陳晶晶 ，雷國輝

（1.河海大學 巖土力學與堤壩工程教育部重點實驗室，南京 210098；2.河海大學 巖土工程科學研究所，南京 210098； 3.鐵道第三勘察設計院集團有限公司地質路基設計處，天津 300251）

1 引 言

有效應力原理是將巖土材料多相（孔）介質應力狀態(tài)簡化為單相介質應力狀態(tài)，以便于運用連續(xù)介質力學解決巖土材料變形和強度問題的一種固體力學或熱動力學等效方法[1－4]，如圖1 所示。有效應力是決定巖土材料變形和強度的應力狀態(tài)變量或其組合。有效應力表達式給出了有效應力與應力變量（比如總應力和孔壓等）之間的關系，取決于是變形等效還是強度等效[1,5－8]。

圖1 有效應力原理示意圖 Fig.1 Schematic diagram of the principle of effective stress

對于飽和巖土材料，雷國輝等[1]已從強度等效的角度，運用摩擦學中的黏著摩擦理論，分析了其有效應力的表達式。本文則從變形等效的角度，分析飽和巖土材料的有效應力表達式，同時，也分析了Skempton[9]的孔壓系數B 的表達式。

2 既有研究成果的歷史回顧與評述

2.1 有效應力表達式

De Boer 等[10]追溯了有效應力概念從萌芽到成形階段的歷史進程。雖然在Terzaghi 之前，一些學者通過試驗研究已經發(fā)現了飽和巖土材料中的孔壓對其變形和強度特性的某些影響機制[5－6,10]，但Terzaghi 被公認為是有效應力概念的創(chuàng)始人已是不爭的事實。早在1923 年，他就應用了有效應力的概念建立了一維固結理論[11]。在1936 年第1 屆土力學與基礎工程國際會議上，他創(chuàng)造性地提出了有效應力一詞[12]，明確地定義了有效應力表達式：

式中：σ′為法向有效應力；σ 為法向總應力；u 為孔壓。而且更為重要的是，他清晰地賦予了其內涵，即巖土材料的壓縮、變形和抗剪強度由有效應力所決定[12]。與 σ = σ′+ u的書寫形式相比，式（1）能夠更好地體現出有效應力原理和有效應力概念的內涵。雖然Terzaghi 當時并未給出表達式（1）的理論證明，但有效應力概念自此已成為現代巖土力學的里程碑和奠基石。

在強度等效方面，式（1）普遍適用于巖石、混凝土、土（除高塑性黏土[13]尚未有定論外）等飽和巖土材料[1]。不過，在變形等效方面，理論和試驗研究成果已經證明[5－6,10,14－16]，式（1）并不適用于所有巖土材料，只有當固相和非黏性液相[10]的壓縮性與骨架的壓縮性相比可以認為是不可壓縮時式（1）才適用。

在為數不少的土力學教材中，有效應力常常被理解為是單位土體截面積上的粒間接觸力，其表達式為

式中：sN 為作用在粒間的法向接觸力；N 為作用在土體的法向力；A 為土體的截面積；sA 為相應土粒間的接觸面積；a 為粒間接觸面積比，即粒間接觸面積與土體截面積的比值。而式（1）也常常被理解為是式（2）當粒間接觸面積比a 可忽略不計時的特例。

值得注意的是，式（2）中的σ ′= Ns/A 并不是單位粒間接觸面積上的粒間接觸力 Ns/As，即，不是真實的粒間接觸應力，而是與滲流問題中的假想平均流速類似的假想粒間接觸應力。幸運的是，假想平均流速因Darcy 定律而具有其存在意義；但假想粒間接觸應力至今卻未發(fā)現其存在價值。Singh等[17]通過力學分析推導了真實的粒間接觸應力，其算例分析顯示，如果粒間接觸面積比a 可忽略不計的話，真實的粒間接觸應力則要比假想的粒間接觸應力大得多。當然，這也是預料之中的結果。

