張呈波，張曉旭，宋漢文

(1．同濟(jì)大學(xué)航空航天與力學(xué)學(xué)院，上海 200092;2．復(fù)旦大學(xué)力學(xué)與工程科學(xué)系，上海 200433)

一類(lèi)具有非對(duì)稱(chēng)特性的隔振裝置結(jié)構(gòu)參數(shù)實(shí)驗(yàn)辨識(shí)方法

張呈波1，張曉旭2，宋漢文1

(1．同濟(jì)大學(xué)航空航天與力學(xué)學(xué)院，上海 200092;2．復(fù)旦大學(xué)力學(xué)與工程科學(xué)系，上海 200433)

由于重力或裝配應(yīng)力等偏置力的影響，隔振元件的工作狀態(tài)將會(huì)偏離原始平衡位置，進(jìn)而產(chǎn)生具有非對(duì)稱(chēng)特性的動(dòng)力學(xué)行為，其具體表現(xiàn)為系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)存在剛性漂移現(xiàn)象，且該剛性漂移的大小與外激勵(lì)頻率、幅值均存在復(fù)雜的關(guān)系;其次，由于振動(dòng)傳感器主要針對(duì)動(dòng)態(tài)信號(hào)，對(duì)于零頻附近的低頻信號(hào)存在靈敏度低、測(cè)量誤差大的缺陷。因而，對(duì)于系統(tǒng)響應(yīng)中存在的剛性漂移信號(hào)，實(shí)驗(yàn)中往往無(wú)法準(zhǔn)確測(cè)定，甚至可能丟失，這將給系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)參數(shù)標(biāo)定帶來(lái)非常大的影響。本文針對(duì)該問(wèn)題，建立了此類(lèi)隔振實(shí)驗(yàn)裝置的非對(duì)稱(chēng)動(dòng)力學(xué)模型，并利用較為成熟的諧波平衡原理構(gòu)造了一種簡(jiǎn)單的迭代算法，使其在剛性漂移信息缺失的情況下，仍然能夠有效地辨識(shí)得到系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)。通過(guò)數(shù)值仿真，驗(yàn)證了該算法的有效性，并將其應(yīng)用于一款具體的隔振元件動(dòng)力學(xué)參數(shù)辨識(shí)工作中。其結(jié)果表明，由該算法辨識(shí)得到的結(jié)構(gòu)參數(shù)與系統(tǒng)真實(shí)動(dòng)力學(xué)特性具有較高的吻合度，對(duì)于其它具有類(lèi)似特性的隔振元件的設(shè)計(jì)及應(yīng)用具有一定的參考價(jià)值。

非線(xiàn)性系統(tǒng);參數(shù)辨識(shí);諧波平衡;非對(duì)稱(chēng);剛性漂移

Abstract:When the vibration isolator stays in a biased situation induced by gravity，assembly stress etc．，there will be a complex dynamic phenomenon with unsymmetrical characteristic such as rigid drift of the systems's dynamic response．Besides，this kind of drift has intimate relationship with external exciting frequency and its amplitude．On the other hand，the vibration sensors mainly suit for the measurement of dynamic signals．Therefore，there will be some deficiencies like blunt sensitivity and low accuracy in the measurement of nearly constant and slowly varying signals．When these sensors are applied to the experiment of the unsymmetrical systems mentioned above，the rigid drift data will be measured inaccurately or even lost，which can cause great difficulty to the system's parameter identification．According to this problem，a simple iteration algorithm based on the principle of harmonic balance was constructed for the parameter identification of unsymmetrical dynamic systems so that the identification is still efficient in the case of the losing the rigid drift information．As a numerical simulation example，the algorithm has been successfully applied to the parameter identification of a real vibration isolator．The results show that the identified parameters have satisfying coincidence with the experimental ones．

Key words:nonlinear system;parameter identification;harmonic balance;unsymmetrical system;drift

非線(xiàn)性動(dòng)力系統(tǒng)具有豐富的動(dòng)力學(xué)行為。辨識(shí)非線(xiàn)性系統(tǒng)參數(shù)是研究其動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象的重要基礎(chǔ)?；趦?yōu)化策略的模糊算法被廣泛應(yīng)用于非線(xiàn)性系統(tǒng)的參數(shù)辨識(shí)工作中，如:遺傳算法［1－2］、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法［3－6］等。這些算法僅需構(gòu)造簡(jiǎn)單的搜索模式，經(jīng)過(guò)有限次的迭代運(yùn)算，辨識(shí)出系統(tǒng)中未知的參數(shù)。不過(guò)，這些方法也存在著抗噪能力一般、初值依賴(lài)性強(qiáng)的缺點(diǎn)。

