羅曉峰，項(xiàng)貽強(qiáng)

(1.浙江大學(xué) 土木工程系，杭州 310058;2.浙江工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，紹興 312000)

我國是一個(gè)多發(fā)地震國家，確保橋梁結(jié)構(gòu)在地震荷載下的安全運(yùn)營(yíng)具有十分重要的意義，以往的經(jīng)驗(yàn)表明進(jìn)行科學(xué)合理的抗震設(shè)計(jì)是減輕因地震造成損失的有效途徑，目前國內(nèi)外橋梁結(jié)構(gòu)的抗震設(shè)計(jì)中，反應(yīng)譜法、時(shí)程法以及隨機(jī)振動(dòng)法等傳統(tǒng)的計(jì)算方法已經(jīng)得到廣泛應(yīng)用［1-3］。由于地震地面運(yùn)動(dòng)實(shí)際上是一種隨機(jī)激勵(lì)，因此結(jié)構(gòu)的抗震設(shè)計(jì)以結(jié)構(gòu)的隨機(jī)地震響應(yīng)為基礎(chǔ)更為科學(xué)、合理。隨機(jī)振動(dòng)法以功率譜密度作為分析的核心，所以又稱功率譜法，這種方法可以較充分地考慮地震發(fā)生的統(tǒng)計(jì)概率特征，并且適合于跨度較大、結(jié)構(gòu)較復(fù)雜的多點(diǎn)支撐的橋梁，被認(rèn)為是一種較為先進(jìn)合理的分析工具，1995年，歐洲結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)規(guī)范(Eurocode 8)把功率譜方法作為結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)計(jì)算的工具［4-5］，我國現(xiàn)行的公路橋梁抗震設(shè)計(jì)規(guī)范也將功率譜法作為結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)計(jì)算的方法之一。Penzien等在80年代初曾將核電站管線簡(jiǎn)化后，分別從時(shí)域和頻域的角度研究了其在不均勻場(chǎng)地激勵(lì)下的安全問題，得出忽略參振振型之間的相關(guān)性和場(chǎng)地不均勻性都會(huì)導(dǎo)致很大的誤差;Lin等將輸油管線視為有多個(gè)支點(diǎn)的連續(xù)梁，用隨機(jī)振動(dòng)法研究了其抗震性能;Perotti、Harichandran等也研究了多點(diǎn)隨機(jī)振動(dòng)方法。上述方法由于計(jì)算效率低，且只能處理較簡(jiǎn)單的結(jié)構(gòu)，難以在實(shí)際的橋梁工程中得到廣泛地應(yīng)用。近年來，林家浩教授［1］從計(jì)算力學(xué)的角度提出了簡(jiǎn)單易行，計(jì)算效率較高，并在理論上屬精確算法的虛擬激勵(lì)法，張?bào)努|等［6］在傳統(tǒng)虛擬激勵(lì)法的基礎(chǔ)上，提出了一種計(jì)算非平穩(wěn)地震激勵(lì)下結(jié)構(gòu)峰值響應(yīng)均值的簡(jiǎn)便算法;江洋等［7］提出了一種只需少量振型即可獲得高精度的虛擬激勵(lì)算法—修正的絕對(duì)位移法。但是到目前為止，虛擬激勵(lì)法只是成功地解決了結(jié)構(gòu)線性隨機(jī)地震響應(yīng)計(jì)算的工作量問題，對(duì)于計(jì)入非線性的橋梁結(jié)構(gòu)的抗震分析，國內(nèi)外還還沒有較深入研究，因此探討與發(fā)展非線性體系隨機(jī)地震響應(yīng)的虛擬激勵(lì)法顯得十分迫切與重要［8］。