另外，Bishop 等[18]的理論分析和三軸不排水試驗結果、Skempton[5]的高壓固結試驗和三軸壓縮試驗結果、以及Bishop 等[19]的三軸排水試驗結果，均已證明，式（2）不是決定飽和巖土材料變形和強度的有效應力。

更為重要的是，無論是假想的粒間接觸應力 （式（2）），還是真實的粒間接觸應力（比如：文獻[17]），僅僅在力的平衡基礎上推導的，并沒有體現有效應力原理和有效應力概念的真正內涵，即沒有體現是強度等效或是變形等效、沒有體現巖土材料的壓縮、變形和抗剪強度由有效應力所決定。

而更為令人可惜的是，Lade 等[6]通過文獻檢索到的另外2 種有效應力表達式：σ ′= σ- nu（ 由n= 1 - a代入式（2）得到，其中n 為孔隙率）及σ ′= σ- η u（其中 n ≤η ≤ 1），以及李廣信[20]和陳愈炯[21]列舉批評的其他形式的有效應力表達式，如基于所謂的水壓率概念得到的 σ′ = (σ - nu )/(1 - n)，甚至只是憑直覺構造的[6]或是在錯誤的理解和推導基礎上得到的有效應力[20－21]。

真正從變形等效的角度、通過理論分析來推導有效應力的表達式并不多見。研究的思路主要是通過在假設材料內部孔隙連通（相應的孔隙率n 為有效孔隙率）的基礎上，將不排水條件下圍壓（總應力）與孔壓作用引起飽和巖土材料固相和液相的壓縮導致的骨架體積變形，等效為排水條件下圍壓（有效應力）作用引起飽和巖土材料的骨架體積變形，建立兩者之間的等效關系，以推求得到有效應力的表達式。之所以選擇體積變形而非剪切變形或形狀變形，是由于一般的飽和巖土材料中的非黏性液相不能承受剪應力且孔壓不影響土骨架的剪切變形。

按照上述思路，Skempton[5]、Nur 等[22]、Bishop[23]通過理論分析和試驗驗證得到了一致的有效應力表達式[6]。其中，Bishop 的理論分析相對簡潔且最為詳細。分析中隱含定義了液相的體積壓縮系數wC 、固相的本征體積壓縮系數gC 以及排水條件下骨架的體積壓縮系數skC ，如下：

式中：wV 、gV 和0V 分別為飽和巖土材料液相、固相和骨架的體積； VΔ 為體積增量； uΔ 為孔壓增量；σΔ 為圍壓增量，下標w、g、sk 和d 分別表示液相、固相、骨架和排水條件。

按照上述定義，Bishop[23]分析了不排水條件下受到圍壓增量 σΔ 作用時，分別由如圖2 中等號右邊所示的孔壓增量 uΔ 作用和?？讐?、凈圍壓增量( σΔ - )uΔ 作用引起的液相、固相和骨架的體積增量，如表1 第3 列所示，其中：下標u 和s 分別表示孔壓增量 uΔ 和凈圍壓增量( )uσΔ -Δ 作用。

圖2 圍壓與孔壓作用的分析 Fig.2 Analysis of the actions of cell pressure and pore pressure

表1 Bishop[23]、Lade 等[6]對變形的分析 Table 1 Deformation analysis by Bishop[23], Lade and de Boer[6]

表1第3列中的 wVΔ 、guVΔ 和 sksVΔ 值由式（3）～（5）直接確定。對于 skuVΔ 值，Bishop[23]認為，孔壓增量引起的骨架體積應變與孔壓增量引起的固相體積應變相等，因此，有

則有

另外，對于 gsVΔ 值，他假設孔隙隨機分布，則面積孔隙率與體積孔隙率相等（其數學證明可參見文獻[24－25]），因此，固相的接觸面積占骨架截面面積的比值 a = (1 - n)，當骨架受到凈圍壓增量作用時，施加在固相上的平均球應力增量為( Δσ - Δu )/ (1 - n)，它所引起的固相體積增量為

按照不排水條件下在總應力和孔壓作用下的骨架變形，即孔壓增量和凈圍壓增量引起的骨架體積增量之和（如圖2 所示），與排水條件下在有效應力作用下的骨架變形等效，即變形等效的原則，可得

