陳世業(yè)，王良明，史 偉

（1.南京理工大學(xué) 能源與動(dòng)力工程學(xué)院，南京210094；2.中國(guó)兵器工業(yè)基團(tuán)051基地，陜西 華陰714200）

火炮進(jìn)行射擊時(shí)，系統(tǒng)內(nèi)構(gòu)件間的剛性運(yùn)動(dòng)與彈性變形相互耦合，使身管產(chǎn)生復(fù)雜的彈性振動(dòng)并形成炮口擾動(dòng)，增大了射角的散布，嚴(yán)重影響火炮的射擊精度，因而建立相對(duì)準(zhǔn)確高效的身管多體動(dòng)力學(xué)模型，使其能較真實(shí)地反映復(fù)雜受力條件下炮口的動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性，對(duì)火炮系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析具有重要的指導(dǎo)意義.

從目前的研究狀況來(lái)看，柔性身管在系統(tǒng)模型中的描述主要采用模態(tài)法[1]、有限段法[2，3]、有限元法[4]等.在火炮的實(shí)際發(fā)射過(guò)程中，彈丸與炮膛內(nèi)壁的接觸力以及燃?xì)庾饔昧?duì)身管的彈性振動(dòng)產(chǎn)生的影響不容忽略，如何在反映身管彈性的前提下充分考慮彈丸的實(shí)時(shí)接觸力等外加載荷的作用，是身管建模過(guò)程中存在的一個(gè)重要問(wèn)題.同時(shí)，由于彈丸和身管的接觸區(qū)域在隨時(shí)變化，即柔性體的邊界條件不斷改變，要獲得結(jié)構(gòu)的動(dòng)應(yīng)力、動(dòng)應(yīng)變等信息，需通過(guò)完全有限元柔性體和多體動(dòng)力學(xué)的耦合計(jì)算來(lái)實(shí)現(xiàn)，這大大降低了身管系統(tǒng)的求解效率.

針對(duì)上述問(wèn)題，本文將虛擬體引入身管多體系統(tǒng)，提出了一種柔性身管的建模方法，推導(dǎo)了含虛擬體項(xiàng)的身管拉格朗日動(dòng)力學(xué)方程，并結(jié)合算例驗(yàn)證了方法的有效性.

1 系統(tǒng)描述

在此先引出本文中虛擬體的概念，即假想的無(wú)質(zhì)量、無(wú)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的剛性體.基于虛擬體構(gòu)建的身管模型如圖1所示，模型中采用模態(tài)法描述身管的彈性變形，即將身管結(jié)構(gòu)剛度通過(guò)預(yù)先有限元計(jì)算得到的模態(tài)來(lái)表示，通過(guò)模態(tài)振型的疊加來(lái)獲得其動(dòng)態(tài)應(yīng)力和應(yīng)變.模型具體描述如下：虛擬體的幾何模型對(duì)應(yīng)于身管的真實(shí)結(jié)構(gòu)，由有限個(gè)虛擬體組成了身管的實(shí)體外形，虛擬體兩端以球鉸的形式聯(lián)接在經(jīng)過(guò)模態(tài)解析的身管柔性單元上（圖1中為身管對(duì)應(yīng)的變截面有限元梁?jiǎn)卧?，相鄰虛擬體間以剛性鉸約束限制其繞身管軸線方向的相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，其中尾部段與炮尾鉸接.

有限個(gè)虛擬體的引入，使彈丸在由虛擬體組成的模擬身管中運(yùn)動(dòng)，從而把彈丸與柔性身管的接觸轉(zhuǎn)化為彈丸與虛擬體間的接觸碰撞，避免了由于接觸區(qū)域的變化而導(dǎo)致柔性體邊界條件改變這一問(wèn)題；同時(shí)，彈炮間的相互作用力將通過(guò)虛擬體傳遞到柔性身管單元上，并反饋給彈丸運(yùn)動(dòng)，而由于單元中包含了身管真實(shí)結(jié)構(gòu)所對(duì)應(yīng)的模態(tài)信息，故能精確描述其動(dòng)力學(xué)響應(yīng)特性.

圖1 含虛擬體的身管幾何模型

2 虛擬體和相鄰柔性體間的運(yùn)動(dòng)學(xué)約束方程

取任意虛擬體j和其長(zhǎng)度范圍的柔性體單元為第i個(gè)身管特征段，如圖2所示，OXYZ為系統(tǒng)的慣性參考系，OjXjYjZj、OmXmYmZm和OnXnYnZn分別為虛擬體j和柔性體單元m、n的連體坐標(biāo)系，原點(diǎn)位于質(zhì)心處.在多體動(dòng)力學(xué)分析中，剛性鉸約束和基于有限元的柔性鉸約束已經(jīng)很完善，在此只列出虛擬體和其鉸接的柔性體間的約束方程.虛擬體j的坐標(biāo)系原點(diǎn)可表示為