本文在統(tǒng)計(jì)等效線性化的基礎(chǔ)上，應(yīng)用FAP數(shù)值解法［9-11］，提出了一種簡(jiǎn)便、高效、實(shí)用的，可以考慮結(jié)構(gòu)非線性的改進(jìn)的虛擬激勵(lì)法，這種方法避開了分解位移和求解擬靜模態(tài)矩陣的復(fù)雜過程，可以在一般的通用有限元軟件中應(yīng)用。作為算例，以跨徑75m+55m的單塔雙索面預(yù)應(yīng)力混凝土斜拉橋?yàn)楸尘斑M(jìn)行抗震分析，應(yīng)用不同的抗震分析方法計(jì)算其位移、速度、加速度響應(yīng)功率譜密度，及其位移響應(yīng)歷程和軸力響應(yīng)值，說明基于統(tǒng)計(jì)線性化的絕對(duì)位移直接求解的虛擬激勵(lì)法的精確性。

1 統(tǒng)計(jì)線性化方法

1954年美國學(xué)者Booten［12］提出了一種可以處理非線性力學(xué)系統(tǒng)隨機(jī)響應(yīng)問題的方法—統(tǒng)計(jì)等效線性化方法，對(duì)于n個(gè)自由度的非線性力學(xué)系統(tǒng)可以用如下微分方程式表達(dá)，即:

式中［M］是一個(gè)n階的結(jié)構(gòu)質(zhì)量矩陣;［G({y}，{})］為非線性恢復(fù)力和阻尼力之和的等效矩陣。

建立與非線性系統(tǒng)等效的線性化方程:

式中［Ce］為等效粘阻系數(shù)矩陣，［Ke］等效剛度矩陣。

將式(1)與式(2)作差，于是得到:

式中{y}={y(cij，kij，t)}，為方程(2)的穩(wěn)態(tài)解，其中cij，kij為系數(shù)矩陣［Ce］，［Ke］的元素。

誤差矩陣［ε］是cij，kij的函數(shù)，統(tǒng)計(jì)線性化的實(shí)質(zhì)就是要求合理地選擇cij，kij，使

式中E是數(shù)學(xué)期望。

通過數(shù)學(xué)計(jì)算，可以求得式(4)的解，進(jìn)而求得非線性系統(tǒng)的等效線性剛度［Ke］和等效粘滯阻尼［Ce］。

2 絕對(duì)位移直接求解的虛擬激勵(lì)法

由文獻(xiàn)［1］中傳統(tǒng)虛擬激勵(lì)法的求解原理，可知在求解虛擬動(dòng)態(tài)相對(duì)位移和虛擬靜位移時(shí)，都需要計(jì)算并提取擬靜模態(tài)矩陣A=-·，十分麻煩，而且有些軟件沒有矩陣提取功能，所以一般不能在通用有限元軟件中求解，需編制相應(yīng)的專用求解程序，要解決這一問題，可參考文獻(xiàn)［7］。

為此，本文在文獻(xiàn)［13］研究的基礎(chǔ)上，提出了基于統(tǒng)計(jì)線性化的絕對(duì)位移直接求解的虛擬激勵(lì)法，具體實(shí)施如下:

將方程(2)寫成分塊矩陣的形式［1，13］:

式中yb代表N個(gè)支座的地面強(qiáng)迫位移，ys代表非支座節(jié)點(diǎn)的位移，F(xiàn)b代表地面作用于N個(gè)支座的力，下標(biāo)s，b代表結(jié)構(gòu)內(nèi)部節(jié)點(diǎn)自由度和支座節(jié)點(diǎn)自由度。

構(gòu)造虛擬加速度激勵(lì):

將與Mb的乘積作為Fb代入式(5)，可得:

將上式按第二行展開，得:

將上式兩邊同時(shí)乘以M-1b，得:

顯然，當(dāng)Mb為一大質(zhì)量，即Mb→∞時(shí)為零，則由式(8)可得支座虛擬加速度激勵(lì)為:

由上述可知，只需對(duì)支座賦予一大質(zhì)量塊，并對(duì)大質(zhì)量塊施加虛擬力激勵(lì)，即可實(shí)現(xiàn)虛擬加速度激勵(lì)的加載，則支座虛擬速度激勵(lì)和虛擬位移激勵(lì)為:

將式(6)按第一行展開，可得:

將式(10)代入式(11)，可以求得虛擬絕對(duì)位移?ys，按照虛擬激勵(lì)法，絕對(duì)位移的功率譜矩陣為:

