曹榮太

（中國(guó)人民大學(xué)附屬中學(xué)，北京 100080）

在物理教學(xué)過(guò)程中，優(yōu)秀的試題對(duì)物理概念的理解、物理規(guī)律的掌握、教學(xué)成果的檢測(cè)具有不可替代的作用.但是，由于各種原因，在命題過(guò)程中會(huì)經(jīng)常出現(xiàn)各種錯(cuò)誤，這些錯(cuò)誤對(duì)教師的教和學(xué)生的學(xué)會(huì)帶來(lái)不同程度的障礙和疑惑.下面通過(guò)幾個(gè)全國(guó)各地的模擬試題分析在“電磁感應(yīng)”中出現(xiàn)的典型錯(cuò)誤及對(duì)策.

例題1.在質(zhì)量為M＝1.0kg的小車上，豎直固定著一個(gè)質(zhì)量為m＝0.20kg，寬L＝0.050m、總電阻R＝100Ω的100匝矩形線圈.線圈和小車一起靜止在光滑水平面上，如圖1（a）所示.現(xiàn)有一子彈以v0＝110m／s的水平速度射入小車中，并立即與小車（包括線圈）一起運(yùn)動(dòng)，速度為v1＝10m／s.隨后穿過(guò)與線圈平面垂直，磁感應(yīng)強(qiáng)度B＝1.0T的水平有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)，方向垂直紙面向里.已知子彈射入小車后，小車運(yùn)動(dòng)的速度v隨車的位移s變化的圖像如圖1（b）所示.求：（1）子彈的質(zhì)量m0；（2）小車的位移s＝10cm時(shí)線圈中的電流大小I；（3）在線圈進(jìn)入磁場(chǎng)的過(guò)程中，通過(guò)線圈某一截面的電荷量q；（4）線圈和小車通過(guò)磁場(chǎng)的過(guò)程中線圈電阻的發(fā)熱量Q.

圖1

分析：此題的解答過(guò)程在此不再贅述，原解答給出的結(jié)果分別是：（1）m0＝0.12kg；（2）I＝0.4A；（3）q＝0.005C；（4）Q＝63.36J.其中第（3）問(wèn)的解答如下.

由圖像可知，從s＝5cm開(kāi)始，線圈進(jìn)入磁場(chǎng)，線圈中有感應(yīng)電流，受安培力作用，小車做減速運(yùn)動(dòng)，速度v隨位移s減小，當(dāng)s＝15cm時(shí)，線圈完全進(jìn)入磁場(chǎng)，線圈中感應(yīng)電流消失，小車做勻速運(yùn)動(dòng)，因此線圈的長(zhǎng)為Δs＝10cm.在此過(guò)程中通過(guò)線圈某一截面的電荷量

上述兩種方法都是正確的，為什么會(huì)得到不同的結(jié)果？下面用動(dòng)量定理分析小車運(yùn)動(dòng)過(guò)程中速度與位移的關(guān)系（用積分方法也可以得到同樣的結(jié)果）.

把小車進(jìn)入磁場(chǎng)的過(guò)程分割成若干小段，只要分割得足夠細(xì)，就可以把每一段的運(yùn)動(dòng)看成是勻速運(yùn)動(dòng)，因而速度與時(shí)間的乘積就是這一段時(shí)間內(nèi)的位移.以初速度方向?yàn)檎较?，?duì)每一段用動(dòng)量定理得

可見(jiàn)原題中圖像的斜率必須與上式符合才是自洽的，而原題中圖像所給的斜率為k＝－40，所以用上述兩種方法得出表達(dá)式不同.當(dāng)然，上述兩種方法得出的（1）式和（5）式盡管在形式上不同，但本質(zhì)上是相同的.由（5）式和（7）式可得

這與（1）式完全相同，所以只要把圖像中的斜率修改為k＝－0.19即可.當(dāng)然，保持原題中圖像斜率不變，修改原題中的其他數(shù)據(jù)，使得由（8）式計(jì)算出的斜率與圖像自洽亦可.

例題2.如圖2（a）所示，足夠長(zhǎng)的光滑平行金屬導(dǎo)軌MN、P Q所在平面與水平面成30°角，兩導(dǎo)軌的間距l(xiāng)＝0.50m，一端接有阻值R＝1.0Ω的電阻.質(zhì)量m＝0.10kg的金屬棒ab置于導(dǎo)軌上，與軌道垂直，電阻r＝0.25Ω.整個(gè)裝置處于磁感應(yīng)強(qiáng)度B＝1.0T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)方向垂直于導(dǎo)軌平面向下.t＝0時(shí)刻，對(duì)金屬棒施加一平行于導(dǎo)軌向上的外力F，使之由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中電路中的電流隨時(shí)間t變化的關(guān)系如圖2（b）所示.電路中其他部分電阻忽略不計(jì)，g取10m／s2，求：

（1）4.0s末金屬棒ab瞬時(shí)速度的大??；

（2）3.0s末力F的瞬時(shí)功率；

（3）已知0～4.0s時(shí)間內(nèi)電阻R上產(chǎn)生的熱量為0.64 J，試計(jì)算F對(duì)金屬棒所做的功.

