關(guān)于開放題的含義，還沒有統(tǒng)一的界定。一般認(rèn)為：數(shù)學(xué)開放題是相對傳統(tǒng)的條件完備、答案確定的封閉題而言的，一個數(shù)學(xué)問題，如果它的條件不完備，答案不唯一，或解題思路、方法不唯一，那么，這個數(shù)學(xué)問題稱為開放題。

由于開放型問題的解決，一般要通過學(xué)生去觀察、嘗試、類比與歸納，加上嚴(yán)格的推理論證，與有明確條件與結(jié)論的封閉性問題，更有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維。因此教學(xué)中適當(dāng)設(shè)制一些開放型問題，可以培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性、靈活性和深刻性，從而培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維和創(chuàng)新能力。因此研究和探討數(shù)學(xué)開放題的題型特點及其設(shè)制規(guī)律，對于推進(jìn)和改善初中數(shù)學(xué)的開放式創(chuàng)新教學(xué)，無疑有極大的幫助。

一、數(shù)學(xué)開放題的特點

1、問題的條件常常是不完備的（條件開放題）

條件開放題是根據(jù)題中所給的結(jié)論要求，從不同的角度去尋

找獲得解決這個結(jié)論的條件。如：在學(xué)習(xí)相似三角形判定這一

節(jié)時，我們可以設(shè)計這樣的開放題：如圖1，點D、E分別在△ABC

的AB、AC邊上，在什么條件下，△ADE與△ABC相似。由于

條件開放，因此所添條件不唯一，只要能使△ADE與△ABC相

似的條件都可以，于是學(xué)生就根據(jù)學(xué)過的知識尋找多種答案：

從角上考慮應(yīng)有：∠ADE＝∠B或∠AED=∠C或∠AED＝∠B。從邊上考慮應(yīng)有：

＝或＝。

2、問題的答案是不確定的（結(jié)論開放題）

這類開放型是指提供一定的條件，滿足條件的結(jié)論方面往往有多種答案的題型。這需要學(xué)生靈活運用所學(xué)知識，善于突破常規(guī)。進(jìn)行直覺、想象、猜想、創(chuàng)造等活動才能解決。

如這樣一道題目：請以給定的圖形“○○、△△、＝”（兩個圓，兩個三角形，兩條平等線段）為構(gòu)件，盡可能多地構(gòu)思獨特且有意義的圖形，并寫出一兩句貼切、詼諧的解說詞。如下圖就是符合要求的兩個圖形你還能構(gòu)思出其他的圖形嗎？比一比，看誰想得多。

這是一道圖案設(shè)計能力與空間想象能力的趣味數(shù)學(xué)題，所涉及的知識點并不難，沒有確定的答案，為學(xué)生展示了很廣闊的思維空間，讓你馳騁，只須“按要求畫圖，且設(shè)計合理”都可，下面再給出幾種設(shè)計：

根據(jù)題目要求，可以讓學(xué)生進(jìn)行討論，還可以設(shè)計出很多不同圖案，這樣既能培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，也能培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維和創(chuàng)新能力。

3、問題的解決策略具有非常規(guī)性，發(fā)散性和創(chuàng)新性（策略開放題）

例如：試比較下面兩個圖形的異同，如圖2，請分別寫出它們的兩個相同點和兩個不同點，例如：

相同點：正方形的對角線相等，正五邊形的對角線也相等；

不同點：正方形是中心對稱圖形，正五邊形不是中心對稱圖形。

此題是考察學(xué)生正多邊形的知識和有關(guān)性質(zhì)，通過觀察分析能從正多邊形的邊、角（中心角、內(nèi)角和）對稱性有無外接圓與內(nèi)切圓，從一個頂點作三角形的個數(shù)等方面去理解，就可以寫出很多相同點與不同點。

二、如何編寫數(shù)學(xué)開放題

在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)以及數(shù)學(xué)教材編寫中，對于知識和能力的要求，常以封閉式的題型出現(xiàn)，這類題型，常要求用特殊或常規(guī)方法得到固定答案。為加強教學(xué)效果，最好把封閉問題改變?yōu)殚_放問題。只要把封閉問題稍加修改，那就變成更有趣，更富有挑戰(zhàn)性的開放式的活動。教師可以打破舊的模式，將一些常規(guī)性題目改造成為不能依靠簡單模仿來解決的問題。如何編寫切合實際的開放題，本人認(rèn)為可以從以下幾個方面做：