關(guān)于傳統(tǒng)的隨機(jī)振動(dòng)求解原理，以及動(dòng)態(tài)相對(duì)位移自功率譜密度、擬靜態(tài)相對(duì)位移自功率譜密度及兩者之間的互功率譜密度的求解，很多學(xué)者對(duì)其進(jìn)行了深入的研究，這里不再贅述。

3 算例分析及比較

3.1 工程背景及模型信息

取一典型的橋長(zhǎng)130 m、跨徑布置為75+55 m的兩跨單塔雙索面預(yù)應(yīng)力混凝土斜拉橋?yàn)槔渌樟簽楣探Y(jié)的結(jié)構(gòu)體系。主梁截面為雙實(shí)心邊主梁大懸臂截面，主梁中心高1.9 m，頂板寬38 m，懸臂長(zhǎng)4.5 m，主梁側(cè)實(shí)心梁寬3 m，背跨側(cè)實(shí)心梁寬4 m，實(shí)心梁間頂板厚0.28 m。背跨部分梁段由于配重的需要而增設(shè)底板形成箱型截面。主梁采用雙向預(yù)應(yīng)力體系，主塔為鋼筋混凝土斜塔，塔中心線與水平夾角為75°，橋面以上垂直高為50.7 m，主塔采用變截面實(shí)心矩形，順橋向截面高度從3 m(塔頂部)變化到8 m(橋上塔根部):橫橋向?qū)挾葹?.5 m，用通用有限元軟件ANSYS進(jìn)行建模，主梁、主塔采用C50混凝土，斜拉索采用高強(qiáng)鋼絲PSEM7-241，典型主梁截面型式用有限元模擬如圖1所示，計(jì)算模型對(duì)塔用空間梁?jiǎn)卧猙eam4進(jìn)行離散，主梁用帶剛臂的空間梁?jiǎn)卧猙eam4簡(jiǎn)化為魚骨刺形，斜拉索采用link10單元，左橋端給予豎向平移自由度約束，右橋端給予橫向的平移自由度約束，索塔底部完全約束，索單元和梁?jiǎn)卧捎勉q約束，如圖2所示。

圖1 典型的主梁截面型式(單位:m)Fig.1 Typical girder section type(unit:m)

圖2 斜拉橋模型Fig.2 Mode of cable-stayed bridge

3.2 計(jì)算概要

為了驗(yàn)證絕對(duì)位移直接求解的虛擬激勵(lì)法的正確性，本文應(yīng)用統(tǒng)計(jì)線性化方法將體系線性化，之后采用有限元軟件中的隨機(jī)振動(dòng)模塊和諧響應(yīng)模塊進(jìn)行分析，線性化過程及問題的求解可參考文獻(xiàn)［9］，文獻(xiàn)中充分利用計(jì)算機(jī)的特點(diǎn)并結(jié)合FAP數(shù)值解法較好地解決了多自由度非線性系統(tǒng)在隨機(jī)激勵(lì)下的響應(yīng)問題，F(xiàn)AP是統(tǒng)計(jì)線性化方法的數(shù)值解法，能方便的用各種算法語言編制出相應(yīng)的計(jì)算機(jī)程序代碼，本文應(yīng)用FORTRAN 90編制了FAP算法的程序，以實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)的線性化，限于篇幅，不再贅述。

