王學(xué)文 何樂(lè)康 曹小芳 婁青青 曹晶

(湖南科技大學(xué)物理與電子科學(xué)學(xué)院 湖南 湘潭 411201)

在多年教學(xué)經(jīng)歷中，筆者深深地體會(huì)到很多學(xué)生物理學(xué)習(xí)得很努力，但物理成績(jī)始終難以提高，原因是受到了他們的數(shù)學(xué)水平的制約．很多物理問(wèn)題的解決都是用數(shù)學(xué)方法，是他們的數(shù)學(xué)水平嚴(yán)重影響了他們的物理水平；還有的學(xué)生數(shù)學(xué)水平還可以，但是由于不能靈活地把數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)以致用地用到物理問(wèn)題中來(lái)，所以解決物理問(wèn)題的水平也不高；而那些善于運(yùn)用數(shù)學(xué)手段分析解決物理問(wèn)題的學(xué)生卻學(xué)得輕松自如．能把物理問(wèn)題駕馭得很好的原因除了他們對(duì)物理知識(shí)的深刻理解外，更重要的是他們對(duì)物理與數(shù)學(xué)有清晰而正確的認(rèn)識(shí)．為此我們需要重新審視我們正在學(xué)習(xí)和運(yùn)用的物理學(xué)與數(shù)學(xué)．

1 數(shù)學(xué)的基本特點(diǎn)

在學(xué)習(xí)、工作和生活的經(jīng)歷中我們已察覺(jué)到數(shù)學(xué)具有這樣的特點(diǎn).

第一是數(shù)學(xué)的抽象性．其抽象性在簡(jiǎn)單的計(jì)算中就已經(jīng)表現(xiàn)出來(lái)．我們運(yùn)用抽象的數(shù)字，卻并不打算每次都把它們同具體的對(duì)象聯(lián)系起來(lái)，我們?cè)趯W(xué)校里學(xué)的是抽象的乘法表——總是數(shù)字的乘法表，而不是人數(shù)乘上梨的數(shù)目，或者是梨的數(shù)目乘上梨的價(jià)格等．同樣在幾何中研究的，例如是直線而不是拉緊了的繩子，并且在幾何線的概念中舍棄了所有性質(zhì)，只留下在一定方向上的伸長(zhǎng)．總之，關(guān)于幾何圖形的概念是舍棄了現(xiàn)實(shí)對(duì)象的所有性質(zhì)，只留下其空間形式和大小的結(jié)論，全部數(shù)學(xué)都具有這種抽象的特征．?dāng)?shù)學(xué)在它抽象方面的特點(diǎn)還在于：

(1)在數(shù)學(xué)抽象中首先保留量的關(guān)系和空間形式而舍棄其他一切．

(2)數(shù)學(xué)的抽象是經(jīng)過(guò)一系列階段而產(chǎn)生的．它們達(dá)到的抽象程度大大超過(guò)了自然科學(xué)中的一般抽象．

第二是數(shù)學(xué)的精確性或者更好地說(shuō)是邏輯的嚴(yán)格性以及結(jié)論的正確性．?dāng)?shù)學(xué)推理的進(jìn)行具有這樣的精密性，這種推理對(duì)于只要懂得它的每個(gè)人來(lái)說(shuō)，都是無(wú)可爭(zhēng)辯和確定無(wú)疑的．?dāng)?shù)學(xué)證明的這種精密性和確定性，在中學(xué)的課本中就已懂得了．?dāng)?shù)學(xué)真理本身也是完全不容爭(zhēng)辯的．

第三是數(shù)學(xué)應(yīng)用的極端廣泛性．?dāng)?shù)學(xué)應(yīng)用非常廣泛也是它的特點(diǎn)之一．

(1)我們經(jīng)常地、幾乎每時(shí)每刻地在生產(chǎn)、生活中運(yùn)用著最普通的數(shù)學(xué)概念和結(jié)論，然而并不意識(shí)到這一點(diǎn)．

