王美芳
(復(fù)旦大學(xué)附屬中學(xué),上海 200433)
這幾年的各地高考卷涌現(xiàn)了很多好題,我們給學(xué)生進行高三復(fù)習(xí)時,常選來用.2008年江蘇物理高考最后一題就是這樣一道題,綜合性強,對基本物理概念和能力要求都比較高,有相當(dāng)?shù)膮^(qū)分度.題目如下:
如圖1所示,間距為L的兩條足夠長的平行金屬導(dǎo)軌與水平面的夾角為θ,導(dǎo)軌光滑且電阻忽略不計.場強為B的條形勻強磁場方向與導(dǎo)軌平面垂直,磁場區(qū)域的寬度為d1,非磁場區(qū)域間距為d2.兩根質(zhì)量均為m、有效電阻均為R的導(dǎo)體棒a和b放在導(dǎo)軌上,并與導(dǎo)軌垂直.(設(shè)重力加速度為g)
圖1
(1)若a進入第2個磁場區(qū)域時,b以與a同樣的速度進入第1個磁場區(qū)域,求b穿過第1個磁場區(qū)域過程中增加的動能ΔEk;
(2)若a進入第2個磁場區(qū)域時,b恰好離開第1個磁場區(qū)域;此后a離開第2個磁場區(qū)域時,b又恰好進入第2個磁場區(qū)域.且a、b在任意一個磁場區(qū)域或無磁場區(qū)域的運動時間均相等.求b穿過第2個磁場區(qū)域過程中,兩導(dǎo)體棒產(chǎn)生的總焦耳熱Q;
(3)對于(2)問所述的運動情況,求a穿出第k個磁場區(qū)域時的速率v.
連續(xù)幾年在高三復(fù)習(xí)時使用這道題,每次總會有個別學(xué)生提出異議并給出自己不同的解答.這道題,不同的思路考路,為什么得到的結(jié)果會不一樣?是學(xué)生解答錯了嗎?其實,很多時候,學(xué)生的解題思路沒有錯.這時,我總是很耐心地幫學(xué)生看他的解答過程,肯定并鼓勵他們的自主思考.筆者又到一些雜志和網(wǎng)上查找過這道題,也沒有發(fā)現(xiàn)對本題多解的討論.所以,寫文一篇,希望有針對性地做一次充分的討論,和大家一起分享思考的快樂.
本題的的第1問和第2問給出了一些信息,本文略去討論它們,而矛盾在于第3問的求解.我們直接來解第3問.先看常規(guī)解法:
考慮其中一棒,如a棒,在經(jīng)過d2區(qū)域的過程中,它做初速度為v1,末速度為v2,加速度為gsinθ,位移為d2的勻加速直線運動,設(shè)運動時間為t,可得
a棒,在經(jīng)過d1區(qū)域的過程中,做減速運動,根據(jù)牛頓第二定律得
用微元法,考慮整個減速過程中任一Δt時間,并對時間做累加,由(3)式得
由(4)式得
整理后得
(1)、(2)、(6)式是關(guān)于v1、v2、t這3個未知數(shù)的三元一次方程組,可解得
所以,第3小題要求的速率
解這道題的關(guān)鍵是通過微元法得到除(1)、(2)式外的另一個關(guān)于v1、v2、t的關(guān)系式,即上面的(6)式.如果按下面的解法,我們會發(fā)現(xiàn)根據(jù)題目條件,還可以得到另外一個不同于(6)式關(guān)系式.
同樣考慮a棒減速過程:前面已經(jīng)給出
對這個式子,做另一種處理:因為a=dv,所以(3)式dt可化為
兩邊分別對速度和時間積分
這樣就得到了又一個不同于(6)式的v1、v2、t之間的關(guān)系式,即(8)式.由(1)、(2)、(8)式可得
所以,本題第3小題要求的速率
(9)式雖然不像參考答案(7)式那樣簡潔,但也是實實在在能做出來的一個正確答案.
有必要對兩個答案都是正確的做進一步的說明.根本原因是題目中給的條件多了,不完全獨立.這就好比平拋運動同時告訴初速度v0,高度h,射程s,求飛行時間t.答案就不唯一了,可以是也可以.因為v0,h,s不相互獨立,知道其中2個就能推算出第3個,所以題目本不應(yīng)該給3個已知條件.這個例子中3個量的不相互獨立非常容易看出來,但本題中的已知量之間不相互獨立不是那么顯而易見,可以說是隱蔽得非常深,猛一眼完全看不出來,但可以通過以下計算得出.
假設(shè)本題中沒有給出磁場區(qū)域的寬度為d1這個條件,而其他已知條件都不變,可以這樣計算出d1.
同樣考慮a棒減速過程:前面已經(jīng)給出
兩邊分別對距離和速度積分
利用積分公式
這樣(1)、(2)、(6)、(10)4式構(gòu)成了關(guān)于v1、v2、t、d1四元一次方程組,可求得v1、v2、t、d1.也就是說,本題中d1不是獨立變量,條件給多了.
從學(xué)生的角度來講,程度好的學(xué)生可能會發(fā)現(xiàn)他做的答案和標(biāo)準(zhǔn)答案不一樣,但很可能找不出來錯在哪里.我也曾今看到有的學(xué)生拿著不一樣的答案問教師,教師的回答是:“反正正確答案不是你這個答案!你就按正確答案來做!”希望這篇文章能幫助到大家理解這個問題,希望我們的學(xué)生遇到問題能堅持追根究底.