對(duì)于本文提出的絕對(duì)位移直接求解的虛擬激勵(lì)法，可以用簡(jiǎn)諧響應(yīng)分析中的Full法，隔振支座采用combin40，剛度為k=6×106N/m，模態(tài)分析時(shí)取前150階振型，振型參與質(zhì)量達(dá)到97%，以保證算法的足夠精度，在采用絕對(duì)絕對(duì)位移直接求解的虛擬激勵(lì)法時(shí)，在模型基底的4個(gè)支坐節(jié)點(diǎn)上附加mass21大質(zhì)量單元，大質(zhì)量單元與支座節(jié)點(diǎn)剛接，質(zhì)量取主橋質(zhì)量的106倍，然后釋放x，y方向自由度的約束，按上述理論提出的方法，對(duì)每個(gè)大質(zhì)量塊施加虛擬力然后進(jìn)行諧響應(yīng)分析，求得計(jì)入非線性后的虛擬激勵(lì)響應(yīng)，進(jìn)而按照式(12)求得絕對(duì)位移的功率譜密度矩陣。計(jì)算時(shí)輸入的功率譜采用由文獻(xiàn)［7］提出的GB50011-2001修正反應(yīng)譜模型迭代得到的實(shí)用地震動(dòng)功率譜［7，14-15］。一致地震動(dòng)參數(shù):7度設(shè)防，Ⅲ類場(chǎng)地，第一組設(shè)計(jì)地震分組，視波速取100m/s，相干函數(shù)采用L-W模型，整個(gè)結(jié)構(gòu)采用Rayleigh阻尼，取基底四個(gè)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行三向一致激勵(lì)(基地的四個(gè)節(jié)點(diǎn)分別為:左橋端約束節(jié)點(diǎn)、右橋端約束節(jié)點(diǎn)以及索塔底部橫橋向中心線兩側(cè)的約束節(jié)點(diǎn))。

3.3 絕對(duì)位移法與隨機(jī)振動(dòng)法的結(jié)果對(duì)比分析

圖3和圖4分別給出了該斜拉橋主跨和背跨跨中的響應(yīng)功率譜密度圖，包括位移、速度和加速度的響應(yīng)功率譜密度。

圖3 主跨跨中響應(yīng)功率譜密度對(duì)比圖Fig.3 Contrast of response power spectral density in the middle of main span

圖4 背跨跨中響應(yīng)功率譜密度對(duì)比圖Fig.4 Contrast of response power spectral density in the middle of back span

從計(jì)算結(jié)果可以看出，將體系線性化之后，兩種算法的計(jì)算結(jié)果基本一致，并且通過研究發(fā)現(xiàn)，其它主梁和主塔節(jié)點(diǎn)的響應(yīng)功率譜密度也有類似規(guī)律，說明絕對(duì)位移法的正確性。再者，通過觀察對(duì)比，發(fā)現(xiàn)絕對(duì)位移法計(jì)算得到位移、速度和加速度響應(yīng)功率譜密度值較之于隨機(jī)振動(dòng)法計(jì)算得到的值均偏小，從曲線與橫坐標(biāo)圍成的面積來分析，絕對(duì)位移法得到的地震隨機(jī)振動(dòng)波的均方值偏小，即施加給斜拉橋的能量偏小，說明隨機(jī)振動(dòng)法是一種偏于保守的抗震分析方法。

由于輸入的加速度功率譜密度的頻率范圍為0.48-15.9 Hz，因此圖中沒有體現(xiàn)頻率在0-0.48 Hz之間的曲線段，實(shí)質(zhì)上，在頻率為零的附近，輸入的激勵(lì)會(huì)導(dǎo)致結(jié)構(gòu)的響應(yīng)功率譜密度急劇增大，一般的功率譜密度模型會(huì)對(duì)地震動(dòng)低頻分量進(jìn)行合理縮減，在f=0時(shí)，功率譜密度一般為零［2］。對(duì)于位移和速度響應(yīng)功率譜，在f≥3 Hz之后，其值很小，因此在圖中沒有體現(xiàn)，對(duì)于加速度反應(yīng)譜，在f≥3 Hz后，其值有一定范圍的波動(dòng)，變化曲線如圖3、圖4的(c)圖所示。

絕對(duì)位移直接求解的虛擬激勵(lì)法與傳統(tǒng)的隨機(jī)振動(dòng)法相比，其計(jì)算結(jié)果的相對(duì)誤差如表1所示，由表中數(shù)據(jù)可以得出如下結(jié)論:

(1)兩種算法的計(jì)算結(jié)果基本接近，說明線性化后，絕對(duì)位移直接求解的虛擬激勵(lì)法在一定程度上可以代替?zhèn)鹘y(tǒng)隨機(jī)振動(dòng)法來研究結(jié)構(gòu)的抗震性能，此方法的優(yōu)越性具有如下幾點(diǎn):① 計(jì)算時(shí)不需要將絕對(duì)位移分解成擬靜力位移和動(dòng)態(tài)相對(duì)位移兩部分;②構(gòu)造虛擬激勵(lì)進(jìn)行簡(jiǎn)諧響應(yīng)分析時(shí)不需要計(jì)算擬靜模態(tài)矩陣A，簡(jiǎn)單易行;③ 其實(shí)質(zhì)并沒有改變傳統(tǒng)虛擬激勵(lì)法的基本原理，其計(jì)算效率也和傳統(tǒng)虛擬激勵(lì)法相當(dāng)。