(2)如果沒(méi)有數(shù)學(xué)，全部現(xiàn)代技術(shù)的產(chǎn)生和應(yīng)用都是不可能的．

(3)幾乎所有的科學(xué)部門(mén)都在多多少少地利用著數(shù)學(xué)．

太陽(yáng)系的八大行星之一的海王星是在用數(shù)學(xué)計(jì)算的基礎(chǔ)上被發(fā)現(xiàn)的；英國(guó)物理學(xué)家麥克斯韋概括了由實(shí)驗(yàn)建立起來(lái)的電磁現(xiàn)象規(guī)律，把這些規(guī)律表述為方程形式．他運(yùn)用純數(shù)學(xué)的方法從這些方程中推導(dǎo)出可能存在著電磁波，并且這種電磁波應(yīng)該以光速傳播著．根據(jù)這一點(diǎn)，他提出了光的電磁理論，這一理論后來(lái)被全面地發(fā)展和論證了．

2 物理學(xué)的基本特點(diǎn)

(1)物理學(xué)是一門(mén)實(shí)驗(yàn)和科學(xué)思維相結(jié)合的科學(xué)．實(shí)驗(yàn)是物理學(xué)的基礎(chǔ)，科學(xué)思維是物理學(xué)的生命．在物理學(xué)中，概念的形成、規(guī)律的發(fā)現(xiàn)和理論的建立都有堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)．

(2)物理學(xué)也是一門(mén)嚴(yán)密的理論科學(xué)．物理學(xué)是以基本概念和基本規(guī)律為主干而構(gòu)成一個(gè)完整的體系，其中基本概念、基本規(guī)律是中心，基本方法是紐帶．

(3)物理學(xué)又是一門(mén)精密的定量科學(xué)．自從伽利略開(kāi)創(chuàng)了把觀察、實(shí)驗(yàn)、抽象思維同數(shù)學(xué)方法相結(jié)合的研究途徑之后，物理學(xué)就迅速地發(fā)展成為一門(mén)精密的定量科學(xué)．

在物理學(xué)中，許多物理概念和物理規(guī)律具有定量的含義；物理學(xué)中的基本定律和公式都是運(yùn)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言予以精確表達(dá)的．此外，數(shù)學(xué)方法還是物理學(xué)研究的推理論證的工具和手段．物理學(xué)與數(shù)學(xué)有著密切的關(guān)系，物理學(xué)的研究離不開(kāi)數(shù)學(xué)這一有效的工具和手段，而數(shù)學(xué)的發(fā)展也依賴物理學(xué)這塊肥沃的土壤．許多物理問(wèn)題需要運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)求解，當(dāng)然，同時(shí)也有一些數(shù)學(xué)問(wèn)題需要借助物理原理進(jìn)行求解．物理學(xué)與數(shù)學(xué)無(wú)論在形式、內(nèi)容和方法等方面都具有互補(bǔ)性．

3 求解物理問(wèn)題的認(rèn)知特點(diǎn)與認(rèn)知過(guò)程

學(xué)生在學(xué)習(xí)物理過(guò)程中常常對(duì)求解物理問(wèn)題感到困難，其原因往往是他們習(xí)慣于用學(xué)習(xí)概念、規(guī)律的認(rèn)識(shí)方式來(lái)求解物理問(wèn)題，未能突出求解物理問(wèn)題的認(rèn)知特點(diǎn)的緣故．從認(rèn)知的角度考察，求解物理問(wèn)題具有自身的認(rèn)知特點(diǎn).

(1)在新情境中推廣、應(yīng)用物理知識(shí)．物理概念、規(guī)律學(xué)習(xí)是在典型的情境中對(duì)物理知識(shí)進(jìn)行理解，求解物理問(wèn)題是在各種新的情境中推廣、應(yīng)用物理知識(shí)．學(xué)生常常由于對(duì)引入或說(shuō)明概念、規(guī)律的典型情境十分熟悉，而產(chǎn)生一種思維定勢(shì)，對(duì)題目給的新情境不能很快適應(yīng)或錯(cuò)誤地把新情境按原來(lái)的典型情境加以處理．

