歐建文 張雄

( 云南師范大學(xué)物理與電子信息學(xué)院 云南 昆明 650500)

李淑紅

(天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院 天津 300387)

鄭永剛

( 云南師范大學(xué)物理與電子信息學(xué)院 云南 昆明 650500)

無(wú)數(shù)實(shí)驗(yàn)已經(jīng)證明，微觀粒子具有波粒二象性，而波動(dòng)性的本質(zhì)是波的相干疊加，建立在疊加原理之上的量子計(jì)算、量子通信和量子密碼等高新科技已成為國(guó)內(nèi)外的研究熱點(diǎn)[1，2]．雙縫干涉實(shí)驗(yàn)是理解量子疊加原理最引人入勝的例子之一，包括干涉現(xiàn)象定量分析[3]、粒子退相干[4]、量子糾纏[5]等．

近年來(lái)，不斷有人從薛定諤方程或費(fèi)曼路徑積分的角度給出了自由粒子雙縫干涉現(xiàn)象的定量分析[6]，然而自然界中的粒子或多或少總是受到勢(shì)場(chǎng)的作用．例如，Covella，Overhausser和Werner在1975年進(jìn)行的中子干涉實(shí)驗(yàn)(稱(chēng)為COW實(shí)驗(yàn))證實(shí)了引力場(chǎng)以經(jīng)典方式作用于靜止質(zhì)量m≠0的粒子[7]．甚至靜止質(zhì)量m=0的粒子也受到引力場(chǎng)的作用，如用穆斯堡爾效應(yīng)證實(shí)了光子受重力場(chǎng)作用而產(chǎn)生引力紅移[8]．自由粒子是一種不受任何外場(chǎng)作用的理想物理狀態(tài)，因此討論勢(shì)場(chǎng)作用下粒子的雙縫干涉現(xiàn)象更具理論和現(xiàn)實(shí)意義．

本文運(yùn)用路徑積分的方法，詳細(xì)討論了諧振子勢(shì)和線(xiàn)性勢(shì)下粒子的雙縫干涉現(xiàn)象，給出兩種勢(shì)場(chǎng)下粒子的強(qiáng)度分布公式，并對(duì)干涉條紋作了定量分析．

1 雙縫干涉實(shí)驗(yàn)的路徑積分

粒子雙縫干涉實(shí)驗(yàn)裝置如圖1所示，雙縫中心間距為d，縫寬為a，雙縫到觀測(cè)屏的距離為D，取x軸沿粒子傳播方向，y軸沿縫寬方向．

圖1 粒子雙縫干涉實(shí)驗(yàn)裝置

當(dāng)t=t1時(shí)，粒子進(jìn)入狹縫，并在t=t2時(shí)刻到達(dá)觀測(cè)屏P．由費(fèi)曼的路徑積分理論，粒子經(jīng)狹縫S1，在t2時(shí)刻到達(dá)觀測(cè)屏P處的概率波幅為[9]

(1)

經(jīng)縫S2達(dá)觀測(cè)屏P處的概率波幅為

(2)

其中，K(r2t2,r1t1)是費(fèi)曼傳播子，t2時(shí)刻觀測(cè)屏的合振幅ψ1+ψ2，于是雙縫干涉的概率分布函數(shù)為|ψ1+ψ2|2．為方便起見(jiàn)，假設(shè)t1=0時(shí)，粒子到達(dá)雙縫處，其概率幅為1，即

(3)

由式(1)～(3)可見(jiàn)，觀測(cè)屏概率幅ψ1，ψ2與初始時(shí)刻的波函數(shù)無(wú)關(guān)，而是費(fèi)曼傳播子K(r2t2,r1t1)起決定作用，進(jìn)而影響雙縫干涉的概率分布．

2 諧振子勢(shì)粒子的雙縫干涉

(4)

其中T=t2-t1，當(dāng)ω→0時(shí)，諧振子傳播子退化為自由粒子傳播子．

把式(4)分別代入式(1)和式(2)，求積分

(5)

(6)

上述積分中，由于縫寬a?D，縫間距d?D，因此y′2可看作二階無(wú)窮小量而忽略．

t2時(shí)刻觀測(cè)屏的合振幅為

(7)

合振幅模的平方反映粒子的概率密度，因此粒子在觀測(cè)屏上的強(qiáng)度分布函數(shù)為

(8)

因此

(9)

由文獻(xiàn)[10]給出自由粒子干涉公式

(10)

