當(dāng)前，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革和發(fā)展的總趨勢(shì)應(yīng)該是發(fā)展思維，培養(yǎng)能力。要達(dá)到這一要求教師的教學(xué)就必須從優(yōu)化學(xué)生的思維入手，把創(chuàng)新教育滲透到課堂的每一個(gè)環(huán)節(jié)中，激發(fā)和培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)。學(xué)生的探究能力、創(chuàng)新能力的培養(yǎng)就成了現(xiàn)代教學(xué)的重中之重。我根據(jù)多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)積累對(duì)數(shù)學(xué)探索性試題的分類與解題方法進(jìn)行了一些探索。

一個(gè)數(shù)學(xué)問題中，通常包括四個(gè)部分：已知條件（應(yīng)用題表現(xiàn)為背景資料）、解題依據(jù)、解題方法和結(jié)論。如果這四部分齊備，就稱之為封閉性問題；若這四部分不齊備，就稱之為開放性問題。其中探索性問題是開放性問題中的一種，開放性問題通常是缺少四部分中的兩部分。這樣的問題既能達(dá)到考察學(xué)生能力的目的，又不至于讓學(xué)生因過于開放而無從下手，他的解題思路若隱若現(xiàn)解題方法若有若無，需要通過對(duì)問題的觀察、分析、嘗試、判斷、歸納、總結(jié)等過程體現(xiàn)學(xué)生的思維能力、分析問題、解決問題的能力，是一種深受廣大教育工作者和出題者歡迎的題型，已經(jīng)成為并將繼續(xù)成為高考中的的熱點(diǎn)問題。

一、探索性試題的分類

1.條件追溯型。這種題目中常用“當(dāng)滿足什么條件時(shí)，能得到相應(yīng)的結(jié)論”的語(yǔ)句，需在解題時(shí)，假設(shè)有了相應(yīng)的結(jié)論，然后執(zhí)果索因，尋找能使該結(jié)論成立的充分條件。

例1.如圖1，已知平行六面體的面是菱形，且，（1）求證；（2）假定記面為，面為，求二面角的平面角的余弦值；（3）當(dāng)?shù)闹禐槎嗌贂r(shí)，能使平面本題的第（3）問是探索性試題，？ 正是我們需要追溯的條件。

2.結(jié)論探索型。這種題型往往沒有給出結(jié)論，而要求解題者根據(jù)已有的信息“猜想、推理、探求”出相應(yīng)的結(jié)論。這種題型多出現(xiàn)在早期的探索性試題用數(shù)學(xué)歸納法解決的問題中。

例2.已知數(shù)列中，，（）.（1）求出 并猜想的表達(dá)式；（2）請(qǐng)證明你的猜想。

3.存在判斷型。這類題型是探索性試題中的最主要成員，題目中大多直接尋問“是否存在”；并要求“若存在，給出證明；若不存在，請(qǐng)說明理由”。

例3.如圖2，三棱錐中，1，是否存在滿足上述條件的三棱錐，使二面角的平面角為？如果存在，求出線段的長(zhǎng)。請(qǐng)找出合適的角度，使得存在這樣的三棱錐，其二面角的平面角的大小。

例4.已知直線與橢圓（且為整數(shù)）交于兩點(diǎn)，為橢圓短軸上頂點(diǎn)，若的重心恰為橢圓焦點(diǎn)。

（1）求橢圓方程；

（2）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，問在橢圓上是否存在一點(diǎn) 使得，并證明你的結(jié)論；

（3）是否存在斜率不為0的直線相交于不同的兩點(diǎn)且？如果存在，求直線在軸上截距的取值范圍；如果不存在，請(qǐng)說明理由。

4.尋找依據(jù)型。這一類問題分不清條件與結(jié)論，而要解題者尋找能由哪些條件得到哪些結(jié)論。

例5.設(shè)相交直線L1，L2確定的平面為，L與L1、L2均是異面直線，給出四個(gè)論斷：（1）L與L1成60°角；（2）L與L2成60°角；（3）L3是L在上的射影；（4）L1與L2所成的角平分線是L3，以其中的三個(gè)論斷作為條件，余下一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題。