(2)需要較為復(fù)雜的邏輯判斷．物理概念、規(guī)律的學(xué)習(xí)在進(jìn)行的邏輯推理和判斷時(shí)比較簡(jiǎn)明直接，而求解物理問(wèn)題卻需要較為復(fù)雜的邏輯判斷．在概念、規(guī)律教學(xué)中，教師為了使學(xué)生易于理解，充分利用學(xué)生原有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行的討論一般都直接指向?qū)⒁贸龅慕Y(jié)論．學(xué)生往往感到這種為得出結(jié)論而進(jìn)行的邏輯推理和判斷是思維的自然進(jìn)程．當(dāng)學(xué)生自己去解決問(wèn)題時(shí)，問(wèn)題的結(jié)論一般不是容易直接就能看出來(lái)的，而是需要學(xué)生進(jìn)行復(fù)雜的邏輯推理，對(duì)問(wèn)題的進(jìn)行方向獨(dú)立地做出判斷．

求解物理問(wèn)題的認(rèn)知過(guò)程，是把與具體環(huán)境問(wèn)題有關(guān)的信息和學(xué)生頭腦中已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)相聯(lián)系的過(guò)程．這個(gè)過(guò)程可以描繪成如圖1所示.

圖1 求解物理問(wèn)題認(rèn)知過(guò)程

從上面的方框圖可以看出，求解物理問(wèn)題有兩個(gè)重要的信息變化環(huán)節(jié)：識(shí)別現(xiàn)象和運(yùn)用規(guī)律．

(1)識(shí)別現(xiàn)象．感知問(wèn)題后，學(xué)生頭腦中首先進(jìn)行抽象思維，要識(shí)別這是什么物理現(xiàn)象？應(yīng)該屬于哪一類物理問(wèn)題？在這里，事物的非物理學(xué)屬性被拋棄，物理學(xué)的屬性被抽象出來(lái)了，這種抽象的結(jié)果便把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成物理模型．

(2)運(yùn)用規(guī)律．在認(rèn)識(shí)到要求解的物理問(wèn)題及所建立的物理模型的基礎(chǔ)之后，就觸發(fā)了一系列的解題思維活動(dòng)，利用相應(yīng)的規(guī)律列出有關(guān)的方程式．此后物理問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題了.這是另一個(gè)重要的信息變化環(huán)節(jié)．以后的運(yùn)算雖然還受物理?xiàng)l件制約，但主要受數(shù)學(xué)規(guī)律支配，是關(guān)于問(wèn)題的量的討論．

4 數(shù)學(xué)知識(shí)在物理問(wèn)題求解中的功能

數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的學(xué)科．任何事物都有一定的量，原則上都可以作為數(shù)學(xué)研究的對(duì)象．物理學(xué)是一門(mén)精確定量的科學(xué)，它與數(shù)學(xué)的關(guān)系最為密切．在解決物理問(wèn)題時(shí)，不僅要有定性的分析，更要得出定量的結(jié)果．解答物理問(wèn)題離不開(kāi)數(shù)學(xué)知識(shí)，數(shù)學(xué)知識(shí)的運(yùn)用是物理解題的一個(gè)不可缺少的內(nèi)在因素．?dāng)?shù)學(xué)知識(shí)在物理解題中的主要功能可以概括為以下幾個(gè)方面．

4.1 物理問(wèn)題一般要轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題

在把物理問(wèn)題向數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化的過(guò)程中，除了選擇合適的物理學(xué)方法，還要靈活地運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)．至于數(shù)學(xué)問(wèn)題推理計(jì)算求出結(jié)果的過(guò)程，更加明顯地說(shuō)明它是一個(gè)數(shù)學(xué)過(guò)程．可見(jiàn)，凡是需要定量分析的物理問(wèn)題，數(shù)學(xué)的運(yùn)用是必不可少的．

4.2 數(shù)學(xué)是描述物理問(wèn)題的語(yǔ)言

物理學(xué)中的數(shù)學(xué)與純數(shù)學(xué)的差異是由兩門(mén)學(xué)科各自的特點(diǎn)決定的．?dāng)?shù)學(xué)具有高度的符號(hào)化、抽象化、形式化、邏輯化、簡(jiǎn)單化的特點(diǎn)．客觀世界中的任何形式和關(guān)系，只要它們能夠抽象出來(lái)，并用一定的方式表達(dá)，即成為數(shù)學(xué)的研究對(duì)象，因此，數(shù)學(xué)具有廣泛的適用性，不承載任何真實(shí)的物理意義．物理學(xué)是研究物質(zhì)的基本結(jié)構(gòu)、基本相互作用和基本運(yùn)動(dòng)規(guī)律的學(xué)科，它以實(shí)驗(yàn)為基礎(chǔ)，以數(shù)學(xué)為思維語(yǔ)言和推理、計(jì)算工具來(lái)描述物理現(xiàn)象，揭示物理規(guī)律，所以物理學(xué)中的數(shù)學(xué)是生動(dòng)和具體的，符號(hào)是聯(lián)系數(shù)學(xué)與物理學(xué)之間的基本要素．

