本文所指的圓錐曲線綜合題，指以直線與圓錐曲線的位置關(guān)系為背景，考查考生運(yùn)用代數(shù)方法研究圓錐曲線性質(zhì)的一類綜合題。此類問題是高考的必考內(nèi)容。解決此類問題是否有一個(gè)基本的操作范式，可以讓學(xué)生有依可循？尋找求解圓錐曲線綜合題的算法就是本節(jié)復(fù)習(xí)課的目標(biāo)。下面按照教學(xué)設(shè)計(jì)的基本要素展開敘述。

教學(xué)任務(wù)分析：

圓錐曲線的綜合題對(duì)學(xué)生來說是一個(gè)難以逾越的坎，原因主要有以下方面：1、知識(shí)的綜合性強(qiáng)，涉及到了圓錐曲線的概念、方程、性質(zhì)，在解決問題時(shí)往往要用到函數(shù)、方程、不等式、導(dǎo)數(shù)、向量等數(shù)學(xué)主干知識(shí)。2、變量多，學(xué)生不能準(zhǔn)確地引入變量，采取有效地措施處理多個(gè)變量之間的關(guān)系3、運(yùn)算量大，需要學(xué)生有較強(qiáng)的運(yùn)算能力與細(xì)心、恒心等數(shù)學(xué)品質(zhì)。4、要求學(xué)生有較強(qiáng)的分析問題與解決問題的能力，能自覺地運(yùn)用化歸、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想解決問題。降低此類問題的難度，增強(qiáng)學(xué)生成功求解的信心，是提高得分率的關(guān)鍵。本節(jié)課的任務(wù)就是學(xué)生通過求解09高考浙江省理科第21題，能夠概括、總結(jié)出基本的解題步驟，構(gòu)建出解決此類問題的算法。學(xué)生能初步掌握?qǐng)?zhí)行算法的每一步驟中相應(yīng)的策略性知識(shí)。

教學(xué)情境設(shè)計(jì)：

呈現(xiàn)問題，學(xué)生獨(dú)立求解

教師給出如下問題：（浙江卷理21）已知橢圓：的右頂點(diǎn)為，過的焦點(diǎn)且垂直長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為．

（I）求橢圓的方程；

（II）設(shè)點(diǎn)在拋物線：上，在點(diǎn)處的切線與交于點(diǎn)．當(dāng)線段的中點(diǎn)與的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等時(shí)，求的最小值．

先由學(xué)生得出問題（I）的答案，再由全班學(xué)生獨(dú)立求解問題（II），時(shí)間12 分鐘左右。并由一名中等以上程度的學(xué)生板演問題（II）。教師在班級(jí)巡視、觀察，了解學(xué)生的解題過程與困難，為后面有針對(duì)性的分析作好準(zhǔn)備。

二、分析學(xué)生解題表現(xiàn)，點(diǎn)撥難點(diǎn)并形成策略

分析學(xué)生的解題表現(xiàn)，總的思路是先整體概括出解題的步驟構(gòu)成，再?gòu)木植糠治雒恳徊襟E中采用的策略，教師引導(dǎo)學(xué)生概括出解題的步驟主要有三大步：引入變量，表示出直線方程； 聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，建立變量的等量關(guān)系；分析變量之間存在的等式與不等式，轉(zhuǎn)化成函數(shù)問題。

對(duì)于第一步恰當(dāng)?shù)匾胱兞渴菃栴}解決的基礎(chǔ)。比如本題學(xué)生可能有兩種引入方法，一種是設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為利用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)可知拋物線在點(diǎn)P處的切線斜率為，直線MN的方程為，引入的變量只有一個(gè)就是，另一種是設(shè)直線的方程是：，利用直線與拋物線相切，直線與橢圓相交，可得出之間存在三個(gè)關(guān)系：，，。對(duì)于這三個(gè)式子先處理哪一個(gè)？式子如何整理？都需要學(xué)生分析。比較這兩種方法可知，變量引入方式的不同，導(dǎo)致解題難度、解題長(zhǎng)度不同。由于學(xué)生不容易解決多變量的問題，因而要求學(xué)生在引入變量時(shí)要分析原問題中獨(dú)立變量的個(gè)數(shù)，盡量讓問題顯得簡(jiǎn)單，有利于自己把握。

