 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種多層前向神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),由于學(xué)習算法采用BP算法而稱之為BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)通過大量學(xué)習樣本訓(xùn)練網(wǎng)絡(luò),能以任意精度逼近連續(xù)函數(shù)；神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以處理含有不確定因素影響的問題,該方法不需要知道變量與函數(shù)值之間的具體函數(shù)表達,它是一種復(fù)雜的非線性映射系統(tǒng),可以削弱無法模型化的系統(tǒng)誤差以及剩余誤差等影響,提高神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的計算精度；神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)模型簡單,原理為誤差最小估計準則。

該算法采用數(shù)據(jù)正向傳播、誤差反向調(diào)節(jié)的方法,提高樣本訓(xùn)練精度和泛化能力。其計算過程如下:

設(shè)選取擬合點與檢核點的緯度與經(jīng)度作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸入向量,則第i個樣本的輸入向量為Xi=[φi, λi]；第i個樣本的期望輸出為該點的GPS水準似大地水準面與重力似大地水準面之差,即di=△ζi；輸入層與隱含層的權(quán)為w,維數(shù)為n×s；閾值為θ1,維數(shù)為s× 1；隱含層與輸出層的權(quán)為w′,維數(shù)為s×m；閾值為θ2,維數(shù)為m×1；n、s和m分別為輸入層、隱含層和輸出層

式中,的神經(jīng)元節(jié)點數(shù)。在擬合計算中,n和m分別取2、1；隱含層s一般依靠經(jīng)驗取值,此處s的數(shù)值為25。

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的正向傳輸?shù)挠嬎氵^程為:

隱含層的輸出:

其中,(I′l)p=∑sj=1w′j(z)p

j-(θ2)l。

所有訓(xùn)練樣本的誤差平方和E為:

其中,dpl為期望輸出d的第p個樣本的第l個元

無論是函數(shù)模型擬合、統(tǒng)計模型擬合還是兩類模型的組合擬合都需要知道明確的模型表達式,這對一些不能模型化因素以及非線性化強度較大問題的計算都存在一定難度。而神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)特別適合處理需要同時考慮許多因素和條件的、不精確的模糊信息,理論證明具有單隱含層的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)能夠以任意精度逼近連續(xù)函數(shù)。

2.4 多面函數(shù)

多面函數(shù)是用一系列有規(guī)則的數(shù)學(xué)表面以任意精度逼近一個光滑的數(shù)學(xué)表面。多面函數(shù)的核心是核函數(shù)的選擇和節(jié)點與平滑因子的確定。實際應(yīng)用中,多面函數(shù)參數(shù)選取與核函數(shù)、數(shù)據(jù)點個數(shù)和分布等因素有關(guān),因此應(yīng)根據(jù)具體情況選取核函數(shù)等參數(shù)。

設(shè)地面上的任一點屬性值可由S個核函數(shù)g(x, y,x0,y0)的總和去逼近,即:素；N為輸入樣本的總數(shù)。

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的誤差反向調(diào)節(jié)過程為:

隱含層與輸出層之間的連接權(quán)調(diào)整公式:

式中,z(x,y)為點(x,y)的地理屬性值,g(x,y,x0, y0)為核函數(shù)。原則上講,核函數(shù)可任意選用,但為了簡單,常假定核函數(shù)是對稱的,可取圓錐面

其中,(x0,y0)為節(jié)點,可直接采用已測數(shù)據(jù)點,或已測數(shù)據(jù)點的統(tǒng)計值,δ為平滑因子,用來調(diào)整核函數(shù)的形狀,β?k(k=1,2,.…s)為待定系數(shù),α為曲面類型常取為0.5或-0.5。

2.5 移動曲面

移動曲面法以每個待估點為中心,選取周圍的數(shù)據(jù)點按其貢獻的大小參與擬合并考慮這些點的分布及地形起伏的影響。因此,在高程異常變化復(fù)雜的區(qū)域,以向徑的某一函數(shù)作為權(quán)函數(shù),采用移動曲面法更好地發(fā)揮擬合點的作用,加強對異常趨勢的擬合,從而擬合曲面更真實反映高程異常的趨勢。

對于曲面的選擇,一般采用二次曲面作為擬合曲面:

其中權(quán)P的確定原則:按照待定點與數(shù)據(jù)點的距離ρ關(guān)系,ρ越大權(quán)越小,ρ越小權(quán)越大。對于不同地形起伏條件,權(quán)函數(shù)的選擇可根據(jù)實際情況采用,建議權(quán)函數(shù)的選擇采用如下兩種權(quán)函數(shù):

