王 鵬，劉魯華，吳 杰

（國(guó)防科學(xué)技術(shù)大學(xué) 航天與材料工程學(xué)院，長(zhǎng)沙410073）

臨近空間飛行器飛行空域、速度的跨度和變化都非常大，體現(xiàn)出快時(shí)變、強(qiáng)耦合、強(qiáng)非線性和強(qiáng)不確定的特點(diǎn)，因此對(duì)這類對(duì)象的控制，傳統(tǒng)增益預(yù)置的線性控制方法難以達(dá)到滿意的控制效果，且還會(huì)帶來(lái)分段過(guò)多、控制器頻繁切換的問(wèn)題，而非線性控制方法則提供了更好的解決方案[1～7].

非線性動(dòng)態(tài)逆控制又稱為反饋線性化方法，是上世紀(jì)90年代，SNELL、ENNS和GARRARD等人針對(duì)飛機(jī)在做大迎角超機(jī)動(dòng)飛行時(shí)的本體非線性、強(qiáng)耦合特征而提出來(lái)的非線性控制策略[1]，其基本思想是：對(duì)于具體的研究對(duì)象，用系統(tǒng)模型生成一種可用反饋方法實(shí)現(xiàn)的原系統(tǒng)的“α階積分逆系統(tǒng)”，將對(duì)象補(bǔ)償為具有線性傳遞關(guān)系的偽線性系統(tǒng).滑模變結(jié)構(gòu)控制的結(jié)構(gòu)在動(dòng)態(tài)過(guò)程中根據(jù)系統(tǒng)當(dāng)前的狀態(tài)（如偏差及其各階導(dǎo)數(shù)等）有目的地不斷變化，迫使系統(tǒng)按照預(yù)定“滑動(dòng)模態(tài)”的狀態(tài)軌跡運(yùn)動(dòng)[8]，因此滑模變結(jié)構(gòu)控制對(duì)參數(shù)偏差和外界干擾具有較強(qiáng)的魯棒性.

本文將動(dòng)態(tài)逆方法的線性化能力與滑?？刂频膹?qiáng)魯棒性有機(jī)結(jié)合，設(shè)計(jì)了臨近空間飛行器縱向滑?？刂葡到y(tǒng)，并從提高信息利用率和增加控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)自由度的角度出發(fā)，提出俯仰角變化率指令參數(shù)化計(jì)算方法，通過(guò)仿真計(jì)算分析了指令參數(shù)對(duì)控制效果的影響.

1 臨近空間飛行器縱向模型

臨近空間飛行器無(wú)動(dòng)力平穩(wěn)滑翔階段的側(cè)向運(yùn)動(dòng)參數(shù)變化較小，本文主要針對(duì)其縱向運(yùn)動(dòng)開(kāi)展姿態(tài)控制問(wèn)題研究.為了推導(dǎo)面向控制的縱向運(yùn)動(dòng)模型，提出如下假設(shè)：①視地球?yàn)榫|(zhì)圓球，并忽略地球旋轉(zhuǎn)；②飛行器為面對(duì)稱體，慣量積Jxz＝Jyz＝0，慣量積Jxy為小量，忽略不計(jì)；③側(cè)向運(yùn)動(dòng)參數(shù)z，β，σ，γV，ψ，γ，ωx，ωy均為小量.

基于上述假設(shè)，得到飛行器面向控制的標(biāo)量形式縱向運(yùn)動(dòng)模型為

式中，v為飛行器速度；θ為速度傾角；ωz為俯仰角速度；x，y為飛行器在地面坐標(biāo)系中的位置坐標(biāo)；φ為俯仰角；地球引力常數(shù)μ＝3.986×1014m3/s2；地心距，Re為球形引力場(chǎng)時(shí)的地球平均半徑；FD，F(xiàn)L分別為阻力和升力；Mz為俯仰力矩；m為飛行器質(zhì)量；Jz為飛行器z軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.

攻角α與俯仰角、速度傾角之間滿足如下關(guān)系：

阻力、升力和俯仰力矩的表達(dá)式分別為

式中，動(dòng)壓q＝ρv2/2，ρ為空氣密度；Se為飛行器參考面積；l為飛行器參考長(zhǎng)度；CD、CL為阻力系數(shù)和升力系數(shù)；mz為俯仰力矩系數(shù).

氣動(dòng)力系數(shù)和力矩系數(shù)是飛行馬赫數(shù)Ma、高度H、攻角α及俯仰舵偏角δφ的非線性函數(shù)，可表示為

2 模型的可逆性分析

狀態(tài)變量取為

輸入量取為俯仰舵偏角，即u＝δφ，輸出量取為飛行器俯仰角，即Y＝φ，則飛行器縱向運(yùn)動(dòng)模型可表述為

式中，

縱向動(dòng)力學(xué)模型是一個(gè)SISO（單輸入單輸出）系統(tǒng).為了分析飛行器運(yùn)動(dòng)模型的可逆性，給出MIMO（多輸入多輸出）非線性系統(tǒng)的可逆性定理——函數(shù)可控性定理.