(2)絕對(duì)位移法相比于隨機(jī)振動(dòng)法，加速度響應(yīng)功率譜密度的誤差最小，46號(hào)節(jié)點(diǎn)最大誤差僅為1.15%，154號(hào)節(jié)點(diǎn)最大誤差僅為1.37%，造成這一現(xiàn)象的主要原因是，在模型的前期分析時(shí)，輸入的激勵(lì)為加速度功率譜密度，所以在經(jīng)過一系列的計(jì)算后，其對(duì)應(yīng)的加速度響應(yīng)功率譜密度是最接近實(shí)際情況的，而位移、速度響應(yīng)功率譜密度經(jīng)過了比加速度響應(yīng)譜密度更多的計(jì)算步驟，使其誤差累積，所以46號(hào)節(jié)點(diǎn)位移功率譜密度最大誤差達(dá)到11.1%，154號(hào)節(jié)點(diǎn)位移功率譜密度最大誤差達(dá)到9.14%。

表1 兩種算法的誤差對(duì)比表Tab.1 Contrast of two algorithms'error

3.4 絕對(duì)位移法、時(shí)程法及譜分析的對(duì)比分析

目前抗振分析中，除上述提出的隨機(jī)振動(dòng)法和諧響應(yīng)分析法之外，譜分析和動(dòng)力時(shí)程法也是很重要的研究方法，動(dòng)力時(shí)程分析法其實(shí)質(zhì)為瞬態(tài)分析的Full法，可以考慮各種非線形因素，因此對(duì)于本文研究的算例，可以跳過線性化過程直接對(duì)其進(jìn)行動(dòng)力時(shí)程分析，計(jì)算時(shí)考慮隔陣支座，結(jié)構(gòu)為非正交阻尼體系，輸入的人工波按上述絕對(duì)位移法所采用的條件生成，地震作用采用雙向水平一致地震激勵(lì)，按照抗震規(guī)范，次方向的地震加速度乘以0.85的系數(shù)。

為了將上述時(shí)程分析的非線性結(jié)果與線性結(jié)果做對(duì)比分析，此處采用了文獻(xiàn)［7］提出的GB50011-2001修正反應(yīng)譜模型進(jìn)行譜分析，仍采用Rayleigh阻尼的形式，其它條件同上［16］。

圖5為主跨跨中節(jié)點(diǎn)和背跨跨中節(jié)點(diǎn)的位移時(shí)程圖，通過對(duì)比，可以發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律:

(1)由于譜分析是在線彈性范圍內(nèi)研究斜拉橋的位移響應(yīng)，因此較之于動(dòng)力時(shí)程法及線性化處理后的絕對(duì)位移法，其位移響應(yīng)值均偏小，相比于位移響應(yīng)最大的動(dòng)力時(shí)程法，最大偏差達(dá)到50%以上，說明在研究結(jié)構(gòu)的抗震性能時(shí)，必須考慮結(jié)構(gòu)的非線性，否則會(huì)引起較大誤差，使計(jì)算結(jié)果偏離真實(shí)值。

(2)計(jì)入非線性后的絕對(duì)位移法與動(dòng)力時(shí)程法的計(jì)算結(jié)果非常接近，對(duì)于46號(hào)節(jié)點(diǎn)X向位移最大誤差僅為7.8%，對(duì)于154號(hào)節(jié)點(diǎn)Y向最大誤差為7.3%，并且通過研究發(fā)現(xiàn)，其它主梁、主塔及斜拉索節(jié)點(diǎn)的位移響應(yīng)也有類似規(guī)律，說明線性化后的絕對(duì)位移法可以充分考慮結(jié)構(gòu)的非線性，可以作為抗震設(shè)計(jì)的一種行之有效的方法。