其中,ρi為待定點到數(shù)據(jù)點的距離；k是一個常數(shù),一般取平均距離的2倍。

3 實例計算與分析

以蕪湖市似大地水準面精化為例,共布設(shè)了52個GPS水準點(包括15個外部檢核點),搜集周邊地區(qū)18個GPS水準點。首先使用70個GPS水準數(shù)據(jù)作為擬合數(shù)據(jù),并采用最小二乘配置方法進行計算。分析擬合點殘差,未發(fā)現(xiàn)粗差點。并經(jīng)多次計算,發(fā)現(xiàn)糾正積分半徑為35 km的重力似大地水準面的計算效果最好。最終利用蕪湖市均勻布設(shè)的37個GPS水準點,收集周邊地區(qū)的18個GPS水準點,共計55個點,用于蕪湖市似大地水準面的擬合,并且利用蕪湖市均勻布設(shè)的15個外部檢核點作為蕪湖市似大地水準面的檢測。點位分布情況如圖1所示:

圖1 GPS水準點(擬合點、外部檢核點)分布圖

3.1 擬合糾正方法及精度

分別采用自適應(yīng)最小二乘配置、薄板樣條、BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、多面函數(shù)與移動曲面等擬合方法,利用GPS水準點對重力似大地水準面模型進行擬合糾正,利用GPS水準點的似大地水準面ζGPS與由規(guī)則格網(wǎng)內(nèi)插的最終似大地水準面ζgrid的殘差值△ζ來進行似大地水準面精度統(tǒng)計。在最小二乘配置計算時,使用二次多項式逼近數(shù)據(jù)中的趨勢項部分,選取似高斯函數(shù)作為信號的協(xié)方差函數(shù)模型；為了使觀測噪聲與信號的協(xié)方差相一致,利用Helmert方差分量估計調(diào)整二者的比例關(guān)系,進而提高似大地水準面的擬合效果。在薄板樣條函數(shù)擬合曲面時,選取全部已知擬合點為結(jié)點,即方程個數(shù)為n+3個,未知參數(shù)個數(shù)亦為n+3個,因此,各擬合點的改正量為0；平滑因子在0.000 1～0.1之間自動選取。BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合時,輸入向量為某點的緯度與經(jīng)度,期望輸出為對應(yīng)點的△ζ,因此,神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入層節(jié)點與輸出層節(jié)點分別為2、1；選取55個點作為訓(xùn)練樣本,15個點為檢測樣本；學(xué)習效率η為0.1；計算最大次數(shù)為50 000；訓(xùn)練精度為0.001 5；移動曲面權(quán)函數(shù)采用距離的倒數(shù)；多面函數(shù)的核函數(shù)采用圓錐函數(shù)。各種方案誤差統(tǒng)計如表1所示；誤差曲線如圖2～圖6所示。

利用多種方法擬合誤差統(tǒng)計結(jié)果 表1

3.2 結(jié)果分析

(1)采用自適應(yīng)最小二乘配置,是在最小二乘配置擬合的基礎(chǔ)上,利用Helmert方差分量調(diào)整觀測噪聲與信號的協(xié)方差之間的比例,使二者對擬合結(jié)果的貢獻更加符合真實情況,其內(nèi)符合精度都達到±1.1 cm,外部檢核精度達到了±1.3 cm。

(2)采用薄板樣條函數(shù),以全部擬合點為節(jié)點,充分利用各擬合點的已知信息,將擬合點作為無誤差的觀測量,內(nèi)符合殘差為0.0 cm,外部檢核精度達到了±1.3 cm。

圖2 自適應(yīng)最小二乘配置擬合點和檢核點殘差圖(左圖為擬合點殘差圖)

圖3 多面函數(shù)擬合點和檢核點殘差圖(左圖為擬合點殘差圖)

圖4 移動曲面檢核點殘差圖 圖5 薄板樣條函數(shù)檢核點殘差圖

圖6 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合和檢核點點殘差圖(左圖為擬合點殘差圖)

(3)采用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近區(qū)域似大地水準面,削弱數(shù)據(jù)中的系統(tǒng)誤差等因素影響,得到了內(nèi)符合精度±0.9 cm、外部檢核精度達到了±1.1 cm的計算結(jié)果。(4)利用移動曲面擬合區(qū)域似大地水準面,實現(xiàn)了內(nèi)符合殘差為0.0 cm,外部檢核精度達到了±1.2 cm。