1、減少或削弱條件，使結(jié)論多樣化。

對于一個例題若減少或削弱一項或幾項條件后，探求它的一般

結(jié)論可得一些開放題。

例如：已知：如圖，點C為線段AB上一點，△ACM、△CBN是

等邊三角形。求證：AN＝BM。

（1）現(xiàn)原題條件不變，CM與AN交于點D，CN與BM交于點E，

AN、BM相交于點G，連接DE，你還能得到哪些結(jié)論？至少三個，你能證明嗎？

（2）把原題條件削弱為：CA＝CM，CB＝CN，∠ACM＝∠BCN，還能證明AN＝BM嗎？如何證明？若三點A、B、C不在一條直線上，其余條件不變，還能證明AN＝BM嗎？為什么？

（3）把原題中“等邊三角形”減弱為“以AC、BC為底邊的頂角相等的等腰三角形”，結(jié)論還成立嗎？請說明理由。

2、保留條件，去掉結(jié)論，使結(jié)論多樣化。

不少封閉性的題目，其條件充分，結(jié)論明確而單一，在很多情況下，只要隱去結(jié)論，就成為結(jié)論多樣化的開放題。

例如：已知：半徑不等的⊙O1與⊙O2相切于P，直線AB、CD都經(jīng)過點P，并且AB分別與⊙O1、⊙O2交于A、B兩點，CD分別與⊙O1、⊙O2將于C、D兩點，（點A、B、C、D互不重合），連接AC和BD。

a）請根據(jù)題意畫出圖形；

b）根據(jù)你所畫圖形，寫出一個與題設(shè)有關(guān)的正確結(jié)論，并證明這個結(jié)論。

3、在給定的條件和實際情景中，建立數(shù)學(xué)模型，尋求多種解法與結(jié)論，這是編寫數(shù)學(xué)開放題的一個重要方法。

例如：星期天，數(shù)學(xué)張教師提著籃子（籃子重0.5斤）去集市買10斤雞蛋，當(dāng)張老師往籃子里拾稱好的雞蛋時，發(fā)覺比過去買10斤雞蛋時個數(shù)少很多，于是她將雞蛋裝進(jìn)籃子再讓攤主一起稱，共得10.55斤，即刻她要求攤主退1斤雞蛋的錢。她是怎樣知道攤主稱了大約1斤雞蛋的呢（精確到1斤）？請你將分析過程寫出來，由此你受到什么啟發(fā)（請用一兩句話，簡要敘述出來）？

4、條件變化，探求結(jié)論的多樣性和變通性。

把命題中的某些條件變化，探求結(jié)論，會使學(xué)生獲得理性的認(rèn)識，加深對知識深度和廣度的理解，可得一些開放題。

例如：順次連接四邊形ABCD各邊中點E、F、G、H所得圖形是平行四邊形，條件中的四邊形ABCD改成矩形ABCD、菱形ABCD、對角線互相垂直的四邊形ABCD、對角線相等的四邊形ABCD，則四邊形分別是什么圖形？并證明之。

5、引進(jìn)變數(shù)探求結(jié)論。

把問題中的某個確定的常數(shù)換成變數(shù)，求探求變數(shù)的取值，可得一些開放題。

例如：把X2＋2x-15分解因式，將2換成m或?qū)?5換成n，可得開放性題目：要使下列二次三項式能在整數(shù)范圍內(nèi)因式分解，m、n分別可取哪些整數(shù)？并因式分解：

1）x2＋mx-15

2）x2+2x-n

在開放題的編制、開發(fā)中，要十分重視開放題的設(shè)問方式。語言的暗示性要恰當(dāng)，防止將思維導(dǎo)入歧途；要把握問題的開放度，不同水平的學(xué)生應(yīng)采用不同的方式，提出不同的解題要求；開放題中所包含的事件應(yīng)為學(xué)生所熟悉，其內(nèi)容是有趣的，是學(xué)生所愿意研究的，是通過學(xué)生現(xiàn)有的知識能夠解決的可行的問題；要注意問題的可發(fā)展性，給學(xué)生一個提問題的機(jī)會，也許比解題本身更重要。