林景波，郭洪霞

(延邊大學(xué) 理學(xué)院物理系，吉林 延邊 133002)

1916年德國(guó)物理學(xué)家索末菲根據(jù)經(jīng)典力學(xué)有心力場(chǎng)中質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的一般規(guī)律，提出橢圓軌道的理論，索末菲在他所提出的理論中主要做了兩件事，其一是把玻爾的圓形軌道推廣為橢圓軌道，其二是引入相對(duì)論修正并推廣了量子化條件．在此基礎(chǔ)上計(jì)算出氫原子平面橢圓軌道的形狀和能量，提出了空間量子化的概念.還考慮到電子在軌道上運(yùn)動(dòng)速度的變化對(duì)原子的能量所引起的相對(duì)論修正，使玻爾理論得到了進(jìn)一步的發(fā)展，并希望由此解釋光譜的精細(xì)結(jié)構(gòu)[1]．

1 玻爾-索末菲軌道條件

玻爾-索末菲量子化條件可以表示為

∮pqdq=nqhnq=1，2，3，…

(1)

其中q廣義坐標(biāo)；pq是與q對(duì)應(yīng)的廣義動(dòng)量，即角動(dòng)量或線動(dòng)量；積分∮表示對(duì)一周期進(jìn)行積分.[2]

1.1 二維量子化條件

如果電子繞原子核在一個(gè)平面上作橢圓運(yùn)動(dòng)，假定原子核不動(dòng)，并使它處于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上，那么電子在橢圓軌道上的運(yùn)動(dòng)就是二個(gè)自由度的運(yùn)動(dòng)．用極坐標(biāo)來描述電子在橢圓運(yùn)動(dòng)中的位置，與坐標(biāo)φ和γ對(duì)應(yīng)的動(dòng)量是角動(dòng)量pφ和徑向動(dòng)量pr．

電子在二維空間運(yùn)動(dòng)，我們可以將(1)式在極坐標(biāo)系中的表示為

∮pφdφ=nφh

(2a)

∮prdr=nrh

(2b)

式中nφ，nr分別為角量子數(shù)和徑量子數(shù)[3]，令n=nr+nφ，其中的n取正整數(shù)，稱為主量子數(shù)．由此可知粒子作平面運(yùn)動(dòng)的橢圓軌道是量子化的．

電子運(yùn)動(dòng)的角動(dòng)量和徑向動(dòng)量為

即得

pφ∮dφ=pφ·2π=nφh

角動(dòng)量為

pφ=nφ?

(3)

1.2 徑向量子化條件

粒子徑向方向的動(dòng)量為

(4)

圖1 極坐標(biāo)下橢圓軌道

將上式代入(4)式中并積分

故

由橢圓軌道半長(zhǎng)軸a和半短軸b的關(guān)系知

其中

(5a)

(5b)

折合質(zhì)量表示μ為

(6)

me為粒子的質(zhì)量，M為原子核的質(zhì)量．

2 量子化條件的應(yīng)用

2.1 一維諧振子系統(tǒng)

x=x0sinωt

位移隨時(shí)間微分方程為

dx=x0ωcosωtdt

(7a)

動(dòng)量為

根據(jù)量子化條件∮pdx=nh(代入上面的x，p并對(duì)一個(gè)周期求積分)得

由此得到諧振子的能量

(7b)

2.2 氫原子的“軌道半徑”rn和能量En

J=mcvr=n?

(8a)

對(duì)于圓軌道有

(8b)

電子在核庫(kù)侖勢(shì)中的能量為

(8c)

由(8a，b)二式可以得到軌道半徑為

(8d)

將(8a，d)代入到(8c)得到能量為

玻爾-索末菲軌道條件在解決氫原子問題上與量子力學(xué)中的結(jié)果相同，根據(jù)玻爾假設(shè)可以直接解釋氫原子的光譜問題，理解軌道量子化和能量量子化的概念．

根據(jù)索末菲量子化條件：

∮pqdq=nqh

(9a)

得到電子的半徑為

(9b)

在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的帶電粒子其半徑是量子化，由此可以推知能量必然是量子化的．

3 結(jié)語

從上面的推導(dǎo)和分析中可以看出，應(yīng)用玻爾-索末菲軌道條件能夠分析出體系的守恒量，可以根據(jù)守恒量的特性，直接計(jì)算體系的力量和能量，不用計(jì)算大量的微積分即可以得到該物理量微觀表達(dá)式．

索末菲量子化條件成功地解釋了一維諧振子、氫原子等微觀粒子的微觀問題，并且解決方法簡(jiǎn)單、直觀、容易計(jì)算．體現(xiàn)了經(jīng)典理論與量子理論的結(jié)合，突出了物理思想與數(shù)學(xué)模型的聯(lián)系．并且避免了薛定諤方程所帶來的數(shù)學(xué)上的困難或僅簡(jiǎn)單給出結(jié)果的缺陷．

參考文獻(xiàn)：

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[3]趙寶明，李海容，郭志權(quán).索末菲定態(tài)橢圓軌道的推導(dǎo)[J].鞍山科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2005(28).

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