圖2 諧振子勢(shì)下粒子的干涉強(qiáng)度分布圖

實(shí)線(xiàn)是自由粒子的干涉圖樣，與500 nm光波的楊氏雙縫實(shí)驗(yàn)的強(qiáng)度分布圖一致．虛線(xiàn)是受諧振子勢(shì)調(diào)控所得的粒子干涉圖樣．

圖3 等效雙縫間距變化曲線(xiàn)圖

由以上理論分析發(fā)現(xiàn)，我們可以在不改變雙縫干涉實(shí)驗(yàn)條件的情況下，通過(guò)變化入射粒子所受的諧振子勢(shì)場(chǎng)的角頻率，可以得到各種不同的干涉條紋．這或許在當(dāng)今新興的量子工程中極具理論意義．

3 線(xiàn)性勢(shì)下粒子的雙縫干涉

Feynman和Hibbs的專(zhuān)著[12]中給出了很多不同勢(shì)場(chǎng)下粒子傳播子的計(jì)算，其中包括自由粒子、諧振子、磁場(chǎng)中的粒子等的傳播子．在勢(shì)能變化不大的一定尺度范圍內(nèi)，勢(shì)場(chǎng)可以用線(xiàn)性勢(shì)逐步近似，因此對(duì)線(xiàn)性勢(shì)的分析顯得尤為重要．

在線(xiàn)性勢(shì)V(r)=Fr(F為常量)中粒子的傳播子[11]

(11)

其中T=t2-t1，把式(11)分別代入式(1)和式(2)，求積分

(12)

(13)

t2時(shí)刻觀測(cè)屏的合振幅為

(14)

取模的平方，得到粒子的強(qiáng)度分布函數(shù)

(15)

(16)

(17)

因此，線(xiàn)性勢(shì)下主極大位置為

(18)

圖4 線(xiàn)性勢(shì)下粒子的干涉強(qiáng)度分布圖

著名的引力場(chǎng)作用下的中子干涉實(shí)驗(yàn)(COW實(shí)驗(yàn))表明，干涉條紋的主極大會(huì)隨著引力勢(shì)的變化而發(fā)生移動(dòng)，這與我們的理論分析一致．COW實(shí)驗(yàn)與線(xiàn)性勢(shì)下的雙縫干涉之間的聯(lián)系將另文發(fā)表．

4 結(jié)論

通過(guò)上述分析，不論是自由粒子或是諧振子勢(shì)、線(xiàn)性勢(shì)作用下的粒子，干涉強(qiáng)度分布公式形式上都是一致的．由路徑積分過(guò)程分析可知，干涉強(qiáng)度分布公式與dy′的積分有關(guān)，而dy′取決于雙縫的形狀，即雙縫的形狀決定了強(qiáng)度分布公式的表達(dá)形式，這與經(jīng)典波動(dòng)光學(xué)的惠更斯-菲涅爾原理分析的結(jié)果一致．

參考文獻(xiàn)

1 薛鵬,郭光燦. 量子通信.物理,2002, 30(06):385～391

2 宋漢沖,龔黎華,周南潤(rùn).基于量子遠(yuǎn)程通信的連續(xù)變量量子確定性密鑰分配協(xié)議.物理學(xué)報(bào),2012,61(15):1～7

3 Tonomura A,Endo J,Matsuda T,Kawasaki T,Ezawa H,Am.J.Phys.1989,57:117

4 譚霞,張成強(qiáng),夏云杰.雙模場(chǎng)與原子相互作用中的量子糾纏和內(nèi)稟退相干.物理學(xué)報(bào),2006,55(5):2263～2268

5 胡要花,方卯發(fā),廖湘萍,等.二項(xiàng)式光場(chǎng)與級(jí)聯(lián)三能級(jí)原子的量子糾纏.物理學(xué)報(bào),2006,55(9): 4631～4637

6 劉曉靜,張佰軍,李海波,等.應(yīng)用量子理論方法研究中子雙縫衍射.物理學(xué)報(bào),2010,59(6):4117～4122

7 R.Collella,A.W.Overhauser,S.A.Werner,Phys.Rev Lett.1975,34:1472

8 R.V.Pound,G.A.Rebka.Phys.Rev.Lett.1960,4:274

9 曾謹(jǐn)言.量子力學(xué)卷Ⅱ.北京:科學(xué)出版社,2007.168

10 程守洙,江之永.普通物理學(xué).北京:高等教育出版社,2006.351

11 侯伯元,云國(guó)宏,楊戰(zhàn)營(yíng).路徑積分與量子物理導(dǎo)論.北京:科學(xué)出版社,2008.63

12 R.P.Feynman, A.R.Hibbs. Quantum Mechanics and Path Integral. McGraw-Hill,1965