第二步建立變量之間存在的等量關(guān)系是問題解決的關(guān)鍵。變量之間等量關(guān)系建立的途徑是把問題中的幾何條件轉(zhuǎn)化成坐標(biāo)之間代數(shù)關(guān)系，然后利用韋達(dá)定理得到變量之間的等量關(guān)系。本問題不存在轉(zhuǎn)化的困難，改成如下條件：，或?yàn)殇J角，引導(dǎo)學(xué)生利用向量思想分別轉(zhuǎn)化成與，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可得出相應(yīng)的坐標(biāo)之間的代數(shù)關(guān)系。第二步驟的分析中讓學(xué)生學(xué)會(huì)簡(jiǎn)化運(yùn)算，在解題時(shí)要具備以下意識(shí)：概念的意識(shí)—根據(jù)定義解題是最基本的方法；設(shè)而不求的意識(shí)—設(shè)有關(guān)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，靈活運(yùn)用韋達(dá)定理；向量的意識(shí)—用向量的運(yùn)算處理有關(guān)角度，長(zhǎng)度、平行、垂直、共線等問題。

第三步是分析變量之間的代數(shù)關(guān)系，轉(zhuǎn)化成特定的代數(shù)問題并準(zhǔn)確求解是問題解決的核心部分。學(xué)生也往往是在這一步半途而廢。本例中分析組成的一條不等式與等式（這里參考標(biāo)準(zhǔn)答案，見附錄）①，②，可轉(zhuǎn)化成函數(shù)與方程的問題。對(duì)于式②可利用方程有解的角度得出，也可化成求函數(shù)值域的方法，得出或。由于式①是一個(gè)復(fù)雜的四次不等式，學(xué)生的困難會(huì)表現(xiàn)在不知如何否定？，標(biāo)準(zhǔn)答案給出的方法很簡(jiǎn)單，然而很少有學(xué)生具備標(biāo)準(zhǔn)答案給出的數(shù)的估算意識(shí)。這是一個(gè)考驗(yàn)高手的地方。教師要讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到雖然把幾何問題轉(zhuǎn)化成了一個(gè)代數(shù)問題，但這個(gè)代數(shù)問題不能脫離原來的幾何背景，可有如下辦法：重新審題可知這兩個(gè)變量的關(guān)系是存在的值使得關(guān)于的不等式①有解，方程②有解，這樣比較自然的是利用兩個(gè)判別式，，得出；數(shù)形結(jié)合，觀察當(dāng)時(shí)拋物線在橢圓的下方不符合條件，也可以觀察動(dòng)點(diǎn)P的位置只能在軸的左邊，這些都是否定明智的辦法。然后在的條件下代入式①肯定。

概括解題步驟，形成求解一類問題的算法

用流程圖給出求解圓錐曲線綜合題的算法：

提供配套練習(xí)，形成技能

為了使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)每一步驟中的解題策略，要件相應(yīng)的練習(xí)。布置學(xué)生做2009年江蘇省、遼寧省、天津市三個(gè)地區(qū)的理科試題中解析幾何的解答題。

附錄一：浙江卷理21的答案

解析：（I）由題意得所求的橢圓方程為，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

（II）不妨設(shè)則拋物線在點(diǎn)P處的切線斜率為，直線MN的方程為，將上式代入橢圓的方程中，得，即，因?yàn)橹本€MN與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以有，

設(shè)線段MN的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，則，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

設(shè)線段PA的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，則，由題意得，即有，其中的或；

當(dāng)時(shí)有，因此不等式不成立；因此，當(dāng)時(shí)代入方程得，將代入不等式成立，因此的最小值為1．