把物理問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題就是為物理問(wèn)題尋找一個(gè)相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，以數(shù)學(xué)為語(yǔ)言表達(dá)出物理量之間的相互關(guān)系，其一般步驟為：

(1)利用數(shù)學(xué)語(yǔ)言豐富、深化物理模型．如運(yùn)用已知數(shù)據(jù)進(jìn)行簡(jiǎn)化處理，進(jìn)行物理過(guò)程的定量分析等．通過(guò)找出數(shù)量關(guān)系，給物理模型加入定量的因素．

一旦波形確定,s和s′是可以提前求得的,這里認(rèn)為其是常數(shù)。以下是具體的估計(jì)過(guò)程,首先由于s遠(yuǎn)大于s′Δt1和v,可以先得到α1的粗估計(jì),

(2)用符號(hào)來(lái)表示物理量．符號(hào)是物理內(nèi)容的載體，它把復(fù)雜的事物代碼化，可以一目了然地加以把握感知對(duì)象．

(3)根據(jù)物理規(guī)律列出問(wèn)題中物理量間的關(guān)系，最后把物理問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)了物理過(guò)程的數(shù)學(xué)化．

4.3 數(shù)學(xué)是推理計(jì)算的工具

列出物理量間的關(guān)系式之后，下面的任務(wù)就是采用最好的方法，準(zhǔn)確地求出結(jié)果．這就要求善于利用一切學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)，靈活地求解問(wèn)題．應(yīng)該注意運(yùn)算的技巧，盡量簡(jiǎn)化運(yùn)算的程序．有的學(xué)生在理解題意，分析過(guò)程中花了很多精力，因而在求解運(yùn)算過(guò)程中就不愿多動(dòng)腦筋了，一味采用最基本的代入消元法或一開(kāi)始就代入數(shù)值進(jìn)行繁雜的數(shù)值運(yùn)算．其實(shí)，好的數(shù)學(xué)技巧一旦找到，計(jì)算時(shí)間就會(huì)大大減少．

5 物理解題與數(shù)學(xué)運(yùn)算的區(qū)別

雖然物理和數(shù)學(xué)的關(guān)系十分密切，物理解題離不開(kāi)數(shù)學(xué)，但是，物理解題與數(shù)學(xué)運(yùn)算還是有本質(zhì)區(qū)別的．物理是以實(shí)驗(yàn)為基礎(chǔ)的，它具有質(zhì)和量的統(tǒng)一性；而數(shù)學(xué)研究的是事物共有的數(shù)量關(guān)系和空間形式，它拋開(kāi)了其他具體內(nèi)容．因此，在把數(shù)學(xué)知識(shí)用于物理解題時(shí)，其適應(yīng)范圍要受到物理規(guī)律的制約，不能用數(shù)學(xué)方法代替物理概念．許多中學(xué)生亂套公式，一個(gè)很重要的原因就是按解數(shù)學(xué)題的習(xí)慣來(lái)解物理題．物理解題與數(shù)學(xué)運(yùn)算的顯著區(qū)別具體表現(xiàn)在：它們?cè)诮⒏髯缘哪Ｐ椭兴M(jìn)行的科學(xué)抽象不同，它們?cè)诮鉀Q實(shí)際問(wèn)題時(shí)所進(jìn)行的近似處理不同，它們?cè)谡撟C推理中所用的歸納方法不同，它們對(duì)得出結(jié)果的解釋不同．

5.1 數(shù)學(xué)抽象與物理抽象

數(shù)學(xué)抽象和物理抽象有著密切的關(guān)系．經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)抽象建立的數(shù)學(xué)模型與經(jīng)過(guò)物理抽象建立的物理模型之間有著不可分割的內(nèi)在聯(lián)系．?dāng)?shù)學(xué)上有幾何點(diǎn)的模型，物理上有質(zhì)點(diǎn)、點(diǎn)光源、點(diǎn)電荷等模型；數(shù)學(xué)上有線的概念，物理上有光線、電場(chǎng)線、磁感線等模型；數(shù)學(xué)上有面的概念，物理上就有面電荷、等勢(shì)面等模型．