因此，Bishop[23]得到的有效應力表達式為

Lade 等[6]則為區(qū)別孔壓增量和凈圍壓增量作用引起的體積增量而定義了相應的固相體積壓縮系數Cgu和 Cgs，以及相應的骨架體積壓縮系數 Csku和Csks，其表達式為

按照上述定義，Lade 等[6]分析了不排水條件下在圍壓增量 σΔ 作用下分別由孔壓增量 uΔ 和凈圍壓增量( )uσΔ -Δ 引起的液相、固相和骨架的體積增量，如表1 第4 列所示。

按照變形等效的原則：

因此，其一般形式的有效應力表達式為

對于粒類土，Lade 等[6]引用前述Bishop[23]的 “孔壓增量引起的骨架體積應變與孔壓增量引起的固相體積應變相等”（即式（6））的觀點，但錯誤地將應變相等理解為體積增量相等，即認為

由式（11）、（12）得

代入式（16）得到粒類土的有效應力表達式為

對于堅硬巖石，Lade 等[6]認為， Csku= Cgu，得到其有效應力表達式為

2.2 孔壓系數B 的表達式

上述關于液相、固相和骨架的變形分析不僅為推求有效應力表達式提供了依據，也為推求Skempton[9]定義的不排水條件下圍壓作用引起飽和巖土材料的孔壓系數B 值（ B =Δu /Δσ ）提供了依據。

按照骨架體積增量與固相和液相的體積增量之和相等的原則，即

根據表1，Bishop[23]推求的孔壓系數B 的表達式為

Lade 等[6]推求的孔壓系數B 的表達式為

2.3 存在的問題

對比Lade 等[6]與Bishop[23]的分析方法可知，對于液相的體積壓縮系數 Cw和凈圍壓增量作用下骨架的體積壓縮系數 Csks和 Csk，他們的定義是相同的。但前者認為，孔壓增量引起的固相體積壓縮系數 Cgu、孔壓增量引起的骨架體積壓縮系數 Csku、凈圍壓增量引起的固相體積壓縮系數 Cgs這3 個變形特性參數大小不等，而后者則認為， Cgu= Csku= Cgs并統一表示為 Cg。不過，兩者對于液相、固相和骨架變形分析的基本原理是完全一致的，因為：若將 Cgu= Csku= Cgs統一表示為 Cg并代入式（16）、（23），將得到與式（10）、（22）完全相同的結果。問題在于 Cgu、 Csku、 Cgs之間到底有沒有聯系、有什么聯系？

3 固相與骨架的壓縮系數及其關系

3.1 關于Csku 與Cgu

Bishop[23]認為，孔壓增量引起的骨架體積應變與孔壓增量引起的固相體積應變相等，因此，由式（6）可得式（7）。類似地，根據這一觀點，按照Lade 等[6]對孔壓增量作用下的固相和骨架體積壓縮系數的定義，即式（11）、（12），則應很容易推求得到 Csku= Cgu，而非式（18）。為澄清這一觀點，以下給出了 Csku= Cgu的具體證明過程。

假設有如圖3 所示的模擬孔壓增量對固相和骨架變形影響的試驗裝置，試樣1～3 是由相同固相顆粒材料組合構成的不同骨架，其中試樣2 顆粒間點點接觸，試樣3 顆粒間存在一定的接觸面積。施加荷載使得裝置中的孔壓發(fā)生變化，試樣中顆粒的受力情況可分為兩種情況，如圖4 所示。

圖3 假想試樣和試驗示意圖 Fig.3 Schematic diagram of hypothetical specimens and testing

首先，對孔壓作用下試樣1、2 的圓形顆粒進行受力分析，如圖5 所示，取其中任意一個截面為研究對象，設此截面對應的圓心張角大小為φ，則圓弧面承受的孔壓的合力的大小為

