馬琮淦，左曙光，何呂昌，孫 慶，孟 姝

(同濟(jì)大學(xué) 新能源汽車工程中心，上海 201804)

由于分布式驅(qū)動電動汽車主要采用輪轂永磁同步電機(jī)直接驅(qū)動，其振動噪聲問題呈現(xiàn)新的特點:分布式驅(qū)動用永磁同步電機(jī)的6k階轉(zhuǎn)矩波動是車身階次振動與車內(nèi)噪聲的主要振源，瞬態(tài)工況下對整車縱向振動的影響尤為顯著［1-3］。

對于永磁同步電機(jī)6k階轉(zhuǎn)矩波動，文獻(xiàn)［4］分析了6階諧波轉(zhuǎn)矩波動機(jī)理，討論了6階轉(zhuǎn)矩諧波的抑制方法，但未對6k階轉(zhuǎn)矩波動機(jī)理進(jìn)行分析;文獻(xiàn)［5-7］給出了電磁轉(zhuǎn)矩的數(shù)學(xué)模型，大多數(shù)轉(zhuǎn)矩控制模型都基于此數(shù)學(xué)模型建立［8-13］，但由于電磁轉(zhuǎn)矩的解析解不含6k階轉(zhuǎn)矩項，故該模型不能反映永磁同步電機(jī)的6k階轉(zhuǎn)矩波動;文獻(xiàn)［14］提出了永磁同步電機(jī)6k階電磁轉(zhuǎn)矩的數(shù)學(xué)模型，但關(guān)鍵參數(shù)感應(yīng)電動勢1階、5階、7階諧波分量需要通過磁場計算或試驗獲取，1階電流諧波分量也需通過轉(zhuǎn)矩指令才能獲得。綜上所述，對揭示永磁同步電機(jī)6k階振動與噪聲現(xiàn)象的理論依據(jù)—6k階電磁轉(zhuǎn)矩的精確解析解的文獻(xiàn)非常少見。為此，本文提出了基于磁場畸變的輪轂永磁同步電機(jī)6k階電磁轉(zhuǎn)矩的解析計算方法，對6k階電磁轉(zhuǎn)矩做了階次分析，論證了由永磁體磁場諧波引起的電磁轉(zhuǎn)矩波動頻率是電源頻率的6k倍頻，并進(jìn)行了有限元驗證。

1 基于磁場畸變的氣隙磁場傅里葉分解

分布式驅(qū)動用永磁同步電機(jī)多采用外轉(zhuǎn)子瓦片型表貼式，如圖1。永磁體的空間分布將直接影響感應(yīng)電動勢的波形，進(jìn)而會影響電磁轉(zhuǎn)矩的生成。為了便于分析作如下假設(shè):

圖1 外轉(zhuǎn)子表貼式永磁同步電機(jī)物理模型Fig.1 Model of exterior surface mounted PMSM

(1)轉(zhuǎn)子磁場于磁極中心線對稱分布;

(2)忽略定子槽和轉(zhuǎn)角對電感的影響，定子表面光滑;

(3)磁路不飽和，忽略電樞反應(yīng)的作用［15］;

(4)定子繞組三相對稱。

圖2 永磁體磁場強(qiáng)度徑向分布Fig.2 radial distribution of the permanent magnet field

文獻(xiàn)［15］給出了忽略電樞反應(yīng)磁場的影響、基于磁場畸變的永磁體磁場的徑向分布?；谝陨霞僭O(shè)與文獻(xiàn)［15］，本文得到分布式驅(qū)動用永磁同步電機(jī)磁場徑向分布Br(θ)，如圖2。Br(θ)是周期為2π 的偶函數(shù)，則徑向磁通密度表達(dá)式為:

對式(1)用傅里葉級數(shù)展開得:

2 磁鏈、感應(yīng)電動勢的解析計算

2.1 磁鏈的解析計算

為了計算a、b、c相內(nèi)的磁鏈，假設(shè)定子繞組局部均勻分布，即在β范圍內(nèi)每相繞組的磁通恒定，如圖3所示。

圖3 a、b、c相定子繞組簡化模型Fig.3 Simplified model of the stator winding for Phase a，b，c

磁鏈的計算公式為:

因此，由永磁體磁場徑向磁通密度分布式(2)與磁鏈計算式(3)可求得a相感應(yīng)磁鏈:

式中

k為繞組分布系數(shù);Nc為一相繞組線圈串聯(lián)匝數(shù);αj定義見圖3;rs為定子外圓半徑;ls為定子軸向長度。

故，將abc坐標(biāo)系下三相磁鏈?zhǔn)?5)經(jīng)過Blondel-Park變換可得到dq0坐標(biāo)系下d、q、0軸的磁鏈:

式中，Tdq，ph為 Blondel-Park 變換矩陣。

由此可得定子總磁鏈:

式中，Ld、Lq、L0分別為d、q、0 軸定子電感。

2.2 感應(yīng)電動勢的解析計算

abc坐標(biāo)下的電壓方程為:

式中，Vph為abc坐標(biāo)系下相電壓;Rs為相繞組電阻;ia，ib，ic分別為a、b、c三相電流;ψph為abc坐標(biāo)下總磁鏈。

由式(8)，經(jīng)Blondel-Park變換和矩陣微分可得dq0坐標(biāo)系下的電壓方程為:

式中，id，iq，i0分別為d、q、0 軸電流;ωr為轉(zhuǎn)子的電角速度。

故，由式(9)可得分布式驅(qū)動用永磁同步電機(jī)感應(yīng)電動勢為:

3 電磁轉(zhuǎn)矩的解析計算與階次分析

3.1 電磁轉(zhuǎn)矩的解析計算

電磁功率可由下式求得:

由電磁功率、電磁轉(zhuǎn)矩、轉(zhuǎn)速的關(guān)系式，可得電磁轉(zhuǎn)矩表達(dá)式:

式中，ωm為轉(zhuǎn)子機(jī)械角速度;p為極對數(shù)。

由于分布式驅(qū)動用永磁同步電機(jī)通常采用Y型連接，有:

故，由式(10)、(11)、(12)、(13)聯(lián)立可得到電磁轉(zhuǎn)矩的解析解為:

式中:

大多數(shù)文獻(xiàn)［7-13］轉(zhuǎn)矩控制系統(tǒng)所采用的永磁同步電機(jī)數(shù)學(xué)模型［4-6］的轉(zhuǎn)矩解析表達(dá)式為:

3.2 電磁轉(zhuǎn)矩的階次分析

式中，n為轉(zhuǎn)子機(jī)械轉(zhuǎn)速;t為時間。

故，分布式驅(qū)動用永磁同步電機(jī)轉(zhuǎn)矩波動的第6k階頻率為:

式中，f6k為第6k階電磁轉(zhuǎn)矩波動頻率;f為電源頻率。

由式(17)可知:由永磁體磁場諧波引起的電磁轉(zhuǎn)矩波動頻率是電源頻率的6k倍頻;當(dāng)極對數(shù)p確定時，電磁轉(zhuǎn)矩第6k階頻率與轉(zhuǎn)速n成正比。在電動汽車加速或回饋制動過程中，穿越永磁同步電機(jī)的結(jié)構(gòu)固有頻率時，可能引起永磁同步電機(jī)的共振，進(jìn)而對車身振動造成很大影響，并影響整車舒適性。因此，在設(shè)計永磁同步電機(jī)時，需要根據(jù)極對數(shù)p和轉(zhuǎn)速范圍，規(guī)劃電機(jī)定、轉(zhuǎn)子模態(tài)頻率，防止共振。

4 解析計算的驗證

為了驗證本解析計算方法的有效性，本文利用以上計算模型，對1臺虛擬單元樣機(jī)—2極6槽永磁同步電機(jī)額定狀態(tài)下的電磁轉(zhuǎn)矩進(jìn)行編程計算，電機(jī)基本參數(shù)如表1。同時利用二維有限元計算程序，對虛擬單元樣機(jī)進(jìn)行電磁轉(zhuǎn)矩計算，其計算結(jié)果如圖4所示。在電機(jī)額定轉(zhuǎn)速下，由式(17)，可初步預(yù)測該電機(jī)的第k階轉(zhuǎn)矩波動頻率為:

表1 永磁同步電機(jī)參數(shù)Tab.1 parameters of PMSM

與文獻(xiàn)［5-14］類似，本文解析計算假設(shè)定子表面光滑，未考慮定子開槽。為驗證解析計算，有限元計算的定子模型也未開槽。因為本解析計算方法以永磁體徑向氣隙磁場分布為基礎(chǔ)，所以，本文首先由有限元計算得到氣隙中點處的永磁體徑向氣隙磁場分布，然后通過式(2)進(jìn)行永磁體徑向氣隙磁場分布曲線的曲線擬合，最后由式(3)-式(15)計算得到電磁轉(zhuǎn)矩的解析解。根據(jù)圖4，利用式(2)進(jìn)行的永磁體徑向氣隙磁場分布解析擬合與有限元計算結(jié)果基本一致，但仍有高頻成分未實現(xiàn)完全擬合。當(dāng)忽略電流諧波的影響時，由式(14)可知，6k階電磁轉(zhuǎn)矩諧波由(6k-1)階和(6k+1)階磁鏈諧波共同決定;由式(4)可知，(6k-1)階和(6k+1)階磁鏈諧波分別由(6k-1)階和(6k+1)階永磁體徑向磁場諧波決定。故，6k階電磁轉(zhuǎn)矩諧波由(6k-1)階和(6k+1)階永磁體徑向磁場諧波共同決定。當(dāng)永磁體徑向磁場的解析計算結(jié)果與有限元計算結(jié)果基本一致、但存在高頻成分未完全擬合時，這將引起電磁轉(zhuǎn)矩解析計算結(jié)果與有限元計算結(jié)果基本一致、但存在高頻成分差異，如圖4所示。

圖4 解析計算結(jié)果與有限元計算結(jié)果比較Fig.4 Comparison of finite element analysis and analytical calculation

綜上所述，本解析計算方法是正確的，可以用于預(yù)測6k階電磁轉(zhuǎn)矩。但也具有一定的局限性:其精度依賴于永磁體徑向磁場分布的準(zhǔn)確擬合。

5 結(jié)論

(1)建立了永磁體磁場畸變的分布式驅(qū)動用永磁同步電機(jī)電磁轉(zhuǎn)矩解析計算模型，為分布式驅(qū)動用永磁同步電機(jī)6k階轉(zhuǎn)矩波動提供了理論解釋;

(3)與有限元分析對比表明:本解析模型能較好地解釋永磁同步電機(jī)6k階振動問題，為避免電機(jī)定、轉(zhuǎn)子共振提供了理論指導(dǎo)。

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