數(shù)學(xué)抽象和物理抽象有著本質(zhì)上的區(qū)別．?dāng)?shù)學(xué)抽象是高度、嚴(yán)密的抽象，它僅保留了量的關(guān)系和空間形式而放棄了一般的具體現(xiàn)象；而物理抽象則沒(méi)有數(shù)學(xué)抽象那樣的高度和嚴(yán)格，仍然具有若干物理實(shí)體的共同特征，而且物理抽象是有條件的，它隨著具體問(wèn)題的不同而發(fā)生變化．?dāng)?shù)學(xué)模型高度抽象的共性與物理模型一般抽象的特殊性、數(shù)學(xué)模型高度的思辨性與物理模型的實(shí)踐性、數(shù)學(xué)模型廣泛的適用性與物理模型具體的局限性都是它們本質(zhì)屬性不同的根本表現(xiàn)．比如說(shuō)數(shù)學(xué)中的點(diǎn)，只表示空間的一個(gè)位置，它的其他物質(zhì)屬性都不存在了．與此相應(yīng)的物理中的質(zhì)點(diǎn)，雖然也是一種抽象，但它的抽象程度不如數(shù)學(xué)中的抽象程度高，它沒(méi)有大小，但具有質(zhì)量，而且一個(gè)實(shí)際物體能否抽象為質(zhì)點(diǎn)也是相對(duì)的．在解物理題時(shí)，要注意兩種抽象的區(qū)別，不要用數(shù)學(xué)抽象局限或代替物理抽象．

5.2 數(shù)學(xué)近似和物理近似

5.3 數(shù)學(xué)歸納法和物理歸納法

數(shù)學(xué)歸納法是極其嚴(yán)格的，它通過(guò)一次或幾次驗(yàn)證加一次推理來(lái)完成．用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明一個(gè)命題成立是天衣無(wú)縫的．而物理歸納法則不然，它通過(guò)多次(但是有限次)實(shí)驗(yàn)來(lái)歸納出物理規(guī)律．物理歸納法不可能像數(shù)學(xué)歸納法那樣嚴(yán)密推證、天衣無(wú)縫，而是存在漏洞．不過(guò)，用物理歸納法得出的結(jié)論是以實(shí)踐來(lái)驗(yàn)證的．一旦實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)結(jié)論與實(shí)驗(yàn)不符，該結(jié)論就被否定．

5.4 物理解和數(shù)學(xué)解

經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)推理計(jì)算得出的物理問(wèn)題的結(jié)果應(yīng)當(dāng)受到物理規(guī)律的制約，有時(shí)得到的結(jié)果在數(shù)學(xué)上看是完全正確的，但在物理上是錯(cuò)誤的．這就是說(shuō)，數(shù)學(xué)解不等于物理解．用數(shù)學(xué)知識(shí)求出結(jié)果后，應(yīng)當(dāng)用物理規(guī)律衡量其是否有實(shí)際意義．如果結(jié)果只在數(shù)學(xué)上有意義而在物理上沒(méi)有意義，說(shuō)明在前面識(shí)別物理現(xiàn)象和分析物理過(guò)程的環(huán)節(jié)上存在錯(cuò)誤，應(yīng)重新加以考慮并建立起正確的數(shù)學(xué)方程式．

總之，數(shù)學(xué)既是進(jìn)行辯證思維的有利工具，又是表達(dá)辯證思想的科學(xué)語(yǔ)言和邏輯形式．因此，從學(xué)習(xí)物理基礎(chǔ)知識(shí)開(kāi)始，就要注意如何應(yīng)用數(shù)學(xué)方法解決物理問(wèn)題．不論是物理實(shí)驗(yàn)中的測(cè)量和計(jì)算，還是概念的定義、定律的表達(dá)、習(xí)題的答解等，都要注意正確的運(yùn)用數(shù)學(xué)方法．要把培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決物理問(wèn)題的能力作為物理教學(xué)的一個(gè)重要課題．

參考文獻(xiàn)

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