從上式可以看出，孔壓作用下試樣1 和2 的固相顆粒內部任意截面處只有正應力作用，大小等于孔壓。

試樣3 中固相顆粒的受力分析如圖6(a)所示，劃分截面AE 和AB 得到圖6(b)所示的脫離體。通過上述圖5 中圓形顆粒的力學分析可知，該脫離體上的應力分布如圖6 所示，則 ulAB= σslDE+ ulCDcosθ，其中：l 為其下標所指代線段的長度； σs為粒間的接觸應力。因為 lAB= lDE+ lCDcosθ，所以 σs= u，即粒間的接觸應力與孔壓相等。因此，與試樣1、2一樣，試樣3 中顆粒內任意點任意方向也只承受正應力作用，大小等于孔壓。

圖5 圓形顆粒及其脫離體受力示意圖 Fig.5 Force diagram of circular grain and its free body

圖6 試樣3 中顆粒及其脫離體受力示意圖 Fig.6 Force diagram of grain and its free body of specimen 3

將上述分析推廣到一般情況可知，無論固相顆粒以什么樣的形式構成骨架，在孔壓作用下，固相顆粒內部的應力與液相內部孔壓的分布規(guī)律一樣，點點相同，各向同性且大小相等。

現分析孔壓增加后固相顆粒變形和骨架變形之間的聯系。由于試樣內部任意點、任意方向的應力相等，所以應變分量也相等。這里取圖2 中的試樣2 為例，如圖7 所示，則有

即固相顆粒的應變分量與骨架的應變分量相等。正因為如此，固相顆粒的體積應變與骨架的體積應變也相等。因此，孔壓增量作用下，骨架的體積變形系數與固相的本征體積變形系數相等，即

在這一點上，Bishop[23]的分析是合理的，而Lade 等[6]的分析是錯誤的。

圖7 孔壓作用下固相和骨架的變形 Fig.7 Solid and skeleton deformations under pore pressure

3.2 關于Cgs 與Cgu

Bishop[23]沒有區(qū)分凈圍壓增量作用下固相的體積壓縮系數與孔壓增量作用下固相的體積壓縮系數。由式（8）的推導過程及其假設可知，實際上，他認為 Cgs= Cgu= Cg。而由式（4）、（11）可知，Cgu或 Cg所表示的是在靜液壓力作用下固相材料的本征體積壓縮系數。由圖3～6 的分析可知，在靜液壓力作用下，固相顆粒內部的應力以及粒間接觸應力均等于靜液壓力，即，只有正應力的作用，而沒有任何剪應力的作用。但在常孔壓、凈圍壓增量作用下，凈圍壓增量是作用在土骨架的周圍（如圖8 所示），而非像圖3～6 那樣直接地、均勻地作用在固相顆粒的周圍。此時，凈圍壓增量只作用在固相顆粒的一部分表面上，固相顆粒的受力情形與孔壓作用時的受力情形是不一致的，如圖9 所示。因此，固相顆粒內部以及粒間接觸應力除了有正應力作用外，還有剪應力作用，固相顆粒的體積變形是這兩種應力作用的結果。很顯然，凈圍壓增量作用下固 相的體積壓縮系數與孔壓增量作用下固相的體積壓縮系數并不會相等，即 Cgs≠ Cgu，除非固相材料不具有剪脹或剪縮性。因此，在這一點上，Lade 等[6]的分析是合理的，而Bishop[23]的分析是粗略的。

圖8 凈圍壓增量作用在土骨架周圍 Fig.8 Increment of net cell pressure on the skeleton

圖9 凈圍壓增量引起的固相和骨架變形 Fig.9 Solid and skeleton deformations under increment net cell pressure

4 不排水條件下圍壓作用的體積變形

通過上節(jié)分析，則可以列出不排水條件下分別由孔壓和凈圍壓增量引起的液相、固相和骨架的體積增量（如表2 所示）。

表2 本文的體積變形分析 Table 2 Volumetric deformation analysis of this paper

5 有效應力與孔壓系數B 的表達式

按照不排水條件下在總應力和孔壓作用下的骨架變形，即孔壓增量和凈圍壓增量引起的骨架體積增量之和（如圖2 所示），與排水條件下在有效應力作用下的骨架變形等效，即變形等效的原則，由表2 可得