基于諧波平衡原理的辨識(shí)方法也是參數(shù)辨識(shí)的有效方法，這種方法雖然理論推導(dǎo)復(fù)雜，但卻能夠直接得出用于參數(shù)辨識(shí)的線(xiàn)性代數(shù)方程，并且具有精度高、抗噪能力強(qiáng)的特點(diǎn)。在理論上，該方法發(fā)展出了穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的參數(shù)辨識(shí)算法［7－9］、極限環(huán)響應(yīng)的參數(shù)辨識(shí)算法［10］及混沌響應(yīng)的參數(shù)辨識(shí)算法［11－12］。在實(shí)驗(yàn)中，如金屬橡膠［13］等非線(xiàn)性元件的參數(shù)辨識(shí)也是根據(jù)諧波平衡原理推導(dǎo)的。該方法的應(yīng)用已比較成熟可靠。

本文以諧波平衡原理作為參數(shù)辨識(shí)的理論基礎(chǔ)，通過(guò)振動(dòng)臺(tái)基礎(chǔ)激勵(lì)正弦掃描實(shí)驗(yàn)，將其應(yīng)用到某衛(wèi)星上精密儀器的隔振實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ偷慕Y(jié)構(gòu)參數(shù)辨識(shí)中。

首先，由于被隔振物體重力、裝配應(yīng)力等偏置力的影響，隔振元件平衡位置的偏移是不可避免的，這就造成了實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)的非對(duì)稱(chēng)性，改變隔振元件動(dòng)態(tài)下的剛度或阻尼。針對(duì)此事實(shí)，建立了非線(xiàn)性隔振實(shí)驗(yàn)裝置的非對(duì)稱(chēng)動(dòng)力學(xué)模型。

其次，對(duì)于非線(xiàn)性系統(tǒng)，由于系統(tǒng)的非對(duì)稱(chēng)性引起系統(tǒng)的靜平衡位置與動(dòng)態(tài)平衡位置不再重疊，具體表現(xiàn)為系統(tǒng)位移響應(yīng)出現(xiàn)剛性漂移，即其位移響應(yīng)頻譜在零頻處具有隨激勵(lì)幅值和激勵(lì)頻率變化的非零幅值。而在實(shí)驗(yàn)中，由于常用的位移傳感器不便于確定參考零點(diǎn)，測(cè)量范圍有限且精度偏低，既無(wú)法準(zhǔn)確測(cè)得位移響應(yīng)中存在的剛性漂移信息，也不能獲得高精度的系統(tǒng)響應(yīng)數(shù)據(jù)。而加速度傳感器能測(cè)得高品質(zhì)的系統(tǒng)響應(yīng)信號(hào)，但無(wú)法恢復(fù)位移響應(yīng)中的剛性漂移信息。因此，本文在用加速度傳感器測(cè)得滿(mǎn)意的響應(yīng)數(shù)據(jù)的前提下，運(yùn)用諧波平衡原理構(gòu)造一種簡(jiǎn)單的迭代算法，使其在剛性漂移信息缺失的情況下，仍然能夠有效地辨識(shí)得到系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)。通過(guò)數(shù)值仿真來(lái)驗(yàn)證該算法的有效性，并將其應(yīng)用于隔振實(shí)驗(yàn)裝置的結(jié)構(gòu)參數(shù)辨識(shí)。

1 理論基礎(chǔ)

1.1 非線(xiàn)性隔振器動(dòng)力學(xué)建模

現(xiàn)有隔振器的建模大多是以?xún)缂?jí)數(shù)多項(xiàng)式的形式逼近［13－16］，都能得到較好的辨識(shí)效果。本文在不考慮遲滯效應(yīng)的前提下，以多項(xiàng)式非線(xiàn)性阻尼和多項(xiàng)式非線(xiàn)性剛度來(lái)逼近非線(xiàn)性隔振實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)。

如圖1所示，非線(xiàn)性隔振系統(tǒng)可假設(shè)為一個(gè)單自由度的具有非線(xiàn)性剛度及非線(xiàn)性阻尼支承特性的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)。其簡(jiǎn)化模型如圖2所示。