5.方法探究型。這樣的題目往往是為了達(dá)到某個(gè)目的，請(qǐng)解題者設(shè)計(jì)一個(gè)方案，以達(dá)到最省錢、最省料、最合理、利潤(rùn)最高等要求。

例6.某工廠有一容量為300噸的水箱，每天早晨6時(shí)起到晚上10時(shí)止，供應(yīng)該廠的生產(chǎn)和生活用水，已知該廠的生活用水為每小時(shí)10噸，工業(yè)用水的用水量W（噸）與時(shí)間 （小時(shí)）滿足關(guān)系式W=100，且規(guī)定早晨6時(shí)=0，水塔的進(jìn)水量分為10級(jí)，第一級(jí)每小時(shí)進(jìn)水10噸，以后每提高1級(jí)，每小時(shí)進(jìn)水量就增加10噸，若某天水塔原有水100噸，在開始供水時(shí)同時(shí)打開進(jìn)水管問進(jìn)水量選擇第幾級(jí)時(shí)，既能保證該廠的用水，又不會(huì)使水溢出。

二、解探索性試題的常用方法

1.直覺判斷法

例7，a是常數(shù)，滿足 ，判斷 是否為周期函數(shù)。

解析：憑直覺是周期函數(shù)，而且與常數(shù)a有關(guān)系，可能是a的倍數(shù)。

（顯然≥） 因此是周期函數(shù)。

當(dāng)然直覺判斷必須準(zhǔn)確，如果結(jié)論是不存在卻判斷成存在，那將背道而馳，南轅北轍。

2.認(rèn)可求證法

例如上面的例1的第（3）問，可以先假設(shè)面后再去探求等于多少？

解析如下：

本題原來的解法是直接猜想=1，再加以證明，但大多數(shù)同學(xué)無法直接猜測(cè)出這一結(jié)果，我在這里給出了使用第級(jí)注水方式一個(gè)完整的探索過程，才更加符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和思維方式。

3.預(yù)設(shè)探求法

例如例6，先假設(shè)使用第級(jí)注水方式，設(shè)池中時(shí)刻的水為則為了保證池中任何時(shí)刻不能沒有水，也不能有水溢出，所以0<≤300恒成立，即無論取多少總有0<（1）與（2）恒成立，所以對(duì)于（1）式有△<0 因?yàn)?≤t≤16所以對(duì)于（2）式有，所以 .

遇到這樣的題目，若不知道該采用何中方案，可先假設(shè)第級(jí)注水方式，即預(yù)設(shè)了一個(gè)方案，然后再根據(jù)要求一步一步地解決。

4.尋求模型法

例7.是否存在這樣的函數(shù)，使且，若存在，求出的解析式，若不存在說明理由。

解析；∵，∴聯(lián)想到這就是本題涉及的一個(gè)函數(shù)模型。

令，∴從而推測(cè)然后再用數(shù)學(xué)歸納法證明。

5.數(shù)形結(jié)合法

探索某些具有幾何意義的問題，或用純代數(shù)方法解決時(shí)非常麻煩的問題，則可考慮采用數(shù)形結(jié)合的方法。

6.數(shù)學(xué)歸納法

這種方法被普遍運(yùn)用，這兩種方法就不再舉例說明。

【作者簡(jiǎn)介】朱亮，男，漢族，籍貫：黑龍江省克山縣，畢業(yè)學(xué)校：齊齊哈爾大學(xué)，數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)，理學(xué)學(xué)士學(xué)位，東北師范大學(xué)教材與課程論專業(yè)、研究生結(jié)業(yè)，工作單位：克山縣第一中學(xué)，職稱：中學(xué)一級(jí)，研究方向：高中高效課堂。