摘要：本文針對(duì)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，比較多的學(xué)生解決問(wèn)題的能力不高這一現(xiàn)狀，研究提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力的有效方法——學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化。解決問(wèn)題就是“由未知到已知，由難到易，由復(fù)雜到簡(jiǎn)單、由陌生到熟悉的轉(zhuǎn)化”。實(shí)踐證明，誰(shuí)學(xué)會(huì)了轉(zhuǎn)化，誰(shuí)就擁有了解決問(wèn)題的金鑰匙。

關(guān)鍵詞：化歸 解決問(wèn)題 能力

目前，在轟轟烈烈的新課程改革中，數(shù)學(xué)教育的發(fā)展趨勢(shì)已從偏重純知識(shí)教學(xué)轉(zhuǎn)向?qū)W習(xí)方法和能力培養(yǎng)的研究。數(shù)學(xué)教學(xué)的目的是讓學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)，了解和掌握基本的思想和方法。在新課程教學(xué)中，教師的任務(wù)不僅是教會(huì)學(xué)生記住某些知識(shí)，也不是生吞活剝地告訴學(xué)生一些例題的解法，重要的是讓學(xué)生具有運(yùn)用這些知識(shí)去分析、解決有關(guān)問(wèn)題的能力。由知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力，并不是一個(gè)無(wú)師自通的自然的過(guò)程，而是需要教師在平時(shí)教學(xué)中經(jīng)常加于點(diǎn)拔引導(dǎo)，啟發(fā)學(xué)生如何思考、如何聯(lián)想，讓學(xué)生在教師的點(diǎn)拔下能夠自主地尋找規(guī)律，才能把學(xué)到的有限知識(shí)轉(zhuǎn)化為解決問(wèn)題的一種能力。這種轉(zhuǎn)化是一種學(xué)習(xí)的飛躍過(guò)程，是每一個(gè)教師都希望自己能夠達(dá)到的教學(xué)目的。著名的數(shù)學(xué)家波利亞在《怎樣解題》中寫(xiě)道：“把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)等價(jià)的問(wèn)題，把原問(wèn)題化歸為一個(gè)已解決的問(wèn)題，去考慮一個(gè)可能相關(guān)的問(wèn)題，……”。轉(zhuǎn)化意識(shí)是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的解題意識(shí)，充分重視這種意識(shí)，可提高學(xué)生的思維素質(zhì)，從本質(zhì)上提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力。

轉(zhuǎn)化能力往往體現(xiàn)在數(shù)學(xué)解題之中。數(shù)學(xué)解題的思維過(guò)程，其實(shí)質(zhì)就是一個(gè)問(wèn)題轉(zhuǎn)化和問(wèn)題如何轉(zhuǎn)化的思維過(guò)程。學(xué)生解題遇到障礙的原因大多是：無(wú)法把新問(wèn)題化歸為自己熟悉的問(wèn)題。因此，教師在教學(xué)中，要循循善誘，引導(dǎo)學(xué)生自覺(jué)摸索化歸方法，特別是在學(xué)生的思維受阻時(shí)，教師適時(shí)介入點(diǎn)撥，揭示當(dāng)一個(gè)新問(wèn)題出現(xiàn)時(shí)，如何回歸到舊知識(shí)的情景中謀求解決的方法和途徑。

任何一個(gè)問(wèn)題的解決都必須進(jìn)行一系列的推理和運(yùn)算，這一系列的推理和運(yùn)算就是一連串轉(zhuǎn)化。合理地轉(zhuǎn)化，巧妙的化歸是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的主要策略。本文對(duì)幾類(lèi)常見(jiàn)的問(wèn)題的化歸策略作一些探究。

1.化抽象為具體

抽象的問(wèn)題，往往不易被人理解、接受、操作比較困難，而具體問(wèn)題相對(duì)而言，就易被人理解、接受，操作也較為方便、熟悉。因而化抽象為具體則往往能達(dá)到化難為易的作用。