因此，決定飽和巖土材料變形的有效應力表達式為

另外，按照骨架體積增量與固相和液相的體積增量之和相等的原則，將表2 中的各項代入式（21），可得到孔壓系數B 的表達式為

6 討 論

6.1 決定變形與決定強度的有效應力表達式

Skempton[5]給出了不同巖土材料的 Cgu和 Csks值，代入式（28）可知：對于飽和砂與土，1 -Cgu/Csks值近似等于1，決定變形與決定強度[1]的有效應力表達式（1）基本一致，在分析其應力-變形-強度關系時，式（1）是適用的；而對于飽和巖石與混凝土，式（28）與式（1）則有明顯的差別，比如，石英質砂巖的 1 - Cgu/Csks值僅為0.54。Nur 等[22]基于砂巖和花崗巖的試驗結果已經證明了式（28）的有效性。在飽和巖石與混凝土材料向著臨界狀態(tài)發(fā)展達到其抗剪強度的過程中，式（28）如何與式（1）趨于一致還有待于進一步的研究。

6.2 關于孔壓系數B

Lade 等[6]認為，Bishop 的孔壓系數B 的表達式（22）存在 B ＞ 1的問題，即當 Cg＞ Cw時，式（22）給出的 B ＞ 1。他們采用白塞木、椴木、聚丙烯塑料這3 種材料（滿足 Cg＞ Cw）開展了室內試驗，證實了B 不大于1。他們因此而認定式（22）是不正確的。如若真是這樣的話，本文所提出的表達式（29）也將是錯誤的。

事實上，當 Cg＞ Cw即本文中 Cgu＞ Cw時，這意味著固相的壓縮性大于液相的壓縮性，此時，材料抵抗外力作用而產生變形的骨架已不再是由其固相所構成，液相則構成材料抵抗外力作用而產生變形的“骨架”，如圖10 所示。

圖10 圍壓引起液相骨架的變形 Fig.10 Deformation of liquid phase skeleton under cell pressure

在這種情況下，固相就好比是懸浮于液相骨架之中。由于液相與固相不同，具有可流動性以及靜止時孔壓傳遞的等值性（即Pascal 定律），因此，在圍壓作用下，液相骨架將承擔圍壓荷載并等值傳遞給固相，材料的內部將不存在任何剪應力的作用。毋庸置疑的是，若排除圍壓作用邊界上液相和固相的包裹材料的變形約束影響，孔壓將等于圍壓，孔壓系數B ≡ 1。而Lade 等[6]針對3 種gwC C＞ 材料得到B 接近于1 但非B=1 的試驗結果，其根本原因除了他們自己坦承的試驗精度較差外，還在于其試驗過程中，在橡皮膜內立方體試樣的四周放置了 1 mm 厚不銹鋼板所產生的變形約束作用。

對于絕大多數的巖土材料，其 Cgu值[5－6]一般介于(1～ 3) ×10-8kPa-1之間，水的 Cw值[6]約為48× 10-8kPa-1，即 Cgu＜ Cw，因此，式（29）是適用的。

7 結 論

（1）孔壓增量作用下，骨架的體積壓縮系數與固相材料的本征體積壓縮系數相等。在這一點上，Lade 等[6]的分析不合理。

（2）凈圍壓增量作用下，固相的體積壓縮系數并不等于孔壓增量作用下固相材料的本征體積壓縮系數。在這一點上，Bishop[23]的分析不合理。

（3）對于飽和砂與土，由于固相的本征體積壓縮系數遠小于凈圍壓增量作用下骨架的體積壓縮系數，決定變形的有效應力表達式與決定強度的Terzaghi 有效應力表達式基本一致。而對于飽和巖石與混凝土，決定變形的有效應力表達式與決定強度的Terzaghi 有效應力表達式不同，會隨著骨架變形的發(fā)展過程而變化，如何趨于一致還有待于進一步的研究。另外，飽和巖土材料中存在不連通孔隙時的有效應力表達式也有待于進一步的研究。

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