圖5 節(jié)點(diǎn)位移對(duì)比圖Fig.5 Contrast of node displacement

圖6 軸力響應(yīng)對(duì)比圖Fig.6 Contrast of axial force response

圖6為三種計(jì)算方法在一致地震動(dòng)作用下典型單元的Z向軸力響應(yīng)均值對(duì)比圖，從圖中可以看出，線性化后的絕對(duì)位移法求得的單元軸力響應(yīng)值最大，并且與動(dòng)力時(shí)程法計(jì)算出的單元軸力值基本相同，最大誤差僅為0.23%(主跨跨中附近的單元)，對(duì)于譜分析，其Z向軸力響應(yīng)值均偏小，較之于動(dòng)力時(shí)程法，最大誤差達(dá)到8%，說明非線性對(duì)結(jié)構(gòu)抗震性能有一定得影響，在橋梁結(jié)構(gòu)的抗震分析中必須加以考慮。

4 結(jié)論

(1)相比于傳統(tǒng)的虛擬激勵(lì)法，基于統(tǒng)計(jì)線性化的絕對(duì)位移直接求解的虛擬激勵(lì)法，首先充分考慮了結(jié)構(gòu)的非線性，使其抗震分析結(jié)果更加接近于真實(shí)情況;其次在計(jì)算時(shí)，不需要將絕對(duì)位移分解成擬靜力位移和動(dòng)態(tài)相對(duì)位移，在構(gòu)造虛擬激勵(lì)進(jìn)行簡(jiǎn)諧響應(yīng)分析時(shí)，不需要計(jì)算擬靜模態(tài)矩陣，可以在一般的通用有限元分析軟件中直接應(yīng)用，方便虛擬激勵(lì)法在實(shí)際工程中的應(yīng)用。

(2)體系線性化后，絕對(duì)位移法和隨機(jī)振動(dòng)法計(jì)算得到的節(jié)點(diǎn)響應(yīng)功率譜密度基本相同，說明絕對(duì)位移法的正確性，并且計(jì)算時(shí)輸出的響應(yīng)功率譜密度的精確性依賴于所輸入的激勵(lì)的類型。

(3)相比于動(dòng)力時(shí)程法及線性化處理后的絕對(duì)位移法，譜分析沒有考慮結(jié)構(gòu)的非線性，其節(jié)點(diǎn)位移響應(yīng)值和單元軸力響應(yīng)值均偏小，說明非線性對(duì)結(jié)構(gòu)的抗震性能有較大影響，在橋梁結(jié)構(gòu)的抗震分析中必須加以考慮。

(4)線性化后的絕對(duì)位移法與動(dòng)力時(shí)程法計(jì)算出的節(jié)點(diǎn)位移響應(yīng)值和單元軸力響應(yīng)值基本一致，說明基于統(tǒng)計(jì)線性化的絕對(duì)位移直接求解的虛擬激勵(lì)法與動(dòng)力時(shí)程法一樣，可以有效地分析和研究非線性體系的抗震性能，唯一要加以區(qū)別的是，采用絕對(duì)位移法進(jìn)行諧響應(yīng)分析時(shí)是以頻率為間隔輸入所需的激勵(lì)，而動(dòng)力時(shí)程法是以時(shí)間為間隔建立地震波數(shù)據(jù)，但其實(shí)質(zhì)是相同的。

(5)基于統(tǒng)計(jì)線性化的絕對(duì)位移直接求解的虛擬激勵(lì)法突破了隨機(jī)振動(dòng)計(jì)算效率低的瓶頸，并且比常規(guī)的反應(yīng)譜法更精確;其計(jì)算時(shí)間僅為動(dòng)力時(shí)程法的0.38倍(以本文所提算例為研究對(duì)象)，而且動(dòng)力時(shí)程法的計(jì)算結(jié)果過分依賴所選取的加速度時(shí)間歷程曲線，要使用許多條地震記錄曲線分別計(jì)算后再做統(tǒng)計(jì)平均，因此本文所提方法比動(dòng)力時(shí)程法更高效，可廣泛應(yīng)用于跨度較大，結(jié)構(gòu)較復(fù)雜的橋梁體系的抗震分析中。

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