例1：寫(xiě)出若a、b<0則a<0且b>0的否命題

分析：“若p則q”的否命題“若p則q”，它涉及了邏輯聯(lián)結(jié)詞的否定，這是一個(gè)對(duì)于初學(xué)簡(jiǎn)易邏輯的同學(xué)來(lái)說(shuō)是比較抽象的且很容易出錯(cuò)的問(wèn)題。對(duì)此我們從集合角度，把這個(gè)問(wèn)題具體直觀的在坐標(biāo)系中表示出來(lái)。a<0且b>0可表示為一個(gè)點(diǎn)集A，用圖形表示。如圖，不滿足“a<0且b>0”的點(diǎn)（a，b），在陰影的另一部分，即。它可以看作是Ｘ軸及以下部分(b≤0)和Ｙ軸及右側(cè)部分（a≥0）部分合起來(lái)構(gòu)成，即兩塊區(qū)域的并集， a、b滿足“a≥0或b≤0”。

因而，否命題為若a、b≥0則a≥0或b≤0。

這說(shuō)明：“p且q”的否定為“非p或非q”，用集合的觀點(diǎn)來(lái)解釋?zhuān)⒔Y(jié)合圖形，同學(xué)更容易接受并理解。

例2、 A、B、C是球O面上三點(diǎn)，弧AB、AC、BC的度數(shù)分別是900、900、600。求球O夾在二面角B－AO－C間部分的體積。

分析：此題難點(diǎn)在于空間想象，即較抽象。教師引導(dǎo)學(xué)生讀題：條件即∠AOB＝∠AOC＝900，∠BOC＝600，然后給出圖形（如圖），則可想象此題意即為用刀沿600二面角，以直徑為棱將一個(gè)西瓜切下一塊，求這一塊西瓜的體積，（答：）。問(wèn)題于是變得直觀具體多了。

2.化一般為特殊

在一般情況下難發(fā)現(xiàn)的結(jié)論、規(guī)律，在特殊條件下比較容易暴露，而特殊情況下得出的結(jié)論、方法也往往可推廣到一般場(chǎng)合，一般情況下成立的結(jié)論，在特殊情況下一定成立。因此，化一般為特殊往往能起化繁為簡(jiǎn)的作用。

例3：求原點(diǎn)到直線L：（3m+1）x+（2m+1）y-（17m+7）=0 (m∈R)的距離的最大值和這時(shí)m的值。

分析：直接利用點(diǎn)到直線的距離公式，將面臨求關(guān)于m的分式函數(shù)的最值問(wèn)題。若觀察直線方程的特點(diǎn)，一般中孕育著特殊：方程所表示的所有直線經(jīng)過(guò)一定點(diǎn)。自然會(huì)想到用直線系方法，解決此問(wèn)題極為容易。

解：將題目中的直線方程整理為：L:(x+y-7)+m(3x+2y-17)=0它表示過(guò)直線x+y-7=0和3x+2y-17=0交點(diǎn)的直線系，不難求出交點(diǎn)坐標(biāo)為P（3，4）

故原點(diǎn)至直線L的距離為d≤=5

當(dāng)OP⊥L時(shí)，“=”成立，即dmax=5

∵kop=4/3，∴∴m=-7/18

3、化特殊為一般

一般化是與特殊化相反的一個(gè)過(guò)程。有些數(shù)學(xué)問(wèn)題，由于其特殊數(shù)量或位置關(guān)系，孤立地考察問(wèn)題本身，造成我們只見(jiàn)“樹(shù)木”不見(jiàn)“森林”，難以解決。這時(shí)，要把問(wèn)題的某些因素或結(jié)構(gòu)形式拓展到一般情況，借助一般化的結(jié)論或方法，使問(wèn)題順利解決。

例4：計(jì)算

分析：有的學(xué)生可能認(rèn)為計(jì)算量太大，望而卻步. 有的學(xué)生可能按照順序與運(yùn)算. 顯然，死算不可取.

觀察數(shù)字特征，可將數(shù)字一般化后，尋找化歸途徑，令a=2012，則

原式

故原式=2011.