(5)多面函數(shù)選取圓錐面逼近區(qū)域似大地水準面,實現(xiàn)了內(nèi)符合精度±1.2 cm,外部檢核精度達到了±1.4 cm。

3.3 選擇合適的擬合方法

同時還采用了多項式、球冠諧函數(shù)、最小二乘配置等擬合方法進行了計算,過程在此略過,計算結(jié)果表明,多項式內(nèi)符合精度±1.3 cm,外部檢核精度±1.3 cm；球冠諧函數(shù)內(nèi)符合精度±1.3 cm,外部檢核精度±1.2 cm；最小二乘配置內(nèi)符合精度±1.1 cm,外部檢核精度±1.3 cm；總體與以上幾種擬合法得出的結(jié)果很接近。

為了比較各種方案符合性,將基于自適應(yīng)最小二乘配置的計算結(jié)果作為參考值,其他方案結(jié)果與參考值比較,差值如圖7所示(CO代表自適應(yīng)最小二乘配置,SP代表薄板樣條,BP代表BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),MS代表移動曲面,HMS表示多面函數(shù))。

圖7 各方案檢核點互差圖

由圖7可知:各種方案的檢核點成果與基于自適應(yīng)最小二乘配置的成果符合性都較好。但是自適應(yīng)最小二乘配置方法利用Helmert方差分量調(diào)整觀測噪聲與信號的協(xié)方差之間的比例,使二者對擬合結(jié)果的貢獻更加符合真實情況,經(jīng)過多次驗算,自適應(yīng)最小二乘配置的成果較為穩(wěn)定,所以最終選擇自適應(yīng)最小二乘配置法作為蕪湖市似大地水準面的擬合方法。

4 結(jié) 論

(1)自適應(yīng)最小二乘配置擬合方法達到的內(nèi)、外部檢核精度不是最好,但是自適應(yīng)最小二乘配置在一定程度上能夠提高擬合效果,使似大地水準面更接近于真實值。

(2)采用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合效果優(yōu)于其他擬合方法,但是該方法的計算結(jié)果隨機性強,網(wǎng)絡(luò)隱含層的層數(shù)及單元數(shù)的選擇具有不確定性,多次計算得出的結(jié)論并不統(tǒng)一,且外推能力不強,因此最終沒有采用。

(3)最小二乘配置、薄板樣條、多面函數(shù)、移動曲面以及多項式、球冠諧函數(shù)等擬合方法可根據(jù)需要和現(xiàn)有適時選擇,在精化要求不是非常高的情況下,均能達到較為理想的精化效果。

[1] 蕪湖市勘測院.蕪湖市似大地水準面精化技術(shù)總結(jié)報告[R].

[2] 郭春喜，伍壽兵，王惠民等.區(qū)域厘米級大地水準面的確定[J].測繪通報，2000，9：3～4.

[3] 楊小青，胡伍生.基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的似大地水準面模型精化方法研究[J].測繪工程，2008，4：8～11.

[4] 郭春喜，聶建亮，王斌等.利用自適應(yīng)最小二乘配置的GPS水準與重力似大地水準面的擬合[J].武漢大學(xué)學(xué)報·信息科學(xué)版，2013，1.

[5] 李慧，王洪峰.秦皇島市似大地水準面精化分析研究[J].城市勘測，2010，6(Z1)：76～78.

[6] 楊慶振，郭春喜.多種擬合方法在似大地水準面精化中的比較[J].測繪標準化，2009，1：30～32.

[7] 楊元喜，曾安敏.顧及幾何觀測信息和地球物理模型的形變參數(shù)自適應(yīng)濾波解[J].中國科學(xué)(D輯)，2009，39 (4)：437～442.

App lication of various Fitting M ethods in Regional Geoid Refinement

Ma Xiang
(Wuhu Geotechnical and Survey Design Institute Co.,Ltd.Wuhu 241000,China)

The papermainly introduces principle ofmobile surface gravity geoid fitting calculation,such as the adaptive least squares collocation,thin plate spline,the BP neural network,polyhedral function,at the same time takingWuhu city geoid refine as an example,discussed precision and applicable condition of the use of the fittingmethod,and one by one compare various fittingmethod calculation results,finally gives a brief description of the fittingmethod of how to determine the appropriate and useful conclusions.

regional geoid refinement；fitting；adaptive least squares collocation；thin plate spline；BP neural network；themultisurface function；moving surface

1672-8262(2013)06-96-05

P228

A

2013—03—22

馬祥(1979—),男,高級工程師,注冊測繪師,注冊監(jiān)理師,主要從事城市測量技術(shù)工作。

住房和城鄉(xiāng)建設(shè)部科學(xué)技術(shù)計劃項目示范工程(2012-KJA-203)