式中，A為柔性體參考坐標(biāo)系的姿態(tài)矩陣和分別為剛體上一點(diǎn)相對(duì)剛體參考坐標(biāo)系的未變形矢量和變形矢量，節(jié)點(diǎn)位置的變形矢量可以表示為振型的線性組合：

虛擬體j的姿態(tài)方程為式中，f代表柔性體，Am，j為未變形狀態(tài)柔性體m和虛擬體j間的姿態(tài)矩陣為由轉(zhuǎn)動(dòng)變形引起的相對(duì)姿態(tài)矩陣，且為旋轉(zhuǎn)變形矢量εm的函數(shù)，εm的表達(dá)式為

圖2 身管特征段幾何描述

聯(lián)立式（1）、式（3），可以得到柔性體坐標(biāo)系和虛擬體坐標(biāo)系間的運(yùn)動(dòng)約束：

式中，（I1I2I3）為3×3的單位矩陣和分別為位置約束和角約束.對(duì)上式進(jìn)行變形：

3 身管多體動(dòng)力學(xué)方程

在第i個(gè)身管特征段中，取虛擬體j和柔性體m為新的單元體k，其動(dòng)能Tk和彈性勢(shì)能Uk的表達(dá)式為

單元體的質(zhì)量矩陣Mk為

式中，nf為模態(tài)坐標(biāo)的個(gè)數(shù).

由于虛擬體的運(yùn)動(dòng)不會(huì)產(chǎn)生應(yīng)變能，單元體的剛度矩陣Kk在柔性體m的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)系中產(chǎn)生.用拉格朗日乘子法建立單元體k的運(yùn)動(dòng)微分方程為

式中，λ為拉格朗日乘子；廣義力Fk包括單元彈性變形引起的廣義力和外加載荷引起的廣義力兩部分，其中包括了彈炮接觸作用引起的廣義力.將單元體的動(dòng)能表達(dá)式代入微分方程可以得到：

當(dāng)彈丸與虛擬體j發(fā)生接觸碰撞，兩者間的接觸力FR轉(zhuǎn)化為柔性體單元m、n中的節(jié)點(diǎn)力FR，m、FR，n，如圖3所示.

圖3 彈丸與身管特征段的幾何模型

在單元體k中，由接觸引起的廣義力FkR為

同時(shí)，限制相鄰虛擬體間繞身管軸線方向的相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，即在機(jī)構(gòu)的約束方程中添加虛擬體間的剛性鉸約束

綜上，將組成身管多體系統(tǒng)的n個(gè)構(gòu)件產(chǎn)生的運(yùn)動(dòng)方程與系統(tǒng)約束方程C（q，t）聯(lián)立，得到系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程的統(tǒng)一矩陣形式：

由上式可知，身管系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣M和約束矩陣Cq中均含有虛擬體項(xiàng)，其中Cq由三部分組成，包括柔性體與虛擬體間的約束、柔性體間的約束和相鄰虛擬體間的約束.當(dāng)彈丸與虛擬體發(fā)生接觸碰撞時(shí)，兩者的相互作用力通過(guò)廣義力Fe的形式傳遞到系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程中，最終對(duì)身管的彈性振動(dòng)產(chǎn)生影響并反饋給彈丸運(yùn)動(dòng).

4 算例分析

4.1 基本仿真條件

以某型履帶式自行火炮為例，引入身管多體動(dòng)力學(xué)模型，如圖1所示.考慮剪切力和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)身管彎曲變形產(chǎn)生的影響，基于Timoshenko梁理論[6]建立身管的變截面有限元梁?jiǎn)卧?，采用Block Lanczos數(shù)值法，對(duì)模態(tài)實(shí)施求解，由于身管的高階模態(tài)對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)影響較小[7]，在實(shí)際計(jì)算過(guò)程中可取有限個(gè)低階模態(tài)進(jìn)行分析，本文取其前10階固有振動(dòng)模態(tài)，如表1所示.模型中由11個(gè)虛擬體組成模擬身管，附加了22個(gè)柔性鉸和11個(gè)剛性鉸約束，含模態(tài)信息的柔性身管梁?jiǎn)卧谂陂V前端面中心處與炮尾固連，其中身管阻尼設(shè)為剛度系數(shù)的0.003倍.

表1 某自行火炮身管前10階模態(tài)的振動(dòng)頻率和振動(dòng)周期

4.2 結(jié)果與分析

試驗(yàn)條件如下：自行火炮處于水平土壤地面上，高低射角10mil，方向射角8 mil，采用全裝藥底凹榴彈在常溫下進(jìn)行射擊，系統(tǒng)模型采用上述邊界條件進(jìn)行計(jì)算分析.

火炮在t＝0.05s時(shí)射擊.圖4、圖5給出了后坐位移l和后坐速度v的對(duì)比情況，可以看出計(jì)算曲線和試驗(yàn)曲線基本吻合.

