在長期的教學工作中,筆者常聽到學生反映課上聽得很“明白”,但到自己解題時總感到困難重重無從入手,這是學生的數(shù)學思維存在著障礙。這種思維障礙有的是來自于教學中的疏漏,而更多的則來自于學生自身,來自于學生頭腦中存在的非科學的知識結(jié)構(gòu)和思維模式。隨著數(shù)學內(nèi)容漸次增多,知識線漸長,對抽象思維的要求增強,一些學生開始逐漸不適應,加之思維的惰性,又使得不善于思考的學生,只要遇到問題的條件有少許變化,思路就不能隨問題條件的變化而深入,學習就會出現(xiàn)障礙。怎樣才能幫助學生克服數(shù)學學習中的思維障礙呢?筆者在教學實踐中做了以下一些嘗試。
一 分解問題層次化
在高中數(shù)學的起始教學中,筆者注重了解和掌握學生的基礎(chǔ)知識狀況,尤其是在講解新知識時嚴格遵循學生認知發(fā)展的階段性特點,照顧學生認知水平的個性差異,強調(diào)學生的主體意識,發(fā)展學生的主動精神,培養(yǎng)學生良好的意志品質(zhì);同時培養(yǎng)學生學習數(shù)學的興趣。興趣是最好的老師,學生對數(shù)學學習有了興趣,才能產(chǎn)生數(shù)學思維的興奮性,也就會更大限度地預防學生思維障礙的產(chǎn)生。如二次函數(shù)中的最大(小)值求法,尤其是含參數(shù)的二次函數(shù)的最大(?。┲档那蠓ㄊ菍W生普遍感到比較困難的,筆者在教學中作了如下設(shè)計:
首先,求出下列函數(shù)在x∈[0,3]時的最大值、最小值:y=(x-1)2+1;y=(x+1)2+1;y=(x-4)2+1。
其次,求函數(shù)y=x2-2ax+a2+2,x∈[0,3]的最小值。
最后,求函數(shù)y=x2-2x+2,x∈[t,t+1]的最小值。
上述設(shè)計層層遞進,每做完一題,適時指出解決這類問題的要點,大大調(diào)動了學生學習的積極性,提高了課堂效率。
二 抽象問題具體化
抽象是數(shù)學的特征之一,有人認為數(shù)學既不像唐詩宋詞那樣讀起來朗朗上口,易記易背,也不像物理、化學試驗那樣看得見,摸得著,似乎完全靠推理、想象。殊不知抽象也是相對的,也許換一個角度思考或者換一種方法就可能將其具體化。例如,在講解 ∈{ }時,把空集 想象為一只空盒子,把{ }想象為一只空盒子里又裝入一只空盒子,這樣既說清楚了 與{ }同為集合,但意義不同,又說清楚了 是{ }的一個元素。又如,在立體幾何中,空間的直角一般畫成銳角或鈍角,異面直線一般畫成相交直線等,為了消除這種空間想象與平面視角的矛盾,筆者盡可能利用硬紙板、小竹竿拼搭成實物模型,讓空間想象能力較差的學生感到具體直觀,而對“直線和平面的位置”與“空間兩個平面的位置”的教學,筆者先讓學生觀察教室的墻壁、天花板、日光燈、地面等之間的位置關(guān)系,讓他們自己發(fā)現(xiàn)空間直線與平面和平面與平面的位置關(guān)系,這樣可以讓學生在心理上產(chǎn)生滿足感和成就感,增強他們學習立體幾何的興趣與信心。
三 陌生問題熟悉化
數(shù)學解題過程就是從未知向已知,從復雜到簡單的化歸轉(zhuǎn)換過程、從認識論的角度看,就是用聯(lián)系、發(fā)展和變化的觀點去認識問題,分析問題和解決問題的思維過程。數(shù)學解題的思維過程實質(zhì)上是人們在已知和未知間的一系列的聯(lián)想過程,在解題時通過觀察、分析、圖示等,根據(jù)解題目標聯(lián)想與其有關(guān)的定義、公式、定理、法則、性質(zhì)、數(shù)學解題思想和方法,以及熟知的相關(guān)問題的解法,使條件和結(jié)論之間建立邏輯聯(lián)系,從而就找到了解題的思路和方法。
學生在第一次接觸新的知識點時,相對來講都是陌生的,運用類比、化歸等數(shù)學思想進行有目的的聯(lián)想是幫助學生化“生”為“熟”的有效方法。如看到類似形式的式子,聯(lián)想到在非Rt△ABC中有tanA+tanB+tanC=tanA tanB tanC成立,從而用x=tanA,y=tanB,z=tanC來解題;看到a2+b2,聯(lián)想到向量的模、勾股定理、點(a,b)到原點的距離,以及圓的方程x2+y2=r2及sin2θ+cos2θ=1等,并且利用這些知識來解決相關(guān)問題。這樣就可以求同化異,溫故而知新,鞏固舊知識,學習新知識,兩全其美。
四 基礎(chǔ)知識系統(tǒng)化
為使前后學習的知識具有連貫性和系統(tǒng)性,教師可“瞻前顧后”,把連貫的知識總結(jié)給學生,使學生用到一個知識點時可以想到其他相關(guān)的知識點,逐步養(yǎng)成知識整體記憶和系統(tǒng)遷移的思維習慣。如教材中涉及多種角,每種角都有特定的范圍,如果把握不清楚就會出錯。教師應幫助學生梳理,使學生一一
對比區(qū)別。例如:異面直線所成角的范圍為0<θ≤ ;斜線
與平面所成角的范圍為0<θ< ;直線與平面所成角的范圍
為0≤θ≤ ;二面角為0≤θ≤π;直線的傾斜角的范圍為0
≤θ<π;兩條直線夾角的范圍為0≤θ≤ ;向量的夾角的范圍
為0≤θ≤π。
五 運用一題多解,訓練思維的靈活性
對于課本上的習題,筆者常鼓勵并引導學生開動腦筋,運用各種方法進行求解。如《數(shù)學》(必修四)第143頁的一
道小題為:求證 =tanθ,筆者與學生有如下
證法:
證法一:運用倍角公式統(tǒng)一角度(具體解題過程略)。
證法二:運用二倍角公式統(tǒng)一角度(具體解題過程略)。
證法三:由正切的半角公式tanθ= = ,
利用合分比性質(zhì)可以得到tanθ= 。
一題多解既加強了學生對基礎(chǔ)知識的掌握,同時也調(diào)動了學生的學習興趣,激發(fā)了學生的求知欲望,從而使思維的靈活性和多樣性得到訓練與發(fā)展,培養(yǎng)了學生思維的廣度和深度。
六 采用一題多變,培養(yǎng)思維的探索性
在數(shù)學教學中,筆者對概念、定理、公式、典型的例(習)題等從變化的角度引導學生進行命題轉(zhuǎn)化,適當進行一題多變練習,這樣既可以以點帶面舉一反三,全面復習有關(guān)知識,又可以培養(yǎng)學生思維的探索性。如求sin210°+cos240°+sin210°cos240°的值時,筆者引導學生分析題型特征,將此題進行變化可得到以下命題:求cos275°+cos215°+cos275°cos215°的值,或求sin220°+cos250°+sin220°cos250°的值等。