圖1 非線(xiàn)性隔振器示意圖Fig．1 Sketch of nonlinear isolator

圖2 非線(xiàn)性隔振器動(dòng)力學(xué)模型Fig．2 The dynamic modal of nonlinear isolator

設(shè)質(zhì)量塊位移為x(t)，地基激勵(lì)為q(t)，且該系統(tǒng)的阻尼及剛度特性均為立方非線(xiàn)性模式，建立該系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程為:

式中，f為偏置力。令~x=x－q，則上式可簡(jiǎn)化為:

考慮該系統(tǒng)受到重力及裝配應(yīng)力的影響，則偏置力表現(xiàn)為一個(gè)常力，記為f=Fconst。此時(shí)，系統(tǒng)的靜平衡位置將發(fā)生偏移，新平衡位置X滿(mǎn)足方程:

從上式可以看出，偏置力引起了剛度項(xiàng)的變化。

進(jìn)一步，考慮材料本構(gòu)中可能存在的非對(duì)稱(chēng)特性，

式(3)可進(jìn)一步修正為:

至此，我們建立了具有非對(duì)稱(chēng)形式的非線(xiàn)性隔振器的動(dòng)力學(xué)模型。

1.2 辨識(shí)算法構(gòu)造

根據(jù)諧波平衡原理，若采用單頻簡(jiǎn)諧激勵(lì)，即:

其中qs(ω)、qe(ω)分別為對(duì)應(yīng)于頻率ω的正弦及余弦項(xiàng)系數(shù)，則系統(tǒng)(3)在漸進(jìn)穩(wěn)定的前提下具有周期形式的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，其傅里葉展開(kāi)為:

式中:

假設(shè)系統(tǒng)的質(zhì)量m已知，待辨識(shí)參數(shù)為Ch、Kh，h=1，2，3共六個(gè)參數(shù)?？紤]到系統(tǒng)響應(yīng)中，主諧波占有較高的能量比例，且具有較高的信噪比，因此我們通過(guò)(8)式的主諧波形式建立未知參數(shù)的辨識(shí)方程。此時(shí)n=1，考慮不同的激勵(lì)頻率ωr，r=1，2，…，N，可構(gòu)造出辨識(shí)方程:

式中:

由(8)式可寫(xiě)出未知參數(shù)的辨識(shí)結(jié)果為:

2 數(shù)值算例

2.1 誤差分析

通過(guò)前文的理論分析，我們構(gòu)造出了如式(10)所示的非線(xiàn)性參數(shù)的辨識(shí)算法。然而在真實(shí)實(shí)驗(yàn)中，由于傳感器對(duì)定常及較低頻信號(hào)的測(cè)量存在較大誤差，甚至缺失，因此必須對(duì)該算法的有效性進(jìn)行分析。記由實(shí)驗(yàn)所測(cè)或還原得到的位移信號(hào)為(t)，對(duì)照式(6)，滿(mǎn)足:

因此，系數(shù)矩陣［G］中，位移平方、立方項(xiàng)的主諧波系數(shù)將會(huì)被修改。記真實(shí)系數(shù)分別為，實(shí)驗(yàn)所得為，兩者具有如下關(guān)系:而其余系數(shù)不變。顯然，剛性漂移信息缺失時(shí)，辨識(shí)誤差全部由系數(shù)矩陣［G］的第5、6列引起。

基于上述分析，本節(jié)主要考察非對(duì)稱(chēng)特性的強(qiáng)弱與動(dòng)態(tài)平衡位置偏離程度之間的定量關(guān)系，以及剛性漂移信息的缺失對(duì)辨識(shí)精度的影響。

使用如式(4)所示的動(dòng)力學(xué)模型，設(shè)置各參數(shù)為:m=2，C1=1．6，C2=－0．1，C3=－0．4，K1=8，K2=－0．6，K3=－4。采用定加速度步進(jìn)激勵(lì)方式，加速度幅值(Acc)分別為0．4、0．5、0．6和0．7。該設(shè)定下，系統(tǒng)位移響應(yīng)及加速度響應(yīng)的主諧波幅頻曲線(xiàn)為:

考慮到位移響應(yīng)中，主諧波響應(yīng)占有主要成分，因此對(duì)于剛性漂移幅值的定量考察，我們也以主諧波響應(yīng)幅值為參考。各激勵(lì)幅值、頻率下，剛性漂移幅值與主諧波響應(yīng)的比例關(guān)系如下:

圖3 位移響應(yīng)的主諧波幅頻曲線(xiàn)Fig．3 The main harmonic amplitude-frequency curve of displacement response

圖4 加速度響應(yīng)的主諧波幅頻曲線(xiàn)Fig．4 The main harmonic amplitude-frequency curve of acceleration response

圖5 動(dòng)平衡幅值相對(duì)主諧波響應(yīng)的比率曲線(xiàn)Fig．5 The ratio of dynamic balance’s amplitude to main harmonic response

從圖5可以看出，激勵(lì)幅值越強(qiáng)、激勵(lì)頻率越接近系統(tǒng)固有頻率，則響應(yīng)中的非對(duì)稱(chēng)效應(yīng)越明顯，剛性漂移偏離越厲害。因此可以推測(cè)，在剛性漂移信息缺失的情形下，為使非線(xiàn)性參數(shù)的辨識(shí)結(jié)果具有更高精度，實(shí)驗(yàn)中應(yīng)選取遠(yuǎn)離固有頻率、小幅值激勵(lì)條件下的響應(yīng)數(shù)據(jù)。

依照上述經(jīng)驗(yàn)，我們定量考察動(dòng)平衡信息缺失對(duì)辨識(shí)精度的影響。選取激勵(lì)幅值為0．4、激勵(lì)頻率為2．5～3．5 rad/s，此時(shí)剛性漂移幅值與主頻響應(yīng)幅值的比例為0．01～0．005。各非線(xiàn)性參數(shù)的辨識(shí)結(jié)果如表1所示:

表1 非線(xiàn)性參數(shù)辨識(shí)結(jié)果Tab．1 The results of nonlinear parameters identification

由上表可以看出，盡管非對(duì)稱(chēng)強(qiáng)度極弱，但剛性漂移信息缺失時(shí)，動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)中平方項(xiàng)系數(shù)的辨識(shí)結(jié)果卻有十分顯著的誤差。因此，我們必須對(duì)辨識(shí)算法(9)進(jìn)行適當(dāng)?shù)母倪M(jìn)。

2.2 算法改進(jìn)

首先，從表1可以看出，盡管平方項(xiàng)系數(shù)的辨識(shí)誤差很大，但系數(shù)正負(fù)性質(zhì)的判斷是正確的。其次，由圖5可見(jiàn)，在遠(yuǎn)離共振頻率時(shí)，剛性漂移幅值與主諧波幅值的比率不明顯依賴(lài)于頻率及激勵(lì)幅值。因此，我們可以結(jié)合首次辨識(shí)的結(jié)果和主諧波幅值，構(gòu)造迭代算法，使得動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)中平方項(xiàng)系數(shù)的辨識(shí)結(jié)果收斂至足夠的精度。具體迭代過(guò)程如下:

步驟1:記主諧波幅值為

式中:A為修正倍率。將其作為真實(shí)位移的近似恢復(fù)，用于第一次迭代參數(shù)辨識(shí)。

步驟2:將前一次辨識(shí)得到的結(jié)構(gòu)參數(shù)代入(4)式進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，求得相應(yīng)激勵(lì)頻率下的剛性漂移信息0(ω)，令，作為真實(shí)位移的近似恢復(fù)，用于進(jìn)一步的迭代參數(shù)辨識(shí)。

步驟3:重復(fù)步驟2，直至辨識(shí)結(jié)果收斂到足夠的精度。

按照上述迭代步驟，令修正倍率A為0．01，對(duì)表1所得結(jié)果進(jìn)行迭代計(jì)算。迭代辨識(shí)結(jié)果如下:

表2 迭代辨識(shí)結(jié)果Tab．2 Identified results

由上表可以看出，該迭代算法具有較快的收斂速度，其不足之處在于平方項(xiàng)系數(shù)C2，K2辨識(shí)結(jié)果的相容性稍有欠缺，即不能完全收斂至預(yù)設(shè)值。對(duì)比表1還可看出，迭代算法可使辨識(shí)精度大幅提高，其辨識(shí)最大相對(duì)誤差已從534．45%降至12．8%，基本滿(mǎn)足實(shí)驗(yàn)辨識(shí)的要求。

