【摘要】本文結(jié)合初中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐，以一次函數(shù)中數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用為例，探討了不同層次的初中數(shù)學(xué)建模過(guò)程，指出了不同模型的優(yōu)缺點(diǎn)，并且給出了教學(xué)上的建議。

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué) 數(shù)學(xué)建模 驗(yàn)證評(píng)價(jià)

【中圖分類號(hào)】G632 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】1674-4810（2012）20-0147-01

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：數(shù)學(xué)模型可以有效地描述自然現(xiàn)象和社會(huì)現(xiàn)象，數(shù)學(xué)課程應(yīng)體現(xiàn)“問(wèn)題情境—建立數(shù)學(xué)模型—理解、應(yīng)用與拓展”。以下僅以一次函數(shù)模型的應(yīng)用為例，探討幾種不同層次的利用一次函數(shù)數(shù)學(xué)模型解題的過(guò)程。

一 直接給出模型

例1：已知彈簧的長(zhǎng)度y在一定的限度內(nèi)是所掛物質(zhì)重量x的一次函數(shù)?，F(xiàn)已測(cè)得所掛重物重量為4千克時(shí)，彈簧的長(zhǎng)度為7.2厘米，所掛重物重量為5千克重物時(shí)彈簧的長(zhǎng)度為7.5厘米，求所掛重物重量為6千克時(shí)彈簧的總長(zhǎng)度。

解析：既然題干中已經(jīng)明確給出了y與x之間具備的是一次函數(shù)關(guān)系，那么，實(shí)際上本題目中數(shù)學(xué)建模過(guò)程已經(jīng)被省略掉了，學(xué)生沒(méi)有了自己分析、聯(lián)想獲得模型的體驗(yàn)?？梢栽O(shè)數(shù)學(xué)模型為y=kx+b，將已知的兩個(gè)條件分別代入到這個(gè)模型關(guān)系式中可得：7.2=4x+b7.5=5x+b，求解二元一次方程組得解k=0.3b=6，從而得到模型y=0.3x+6，將x=6代入該模型中，得到y(tǒng)=7.8。從而得到該問(wèn)題的最終結(jié)果，即當(dāng)所掛物體重量為6千克時(shí)彈簧長(zhǎng)度為7.8厘米。

這種直接給出數(shù)學(xué)模型的方法在初學(xué)一次函數(shù)，理解其待定系數(shù)法時(shí)不失為一種較為合適的數(shù)學(xué)題目設(shè)計(jì)，但是從數(shù)學(xué)應(yīng)用的角度來(lái)看，對(duì)于學(xué)生從實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題能力的鍛煉則是不利的，從這個(gè)角度講，這種數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用應(yīng)屬于較低層次的應(yīng)用。

二 猜測(cè)建立模型

例2：爸爸穿42碼的鞋子，長(zhǎng)度為26厘米；媽媽穿39碼的鞋子長(zhǎng)24.5厘米，小明穿41碼的鞋子，長(zhǎng)度為多少厘米？

解析：本例與例1相比只是缺少了二者之間存在一次函數(shù)關(guān)系的提示。許多人順理成章地將其直接歸入了一次函數(shù)模型中，由于事先沒(méi)有給出尺碼與長(zhǎng)度之間具有一次函數(shù)關(guān)系，只能通過(guò)猜測(cè)建立關(guān)系并求得問(wèn)題的答案，對(duì)于學(xué)生的能力也有了較高的要求和鍛煉。實(shí)際上，由于該題目在設(shè)計(jì)時(shí)少給了一個(gè)條件，使本例中缺少檢驗(yàn)評(píng)價(jià)過(guò)程，而這種對(duì)于模型的檢驗(yàn)評(píng)價(jià)在數(shù)學(xué)建模過(guò)程中是極其重要的，因?yàn)檫@種檢驗(yàn)?zāi)芤允聦?shí)驗(yàn)證模型是否合適。簡(jiǎn)單地講，對(duì)于這個(gè)題目來(lái)說(shuō)，如果只知道兩對(duì)已知的函數(shù)數(shù)值，不能否定尺碼和長(zhǎng)度之間是否存在著其他函數(shù)關(guān)系（譬如二次函數(shù)關(guān)系），因此，在該題目的題設(shè)中應(yīng)該再給出一個(gè)條件，如可以再給出“妹妹穿36碼的鞋，長(zhǎng)度為23厘米”，以便于獲得一次函數(shù)模型后的驗(yàn)證。無(wú)疑，例2中一次函數(shù)模型的應(yīng)用較例1高了一個(gè)層次。