圖4 炮尾后坐位移對(duì)比曲線

圖5 炮尾后坐速度對(duì)比曲線

由圖4可知，計(jì)算曲線中炮尾在0.62s復(fù)進(jìn)到位，相對(duì)于測(cè)試值0.64s提前0.02s，主要是由于對(duì)身管進(jìn)行有限元分析時(shí)，建立的變截面梁模型簡(jiǎn)化了身管的真實(shí)幾何結(jié)構(gòu)，造成質(zhì)量、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和質(zhì)心位置與實(shí)際值有所偏差.

炮口的動(dòng)態(tài)響應(yīng)取炮口點(diǎn)的振動(dòng)角位移為研究對(duì)象，圖6、圖7分別給出了垂向角位移和水平方向角位移的對(duì)比結(jié)果.彈丸經(jīng)過(guò)0.011s（t＝0.061s）出炮口，從圖中可以看出，該時(shí)刻附近計(jì)算所得的角位移分量和測(cè)試值有很好的一致性.

圖6、圖7中測(cè)試曲線和計(jì)算曲線分別在0.64s和0.62s時(shí)發(fā)生比較大的波動(dòng)，這是由于炮尾復(fù)進(jìn)到位時(shí)對(duì)應(yīng)的復(fù)進(jìn)速度并不為0，這是它與搖架發(fā)生碰撞所造成的.

圖6 炮口點(diǎn)垂向振動(dòng)角位移對(duì)比曲線

圖7 炮口點(diǎn)水平方向振動(dòng)角位移對(duì)比曲線

圖8給出了彈丸速度vd的計(jì)算曲線，可知彈丸初速為706m/s，而實(shí)測(cè)彈丸初速713m/s，兩者的相對(duì)誤差為0.98%，可知彈丸在虛擬身管中的運(yùn)動(dòng)與實(shí)際情況符合較好.

圖8 彈丸速度計(jì)算曲線

5 結(jié)論

本文將提出的柔性身管建模方法應(yīng)用到某履帶式自行火炮的動(dòng)力學(xué)模型中，通過(guò)計(jì)算結(jié)果和試驗(yàn)數(shù)據(jù)的對(duì)比，得到如下結(jié)論：

① 把虛擬體引入到柔性身管的建模中在理論上是可行的，可以為彈炮耦合問(wèn)題的研究提供一定參考.

②采用該方法建立的身管模型，充分考慮了彈丸接觸力等外加載荷的影響，并能在復(fù)雜受力條件下較為精確地描述身管的彈性振動(dòng)和火炮的炮口擾動(dòng).

[1]徐達(dá)，胡俊彪，穆歌.基于剛?cè)狁詈系奶箍伺诎l(fā)射動(dòng)力學(xué)仿真分析[J].裝甲兵工程學(xué)院學(xué)報(bào)，2009，23（4）：45－47，51.XU Da，HU Jun－biao，MU Ge.Simulation analysis on tank gun firing dynamics based on rigid－flexible coupling[J].Journal of Academy of Armored Force Engineering，2009，23（4）：45－47，51.（in Chinese）

[2]劉雷，陳運(yùn)生.身管多體動(dòng)力學(xué)模型研究[J].南京理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2005，29（3）：267－269，295.LIU Lei，CHEN Yun－sheng.Multi－body dynamic model of barrel[J].Journal of Nanjing University of Science and Technolo－gy，2005，29（3）：267－269，295.（in Chinese）

[3]王曉鋒，姜興渭.有限段法在高炮發(fā)射多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分析中的應(yīng)用[J].南京理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2001，25（1）：25－27.WANG Xiao－feng，JIANG Xing－wei.Application of finite segment method to dynamic analysis of antiaircraft gun launch[J].Journal of Nanjing University of Science and Technology，2001，25（1）：25－27.（in Chinese）

[4]于存貴，申亮，馬大為.艦炮剛?cè)狁詈习l(fā)射動(dòng)力學(xué)研究[J].系統(tǒng)仿真學(xué)，2009，21（23）：7 694－7 696.YU Cun－gui，SHEN Liang，MA Da－wei.Study on simulation for rigid－flexible coupling launch dynamics of naval gun[J].Journal of System Simulation，2009，21（23）：7 694－7 696.（in Chinese）

[5]馮勇，馬大為，薛暢，等.多管火箭炮剛?cè)狁詈隙囿w發(fā)射動(dòng)力學(xué)仿真研究[J].兵工學(xué)報(bào)，2006，27（3）：545－548.FENG Yong，MA Da－wei，XUE Chang，et al.Simulation studies of coupled rigid and flexible multi－body dynamics for multiple launch rocket systems[J].Acta Armamentarii，2006，27（3）：545－548.（in Chinese）

[6]EISENBERGER M.Dynamic stiffness matrix for variable cross－section Timoshenko beams[J].International Journal for Numerical Methods in Biomedical Engineering，1995，11（6）：507－513.

[7]余成寶.火炮系統(tǒng)模態(tài)測(cè)試與分析[D].南京：南京理工大學(xué)，2007.YU Cheng－bao.Modal test and analysis of artillery system[D].Nanjing：Nanjing University of Science and Technology，2007.（in Chinese）