3 實(shí)驗(yàn)分析

通過(guò)數(shù)值分析，本文已經(jīng)驗(yàn)證了基于諧波平衡原理的非線(xiàn)性參數(shù)辨識(shí)算法的可靠性。因此，我們將該辨識(shí)算法應(yīng)用于非線(xiàn)性隔振裝置非線(xiàn)性參數(shù)的實(shí)驗(yàn)辨識(shí)，其實(shí)驗(yàn)裝置如圖。

圖6 隔振器實(shí)驗(yàn)裝置Fig．6 Experimental device of isolator

該隔振系統(tǒng)被隔振件的質(zhì)量為m=1．86 kg。實(shí)驗(yàn)裝置通過(guò)基座固定在垂直振動(dòng)臺(tái)上，采取步進(jìn)恒加速度正弦激勵(lì)的方式，加速度幅值為0．4 g，采樣頻率1 024 Hz，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)采樣時(shí)長(zhǎng)80 s，采集基座及被隔振件的穩(wěn)態(tài)加速度響應(yīng)。

通過(guò)傅里葉變換可得該系統(tǒng)加速度響應(yīng)的主諧波幅頻曲線(xiàn)，如下圖。

圖7 實(shí)測(cè)加速度響應(yīng)幅頻曲線(xiàn)Fig．7 Experimental amplitude-frequency curve of acceleration response

按照數(shù)值算例的經(jīng)驗(yàn)，經(jīng)過(guò)40次迭代運(yùn)算，得到各參數(shù)辨識(shí)結(jié)果為:

為更形象地對(duì)比辨識(shí)結(jié)果，將上表所得參數(shù)代入方程(4)進(jìn)行數(shù)值仿真，所得位移響應(yīng)主諧波頻響與實(shí)測(cè)位移頻響的對(duì)比圖如下。

根據(jù)辨識(shí)得到的結(jié)構(gòu)參數(shù)，可得隔振器的載荷－位移曲線(xiàn)。

圖8 位移幅頻曲線(xiàn)對(duì)比Fig．8 Comparison of displacement’s amplitude-frequency curve

圖9 隔振器載荷－位移曲線(xiàn)Fig．9 Force-displacement curve of the isolator

至此，本文基本完成了非線(xiàn)性隔振裝置各結(jié)構(gòu)參數(shù)的辨識(shí)工作。通過(guò)圖8可以驗(yàn)證，本文辨識(shí)所得的各結(jié)構(gòu)參數(shù)具有較高的精度。從圖9可以看出該實(shí)驗(yàn)裝置具有的非對(duì)稱(chēng)特性。

4 結(jié)論

本文針對(duì)一類(lèi)特定的非線(xiàn)性隔振實(shí)驗(yàn)裝置，考慮偏置力(如重力等)對(duì)實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)的作用，建立了其非對(duì)稱(chēng)動(dòng)力學(xué)模型，使得模型更加準(zhǔn)確的描述了系統(tǒng)真實(shí)的動(dòng)態(tài)特性。

利用諧波平衡原理，構(gòu)造了系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)參數(shù)的迭代辨識(shí)算法，并通過(guò)數(shù)值仿真，驗(yàn)證了辨識(shí)方法的有效性。解決了由于位移響應(yīng)的剛性漂移信息的不準(zhǔn)確或缺失對(duì)辨識(shí)精度的不良影響。

通過(guò)辨識(shí)所得到的結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比，可以看出，此辨識(shí)算法對(duì)于具有非對(duì)稱(chēng)性特性的非線(xiàn)性實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)的參數(shù)辨識(shí)，有較高的辨識(shí)精度，也證明了本文針對(duì)非對(duì)稱(chēng)性所建立的模型的合理性。并為此類(lèi)隔振實(shí)驗(yàn)裝置的結(jié)構(gòu)參數(shù)辨識(shí)提供參考。

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Experimental identification method for the nonlinear vibration isolator with unsymmetrical dynamic characteristics

ZHANG Cheng-bo1，ZHANG Xiao-xu2，SONG Han-wen1
(1．School of Aerospace Engineering and Applied Mechanics，Tongji University，Shanghai 200092，China;2．Department of Mechanics and Engineering Science，F(xiàn)udan University，Shanghai 200433，China)

O322;TB123

A

國(guó)家自然科學(xué)基金(11032009)

2011－11－10修改稿收到日期:2012－01－05

張呈波男，碩士，1987年生

宋漢文男，博士，教授，1962年11月生