運(yùn)用一般化策略解決問(wèn)題，要仔細(xì)觀察，分析題目的特征，從中找出能使命題一般化的因素，以便把特殊命題拓廣為包含這一特殊情況的一般問(wèn)題，同時(shí)要求這一問(wèn)題的解決應(yīng)包含著特殊問(wèn)題的解決

4.化陌生為熟悉

把生疏的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題去解決，這是我們解決問(wèn)題的最基本的方法，也是最好的法寶。

例5 如圖所示，一個(gè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a，短軸長(zhǎng)為2b，在一直角EOF內(nèi)滾動(dòng)，并始終與∠EOF的兩邊OE、OF分別相切。求橢圓中心O′的軌跡。

分析：由于橢圓相對(duì)于直角是運(yùn)動(dòng)的，不便找出中心O′相對(duì)于直角的變化規(guī)律。若反過(guò)來(lái)變更問(wèn)題的形式，由于直角與橢圓的動(dòng)與靜是相對(duì)的，把橢圓看作是固定的時(shí)，而與之相切的直角自然就是繞著橢圓轉(zhuǎn)動(dòng)了。問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為我們所熟悉如圖所示的“求橢圓的兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡”。

如圖所示，在坐標(biāo)系中設(shè)兩條互相垂直的切線OE、0F的交點(diǎn)O的坐標(biāo)為，當(dāng)兩條切線的斜率都存在時(shí)，設(shè)橢圓的切線的斜率為，則過(guò)點(diǎn)O的切線方程為，將其代入橢圓方程并整理可以得到

于是有

化簡(jiǎn)得關(guān)于的一元二次方程

這個(gè)關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)根就是切線OE、0F的斜率，因?yàn)镺E⊥0F，所以兩根之積為-1，即，從而有。

當(dāng)兩條切線的斜率不都存在時(shí)，顯然也有成立。

這說(shuō)明橢圓的兩條互相垂直的切線OE、0F的交點(diǎn)O與橢圓的中心點(diǎn)O′之距恒為定值 。再將問(wèn)題轉(zhuǎn)回到原問(wèn)題上來(lái)，如圖所示建立坐標(biāo)系，則O′的軌跡方程為

且

5.化局部為整體

眾所周知，局部構(gòu)成整體，整體可分解為局部，但解題時(shí)并非一定要解決所有的局部才能解決整體，用整體思想解題有時(shí)能起到事半功倍的作用，好比擒賊先擒王，迅速解決問(wèn)題。

例6：已知直線L過(guò)點(diǎn)P（0，1），并與直線L1：x-3y+10=0和L2：2x+y-8=0分別交于A，B兩點(diǎn)。若AB被P平分，求直線L的方程。

分析：直線L過(guò)點(diǎn)P（0，1），可設(shè)直線L的方程為y=kx+1。利用解方程組的方法可以求A，B的坐標(biāo)，再由線段中點(diǎn)坐標(biāo)公求出k，x的值。顯然比較繁冗，若用設(shè)而不求的整體考慮，就顯得非常簡(jiǎn)便。

設(shè)與L2的交點(diǎn)為A（x0，y0），則與L2的交點(diǎn)為B（-x0，2-y0）代入L1，L2得：

x0-3y0+10=0 (3)

2x0+y0+6=0 (4)

(4)-(3):x0+4(y0-1)=0，顯然P（0，1）滿足此方程。

L的方程為x+4y-4=0

6.化主元為輔元

在有幾個(gè)變量的問(wèn)題中，常常有一個(gè)變量處于主要地位，我們稱(chēng)之為主元，由于受思維定勢(shì)的影響，在解決這類(lèi)問(wèn)題時(shí)，我們總是抓住主元不放，這在很多情況下是正確的，但在某些特定條件下，此路往往不通，這時(shí)若能變更主元，轉(zhuǎn)變它在問(wèn)題中的地位，就不禁會(huì)發(fā)出“踏破鐵鞋無(wú)覓處，得來(lái)全不費(fèi)功夫”的感嘆！

例7 已知，且分別滿足條件：

，

若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，則無(wú)論如何變化直線恒與一定圓相切。

分析：本題變量有m、n、θ達(dá)3個(gè)之多，從條件的結(jié)構(gòu)看，似乎是以m、n為主元的一元二次方程。利用求根公式解出m、n，再求出直線的方程，好象行得通，如果你試一試，就會(huì)感到是一件在計(jì)算的泥坑里不能拔出來(lái)的事情。再仔細(xì)分析一下：因?yàn)橹本€與有關(guān)，又與有關(guān)，所以直線與有關(guān)。以為主元，這樣就需要找轉(zhuǎn)化為可滿足的條件：

