王美芳

（復(fù)旦大學(xué)附屬中學(xué)，上海 200433）

這幾年的各地高考卷涌現(xiàn)了很多好題，我們給學(xué)生進行高三復(fù)習(xí)時，常選來用.2008年江蘇物理高考最后一題就是這樣一道題，綜合性強，對基本物理概念和能力要求都比較高，有相當(dāng)?shù)膮^(qū)分度.題目如下：

如圖1所示，間距為L的兩條足夠長的平行金屬導(dǎo)軌與水平面的夾角為θ，導(dǎo)軌光滑且電阻忽略不計.場強為B的條形勻強磁場方向與導(dǎo)軌平面垂直，磁場區(qū)域的寬度為d1，非磁場區(qū)域間距為d2.兩根質(zhì)量均為m、有效電阻均為R的導(dǎo)體棒a和b放在導(dǎo)軌上，并與導(dǎo)軌垂直.（設(shè)重力加速度為g）

圖1

（1）若a進入第2個磁場區(qū)域時，b以與a同樣的速度進入第1個磁場區(qū)域，求b穿過第1個磁場區(qū)域過程中增加的動能ΔEk；

（2）若a進入第2個磁場區(qū)域時，b恰好離開第1個磁場區(qū)域；此后a離開第2個磁場區(qū)域時，b又恰好進入第2個磁場區(qū)域.且a、b在任意一個磁場區(qū)域或無磁場區(qū)域的運動時間均相等.求b穿過第2個磁場區(qū)域過程中，兩導(dǎo)體棒產(chǎn)生的總焦耳熱Q；

（3）對于（2）問所述的運動情況，求a穿出第k個磁場區(qū)域時的速率v.

連續(xù)幾年在高三復(fù)習(xí)時使用這道題，每次總會有個別學(xué)生提出異議并給出自己不同的解答.這道題，不同的思路考路，為什么得到的結(jié)果會不一樣？是學(xué)生解答錯了嗎？其實，很多時候，學(xué)生的解題思路沒有錯.這時，我總是很耐心地幫學(xué)生看他的解答過程，肯定并鼓勵他們的自主思考.筆者又到一些雜志和網(wǎng)上查找過這道題，也沒有發(fā)現(xiàn)對本題多解的討論.所以，寫文一篇，希望有針對性地做一次充分的討論，和大家一起分享思考的快樂.

本題的的第1問和第2問給出了一些信息，本文略去討論它們，而矛盾在于第3問的求解.我們直接來解第3問.先看常規(guī)解法：

考慮其中一棒，如a棒，在經(jīng)過d2區(qū)域的過程中，它做初速度為v1，末速度為v2，加速度為gsinθ，位移為d2的勻加速直線運動，設(shè)運動時間為t，可得

a棒，在經(jīng)過d1區(qū)域的過程中，做減速運動，根據(jù)牛頓第二定律得

用微元法，考慮整個減速過程中任一Δt時間，并對時間做累加，由（3）式得

由（4）式得

整理后得

（1）、（2）、（6）式是關(guān)于v1、v2、t這3個未知數(shù)的三元一次方程組，可解得

所以，第3小題要求的速率

解這道題的關(guān)鍵是通過微元法得到除（1）、（2）式外的另一個關(guān)于v1、v2、t的關(guān)系式，即上面的（6）式.如果按下面的解法，我們會發(fā)現(xiàn)根據(jù)題目條件，還可以得到另外一個不同于（6）式關(guān)系式.

同樣考慮a棒減速過程：前面已經(jīng)給出

對這個式子，做另一種處理：因為a＝dv，所以（3）式dt可化為

兩邊分別對速度和時間積分

這樣就得到了又一個不同于（6）式的v1、v2、t之間的關(guān)系式，即（8）式.由（1）、（2）、（8）式可得

所以，本題第3小題要求的速率

（9）式雖然不像參考答案（7）式那樣簡潔，但也是實實在在能做出來的一個正確答案.

有必要對兩個答案都是正確的做進一步的說明.根本原因是題目中給的條件多了，不完全獨立.這就好比平拋運動同時告訴初速度v0，高度h，射程s，求飛行時間t.答案就不唯一了，可以是也可以.因為v0，h，s不相互獨立，知道其中2個就能推算出第3個，所以題目本不應(yīng)該給3個已知條件.這個例子中3個量的不相互獨立非常容易看出來，但本題中的已知量之間不相互獨立不是那么顯而易見，可以說是隱蔽得非常深，猛一眼完全看不出來，但可以通過以下計算得出.

假設(shè)本題中沒有給出磁場區(qū)域的寬度為d1這個條件，而其他已知條件都不變，可以這樣計算出d1.

同樣考慮a棒減速過程：前面已經(jīng)給出

兩邊分別對距離和速度積分

利用積分公式

這樣（1）、（2）、（6）、（10）4式構(gòu)成了關(guān)于v1、v2、t、d1四元一次方程組，可求得v1、v2、t、d1.也就是說，本題中d1不是獨立變量，條件給多了.

從學(xué)生的角度來講，程度好的學(xué)生可能會發(fā)現(xiàn)他做的答案和標(biāo)準(zhǔn)答案不一樣，但很可能找不出來錯在哪里.我也曾今看到有的學(xué)生拿著不一樣的答案問教師，教師的回答是：“反正正確答案不是你這個答案！你就按正確答案來做！”希望這篇文章能幫助到大家理解這個問題，希望我們的學(xué)生遇到問題能堅持追根究底.