摘 要：數(shù)學(xué)教學(xué)中有許多的公式需要學(xué)生掌握，并能夠靈活運(yùn)用。實(shí)際教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，有時(shí)候?qū)W生將公式背得很熟練，但在準(zhǔn)確和熟練運(yùn)用方面卻較差，缺乏應(yīng)變的能力。

關(guān)鍵詞：公式；單向思維；雙向思維

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，就是要訓(xùn)練學(xué)生的思維。思維是人的一種心理活動(dòng)，人的心理總是排斥逆境，而迎合順勢(shì)，這就是單向思維。雙向思維即正向思維和逆向思維。正向思維是指思維活動(dòng)按照事物發(fā)展的方向進(jìn)行，而逆向思維是指思維活動(dòng)從一個(gè)方向轉(zhuǎn)向相反方向。教學(xué)中不但要求學(xué)生能正確地運(yùn)用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行正向思維，而且能運(yùn)用逆向思維解決相應(yīng)的問(wèn)題，使學(xué)生在思考問(wèn)題時(shí)形成互逆聯(lián)想，并不斷提出“相反的思路”。要培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，既要注重思維定式的形成，又要注重消除思維定式的負(fù)面影響，二者缺一不可。在實(shí)際教學(xué)中，后者易被忽視。學(xué)生在用數(shù)學(xué)公式解題時(shí)常常只會(huì)正用，而不會(huì)逆用，更談不上靈活地變著用。教師在公式教學(xué)中，應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生理解公式的實(shí)質(zhì)、雙向性，這樣學(xué)生在運(yùn)用公式解決問(wèn)題時(shí)才能得心應(yīng)手。

現(xiàn)在，我就以算術(shù)平均數(shù)公式教學(xué)為例，結(jié)合自己的教學(xué)談?wù)勔恍┳龇ā?/p>

教學(xué)中要明確，平均數(shù)的公式是有聯(lián)系的幾個(gè)數(shù)據(jù)的和、數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)以及平均數(shù)三個(gè)量的關(guān)系式，因此，這三個(gè)量中已知任意兩個(gè)量都能求第三個(gè)量。接下來(lái)舉例運(yùn)用。

首先，將公式“正著用”，即知道數(shù)據(jù)的和以及數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，求平均數(shù)。

例如，在學(xué)校組織的一次卡拉OK大賽中，五位評(píng)委給某選手的評(píng)分如下（記分方法是去掉一個(gè)最高分，去掉一個(gè)最低分，其余分?jǐn)?shù)的平均分作為這個(gè)選手的最后得分）：

9.8；9.4；9.7；9.9；9.8，則該選手的最后得分是 （精確到0.01分）。

這里的例子是知道一組數(shù)據(jù)，求平均數(shù)，即直接用公式進(jìn)行計(jì)算就是將公式“正著用”。這是學(xué)生最容易理解和掌握的，也是該公式教學(xué)的基本層次要求，應(yīng)該要求所有的學(xué)生都會(huì)運(yùn)用。這類(lèi)正著用公式的問(wèn)題學(xué)生一般都能自己解決，這里就不再贅述。

其次，將公式“反著用”。也即知道平均數(shù)和數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，求其中一個(gè)數(shù)據(jù)。

例如，若一組數(shù)據(jù)6，7，5，6，x，1的平均數(shù)是5，則x= 。

數(shù)據(jù)3，4，7，a的平均數(shù)是5，則a= 。

這里的兩例都是知道平均數(shù)，來(lái)求未知數(shù)據(jù)。要想學(xué)生能輕松地解決這個(gè)問(wèn)題，那么教師在給出公式之后，需要明確公式使用的雙向性。已知平均數(shù)，也就可以逆用公式求出總和，再求出個(gè)別的數(shù)據(jù)。這就是將公式“反著用”，可以培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維。

最后，將公式“變著用”。也就是將公式“正著，反著”交叉著用。

請(qǐng)看下面的例子：

1.有3個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)是6，有7個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)是9，那么這10個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)是 。

2.已知10個(gè)數(shù)據(jù)，其中前面7個(gè)數(shù)的平均數(shù)為a，后面三個(gè)數(shù)的平均數(shù)為b，則這10個(gè)數(shù)的平均數(shù)為 。

上述三個(gè)問(wèn)題“正著”“反著”都不能直接解決問(wèn)題，需要根據(jù)條件中的局部數(shù)據(jù)的平均數(shù)來(lái)求局部數(shù)據(jù)的和，即將平均數(shù)公式“反著用”，這樣就可以求出整體的和，再將公式“正著用”，就能夠求出結(jié)果了。

對(duì)于初中生來(lái)說(shuō)，他們不習(xí)慣反過(guò)來(lái)思考，即不善于逆向思維。教學(xué)中教師應(yīng)有意識(shí)地加強(qiáng)思維的訓(xùn)練，注意引導(dǎo)和培養(yǎng)學(xué)生從正向思維過(guò)渡到雙向思維，重視雙向思維能力的訓(xùn)練，有助于培養(yǎng)學(xué)生思維的敏捷性和靈活性，可以克服由單向定式造成的解題方法的呆板、僵化，以及不善于在新的條件下獨(dú)立發(fā)現(xiàn)新方法、新思路等弊端，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性。

（作者單位 江蘇省揚(yáng)州市廣陵區(qū)頭橋中學(xué)）