，

由于這兩個(gè)等式的結(jié)構(gòu)相同，這就可以找到一個(gè)相應(yīng)的輔助方程

將看作這個(gè)關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根。由根與系數(shù)的關(guān)系：

由于經(jīng)過(guò)點(diǎn)和的直線的方程為，所以直線的方程可以轉(zhuǎn)化為，也就是。

根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，容易計(jì)算出原點(diǎn)O(0，0)到直線：的距離恒為1。

故無(wú)論如何變化直線恒與一單位圓相切。

7.化空間為平面

立體幾何中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法非常豐富，其中最重要的就是轉(zhuǎn)化的思想方法，它貫穿立體幾何教學(xué)的始終，在立體幾何教學(xué)中占有很重要的地位。立體幾何中的轉(zhuǎn)化主要是空間問(wèn)題向平面問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，立體幾何中的角與距離是最常見(jiàn)的問(wèn)題，它們的求法都是化歸為平面幾何中的角與距離來(lái)計(jì)算，三角形中計(jì)算更為常見(jiàn)。

例8 設(shè)正三棱錐S－ABC的底邊長(zhǎng)為a，側(cè)棱長(zhǎng)為2a，過(guò)A作與側(cè)棱SB、SC都相交的截面AEF（如圖a），求這個(gè)截面周長(zhǎng)的最小值。

由三維空間向二維平面轉(zhuǎn)化，是研究立體幾何問(wèn)題的重要數(shù)學(xué)方法之一。降維轉(zhuǎn)化的目的是把空間的基本元素轉(zhuǎn)化到某一個(gè)平面中去，用學(xué)生們比較熟悉的平面幾何知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題。如線面垂直的判定定理就是轉(zhuǎn)化為三角形全等的平面問(wèn)題。

分析：這類(lèi)問(wèn)題通常都是將幾何體的側(cè)面展開(kāi)成平面圖形來(lái)解決。

沿側(cè)棱SA將三棱錐剪開(kāi)，得側(cè)面展開(kāi)圖（如圖b），則求截面⊿AEF周長(zhǎng)的最小值問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為側(cè)面展開(kāi)圖中求A、A1兩點(diǎn)的最短連線段長(zhǎng)的問(wèn)題（解略）。

又如異面直線所成的角、線面角、面面角的計(jì)算，最終都是轉(zhuǎn)化為平面上兩相交直線成的角來(lái)進(jìn)行的。

實(shí)現(xiàn)空間問(wèn)題向平面問(wèn)題轉(zhuǎn)化的方法很多，常用的就有：平移法、射影法、展開(kāi)法和輔助面法等等。

8.化復(fù)雜為簡(jiǎn)潔

有的數(shù)學(xué)問(wèn)題著上去比較復(fù)雜，尤其是競(jìng)賽題. 如果我們善于對(duì)問(wèn)題的形式的特征進(jìn)行觀察，提煉其特征，把復(fù)雜問(wèn)題化歸為簡(jiǎn)單問(wèn)題，從而使問(wèn)題得以解決.

例9：函數(shù)的最大值是 .

分析：一般地，學(xué)生會(huì)想到配方：

，

然后就束手無(wú)策了. 關(guān)鍵是對(duì)函數(shù)的幾何意義不清楚，無(wú)法化歸.

配方后知，函數(shù)的幾何意義是在拋物線

上的點(diǎn)分別到點(diǎn)A(3， 2)和點(diǎn)B(0， 1)的距離之差，因點(diǎn)

A在拋物線下方，點(diǎn)B在拋物線上方，故直線AB與拋物線相交. 交點(diǎn)由

決定，消去y，得，由于該方程常數(shù)項(xiàng)為負(fù)，故必有負(fù)根. 因三角形兩邊之差小于第三邊，故當(dāng)點(diǎn)P位于負(fù)根所對(duì)應(yīng)交點(diǎn)C時(shí)，有最大值|AB|=.