圖2

分析：此題前兩問(wèn)的結(jié)果分別為（1）v＝2m／s；（2）P＝1.3W；原題第（3）問(wèn)的解答如下：

在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中拉力F是變力，盡管用積分的方法可以直接求出拉力F所做的功，但由于一般情況下，高中階段對(duì)微積分應(yīng)用的細(xì)節(jié)并無(wú)較高要求，一般學(xué)生想不到、也不會(huì)用積分的方法求出拉力F所做的功.因而命題者給出電路產(chǎn)生的焦耳熱，試圖讓學(xué)生從功能關(guān)系求出拉力F所做的功.這種命題思路無(wú)疑是可行的，但這就要求作為已知量給出的焦耳熱必須與題中的其他條件自洽.但是仔細(xì)分析可以發(fā)現(xiàn)，在0～4.0s內(nèi)電阻R上產(chǎn)生的熱量并不是0.64J，拉力F所做的功也不是3J.分析過(guò)程如下.

由圖像可知電流I與時(shí)間t的關(guān)系為：I＝0.2t（A），在0～4.0s內(nèi)電阻R上產(chǎn)生的熱量為

所以把原題中“0～4.0s內(nèi)電阻R上產(chǎn)生的熱量為0.64 J”改為“0～4.0s內(nèi)電阻R上產(chǎn)生的熱量為0.85J”，由功能關(guān)系（10）式可以求出拉力F所做的功為3.27J，與（14）式的結(jié)果自洽.這樣該題就完美無(wú)缺了.

例題3.相距L＝1.5m的足夠長(zhǎng)金屬導(dǎo)軌豎直放置，質(zhì)量為m1＝1.0kg的金屬棒ab和質(zhì)量為m2＝0.27kg的金屬棒c d均通過(guò)棒兩端的套環(huán)水平地套在金屬導(dǎo)軌上，如圖3（a）所示，虛線上方磁場(chǎng)方向垂直紙面向里，虛線下方磁場(chǎng)方向豎直向下，兩處磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度大小相同.ab棒光滑，c d棒與導(dǎo)軌間動(dòng)摩擦因數(shù)為μ＝0.75，兩棒總電阻為R＝1.8Ω，導(dǎo)軌電阻不計(jì).ab棒在方向豎直向上，大小按圖3（b）所示規(guī)律變化的外力F作用下，從靜止開(kāi)始，沿導(dǎo)軌勻加速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)c d棒也由靜止釋放.取重力加速度g＝10m／s2.

（1）求出磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小和ab棒加速度大??；

（2）已知在2s內(nèi)外力F做功40J，求這一過(guò)程中兩金屬棒產(chǎn)生的總焦耳熱；

圖3

分析：本題答案為：（1）a＝1m／s2；B＝1.2T；其中原題第（2）問(wèn)的解答是：因?yàn)閍b棒克服安培力所做的功等于兩金屬棒的焦耳熱，因而以ab棒為研究對(duì)象，由功能關(guān)系得

此題的命題思路與例2相似，但是正如例2所說(shuō)的理由，此題也存在類似的問(wèn)題.題中所給的條件“2s內(nèi)外力F做功40J”與其他已知條件并不自洽.事實(shí)上，容易求出電流I與時(shí)間t的關(guān)系是I＝t（A），在2s內(nèi)兩金屬棒產(chǎn)生的總焦耳熱可以用積分也可以用圖像得出

同樣，可以算出在2s內(nèi)外力F所做的功并不是40J.可以求出外力F與時(shí)間t的關(guān)系是F＝1.8t＋11（N），積分后，得到

這樣，如果把原題中“2s內(nèi)外力F做功40J”改為“2s內(nèi)外力F做功26.8J”，由功能關(guān)系（15）式求出焦耳熱為Q＝4.8 J，這個(gè)結(jié)果與（16）式的結(jié)果相同，這樣題中的條件就自洽了.

通過(guò)以上分析可以看出，這3個(gè)例題都具有構(gòu)思巧妙，立意新穎的特點(diǎn)，在對(duì)物理概念的理解、物理規(guī)律的掌握等諸多方面都能夠起到較好的考查作用，因而在各類考試和各種資料中被廣泛采用.但由于命題者對(duì)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程和特點(diǎn)把握得不是很準(zhǔn)確，因而在細(xì)節(jié)方面出現(xiàn)了瑕疵，這多少給人以“美中不足”的感覺(jué).通過(guò)這3個(gè)例題也提醒命題者，由于電磁感應(yīng)與切割磁感線相關(guān)的綜合應(yīng)用中，往往會(huì)出現(xiàn)變加速運(yùn)動(dòng)，對(duì)于變加速運(yùn)動(dòng)的過(guò)程和細(xì)節(jié)，作為命題者和教師，應(yīng)該盡可能從更高層次理解得深入一點(diǎn)、把握得細(xì)致一點(diǎn)；對(duì)一些細(xì)節(jié)問(wèn)題考慮得更周到一點(diǎn)、處理得更仔細(xì)一點(diǎn).這樣可以避免一些不必要的錯(cuò)誤，才能最大程度發(fā)揮優(yōu)秀試題的作用.