三 實(shí)際推導(dǎo)模型

例題3：星期天，張老師提著籃子（籃子重0.5斤）去集市買10斤雞蛋，當(dāng)張老師往籃子里拾稱好的雞蛋時(shí)，發(fā)覺(jué)比過(guò)去買10斤雞蛋的個(gè)數(shù)少很多，于是她將雞蛋裝進(jìn)籃子再讓攤主一起稱，共稱得10.55斤，她即刻要求攤主退1斤雞蛋的錢，張老師是怎樣知道攤主少稱了大約一斤雞蛋呢（精確到1斤）？請(qǐng)你將分析過(guò)程寫出來(lái)，由此你受到什么啟發(fā)？

解析：把雞蛋的實(shí)際重量看做是未知數(shù)x，而把顯示的重量看做是y，于是如果沒(méi)作弊，應(yīng)該是y=x，但是老板作弊了，他又是如何作弊的呢？他無(wú)非是想讓顯示出的值y大于實(shí)際的重量x。如果老板在秤盤底下加了吸鐵石，就相當(dāng)于在x后面加上一個(gè)常數(shù)a，使得y=x+a，這里a表示一個(gè)固定的重量。這樣，當(dāng)顧客買5斤重的東西，老板就可以只給顧客4斤8兩，那二兩就是額外加的吸鐵石的重量了。但是這里面存在著一個(gè)問(wèn)題，就是說(shuō)如果顧客買的東西很多，很重，缺少二兩不算什么，也很不容易覺(jué)察到。但是如果顧客只是買4兩東西，那么缺少2兩就很容易被發(fā)覺(jué)了。聰明的老板預(yù)先不知道張老師會(huì)買多少雞蛋，所以不會(huì)在秤盤底下加吸鐵石，也就是說(shuō)不會(huì)是y=x+a。那么又如何讓y大于x呢？老板可以調(diào)整他的秤，使得有下面的等式成立：y=kx。其中k是大于1的一個(gè)數(shù)。這樣，對(duì)于每一個(gè)x值，y值都比它大。也就是總有顯示值大于實(shí)際值。根據(jù)這道題目的已知得到以下兩個(gè)等式：

10=kx （1）

10.55=k（x+0.5） （2）

由（2）式可以得到：

10.55=kx+0.5k （3）

把（1）式代入（3）式，可以求得k=1.1，再把k=1.1代入（1）式，可以求得x=10/1.1=9.09。這樣就求得了張老師所買的雞蛋的實(shí)際重量是9.09斤，老板少給了她接近一斤的雞蛋錢。由于已經(jīng)求解出了k值，也即求出了x與y之間的正比例函數(shù)關(guān)系，所以從模型應(yīng)用的角度講，本例還可以進(jìn)一步提出問(wèn)題，如果張老師買的是五斤雞蛋，那么貪心的商家會(huì)少稱給張老師多少雞蛋呢？

例3中所引用的題目是較早出現(xiàn)的一個(gè)老題目，但縱觀該題目的題設(shè)計(jì)求解過(guò)程，處處“原汁原味”，這種“原汁原味”的題目，看似需要用數(shù)學(xué)知識(shí)去解決，卻又留給了學(xué)生一定的思考空間，從模型猜想、模型建立直至模型求解和解釋應(yīng)用，都與生活實(shí)踐密切聯(lián)系，都可以用發(fā)生在學(xué)生身邊的生活實(shí)際相解釋，更重要的是該模型設(shè)計(jì)本身提供給了學(xué)生思考問(wèn)題的時(shí)間和空間，如果教師對(duì)于該模型善加利用，可以充分發(fā)揮模型解決過(guò)程對(duì)于學(xué)生諸多能力的培養(yǎng)。是真正的“全魚”而非“中段”。例題3與前兩個(gè)例題相比，無(wú)疑是最高層次的數(shù)學(xué)模型應(yīng)用。

以上三例一次函數(shù)模型的應(yīng)用類題目，均試圖讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)就發(fā)生在我們身邊，數(shù)學(xué)是有用的，其應(yīng)用層次呈遞進(jìn)式提高。每一位數(shù)學(xué)教師都應(yīng)該善于挖掘身邊的生活實(shí)例，將它們作為有效的課程資源，讓學(xué)生在做數(shù)學(xué)、體驗(yàn)數(shù)學(xué)的實(shí)踐活動(dòng)中自主地構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，感受數(shù)學(xué)的魅力，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣并增強(qiáng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自信心。

〔責(zé)任編輯：高照〕