9、化正面為反面

正難則反是一種順向思維序列到逆向思維序列的轉(zhuǎn)換能力. 如果我們經(jīng)常注意引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問(wèn)題的逆向思考，不僅可以加深學(xué)生對(duì)可逆知識(shí)的理解，而且可以提高他們思維的靈活性.

例10：已知集合，若，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

分析：有的學(xué)生會(huì)這樣想：集合A是方程 ①的實(shí)數(shù)根組成的非空集合，意味著方程①的根：（1）兩負(fù)根；（2）一負(fù)根一零根；（3）一負(fù)根一正根三種情況，分別求解. 這樣較麻煩。

如果考慮題設(shè)的反面：，則可先求方程①的兩根均非負(fù)時(shí)m的取值范圍，用補(bǔ)集思想求解尤為簡(jiǎn)便.

設(shè)全集

若方程的兩根均非負(fù)，

則m≥.

因此，關(guān)于U的補(bǔ)集即為所求.

10、化舊元為新元

許多習(xí)題，在一定的條件下可以用不同的方法來(lái)進(jìn)行研究，而方法的轉(zhuǎn)變起一定的作用的是換元法，即原變量化歸為新變量，它可以化繁為簡(jiǎn)，也可以使代數(shù)、三角、幾何中的問(wèn)題在本學(xué)科中或在它們相互之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換，從而達(dá)到簡(jiǎn)捷解題的目的.

例11：設(shè)、、是三個(gè)不全為零的實(shí)數(shù)，求的最大值.

分析：一般學(xué)生一看題目，就有無(wú)從下手的感覺(jué).把原來(lái)變量化歸新變量，即換元，可使問(wèn)題有轉(zhuǎn)機(jī). 令

，則

≤，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)u取到最大值.

11、化數(shù)為形

某些特殊的問(wèn)題，若同常規(guī)方法來(lái)解，推理運(yùn)算的過(guò)程較復(fù)雜，若能將數(shù)式化歸為圖形，即利用數(shù)形結(jié)合的方法來(lái)解，往往使運(yùn)算或推經(jīng)論述的過(guò)程簡(jiǎn)化，也收到形象直觀的效果.

例12：若≠0，則的最大值是 .

分析：學(xué)生一般用分子有理化法實(shí)現(xiàn)化歸，但計(jì)算量較大。注意到所求最大值當(dāng)＞0時(shí)取得，因此原式可化為，類(lèi)此兩點(diǎn)間距離公式可知，上式的幾何意義是：動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)（如右圖）

∵|AB|≥|PA|－|PB|，且|AB|=

故當(dāng)P點(diǎn)在原點(diǎn)即時(shí)，|PA|－|PB|取

最大值().

化歸思想，在解數(shù)學(xué)題中的作用是不可估量的. 其運(yùn)用的程度如何，關(guān)鍵在于聯(lián)想，若聯(lián)想不當(dāng)或思維受阻，化歸的目標(biāo)就會(huì)受到影響，從而會(huì)影響化歸途徑的優(yōu)化. 總之，化歸的解題思想應(yīng)引起我們高度重視。 盡管高考題的命題方向是“出新題，考能力”，而且解高考題的思維策略也是因題而異，但是思維策略的指向性是一致的，就是抓住問(wèn)題的本質(zhì)，掙脫知識(shí)框架的束縛，構(gòu)筑起解題的新平臺(tái)，盡可能把新問(wèn)題轉(zhuǎn)化為某一個(gè)已經(jīng)解決或較易解決的問(wèn)題，最終實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的解決。

當(dāng)然，除了上面提到的一些化歸策略外，還有許多其他的方法，這里不一一陳述。“化歸”在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和解題中有著廣泛的用途，因此，學(xué)會(huì)化歸，就能提高我們的應(yīng)變能力、思維能力、創(chuàng)新能力、解題能力。

參考文獻(xiàn)：

1. 胡炯濤. 數(shù)學(xué)教學(xué)論. 廣西教育出版社.1998.10.

2.楊世明、王雪芹.數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的藝術(shù).青島海洋大學(xué)出版社.2005.5

3.任樟輝.數(shù)學(xué)思維論.廣西教育出版社.2000.8

4.羅增儒.數(shù)學(xué)解題學(xué)論.陜西師范大學(xué)出版社.2008.10