定理1[9]一般 MIMO 非線性系統(tǒng)在（X0，u0）的鄰域內(nèi)可逆的充分必要條件是在此鄰域內(nèi)存在相對(duì)向量階，即（X0，u0）為Interactor算法的正則點(diǎn).

SISO系統(tǒng)是MIMO系統(tǒng)的特殊情況，故式（6）所示的SISO系統(tǒng)在（X0，u0）的某個(gè)鄰域內(nèi)可逆的充分必要條件是在此鄰域內(nèi)存在相對(duì)階k.求解系統(tǒng)相對(duì)階的基本方法是Interactor算法[9].該算法的基本思想是：輸出的每個(gè)分量分別對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù)，直到導(dǎo)數(shù)中顯含輸入量為止，所求導(dǎo)數(shù)的次數(shù)即為該分量的相對(duì)階.

經(jīng)過(guò)推導(dǎo)可得：

俯仰角二階導(dǎo)數(shù)對(duì)控制量u的偏導(dǎo)數(shù)為

對(duì)于臨近空間滑翔飛行器而言，ρ、v、Se、l均不為0，而mz為俯仰舵偏角δφ的函數(shù)，因此不始終為0，故不恒等于0，即俯仰角二階導(dǎo)數(shù)中已顯含控制量.

Interactor算法正常結(jié)束，相對(duì)階k＝2，小于系統(tǒng)階數(shù)n＝6，故飛行器縱向運(yùn)動(dòng)模型是可逆的.而推導(dǎo)中僅用到了繞質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)方程，相對(duì)階等于繞質(zhì)心運(yùn)動(dòng)模型的系統(tǒng)階數(shù)，因此動(dòng)態(tài)逆方法可實(shí)現(xiàn)繞質(zhì)心運(yùn)動(dòng)模型的線性化.

3 基于指令參數(shù)化的縱向滑模控制器設(shè)計(jì)

飛行器縱向運(yùn)動(dòng)模型逆系統(tǒng)的輸入為俯仰角的二階導(dǎo)數(shù)，為了將滑模變結(jié)構(gòu)控制與逆系統(tǒng)結(jié)合起來(lái)，在控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)滑模面應(yīng)包含姿態(tài)角的一階導(dǎo)數(shù)，這樣，滑動(dòng)函數(shù)僅需計(jì)算一次導(dǎo)數(shù)即可含有輸入量.為此可取滑動(dòng)函數(shù)為[10]

式中，λ為正常數(shù)，跟蹤誤差e＝φ－φc，φc為俯仰角指令.

為了能夠使S達(dá)到0，即能夠使系統(tǒng)軌跡在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)滑動(dòng)面，需為非線性系統(tǒng)選擇適當(dāng)?shù)目刂坡?，滿足如下的滑動(dòng)條件：

取Lyapunov函數(shù)為

則其對(duì)時(shí)間的微分為＝，滑動(dòng)條件已保證＜0，故＜0，即系統(tǒng)是穩(wěn)定的.可見(jiàn)滑動(dòng)條件與系統(tǒng)穩(wěn)定性是等價(jià)的.

為了使式（10）成立，根據(jù)趨近律設(shè)計(jì)思想，可以選取如下的等速趨近律：

式中，ε為可選的嚴(yán)格正常數(shù)，sign（·）表示符號(hào)函數(shù).

對(duì)式（9）微分得：

將式（12）代入上式得：

為了抑制抖振，將上式中的符號(hào)函數(shù)sign（S）用飽和函數(shù)sat（S，d）代替，飽和函數(shù)的定義為[10]

式中，d為可選的正常數(shù).

于是控制律變?yōu)?/p>

縱向滑?？刂葡到y(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1所示.

圖1 縱向滑模控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

縱向控制系統(tǒng)的輸出為俯仰角，故最直接的控制方式是跟蹤俯仰角指令，而實(shí)際中控制指令一般以攻角形式給出.俯仰角和攻角可由歐拉角關(guān)系式（2）相互轉(zhuǎn)化，只需將攻角指令與當(dāng)前時(shí)刻速度傾角相加即可得到俯仰角指令φc＝αc＋θ，故2種控制指令本質(zhì)上是一致的.

式（16）所示的滑?？刂坡芍杏玫礁┭鼋且浑A導(dǎo)數(shù)指令c和二階導(dǎo)數(shù)指令，其中一階導(dǎo)數(shù)指令對(duì)控制系統(tǒng)的指令跟蹤性能影響較大.按照常規(guī)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法，俯仰角一階導(dǎo)數(shù)指令由俯仰角指令對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù)直接得到，即

這種方法直觀、易理解，被廣泛采用.但若將c理解為俯仰角一階導(dǎo)數(shù)期望值，則最理想的狀況為

式中，φ為俯仰角實(shí)際值，Δt為仿真時(shí)間步長(zhǎng)，經(jīng)過(guò)一個(gè)控制步長(zhǎng)，俯仰角就可以達(dá)到期望值φc.按照這樣的思路，式（17）所示常規(guī)計(jì)算方法的隱含前提是控制系統(tǒng)已將跟蹤誤差控制在較小范圍內(nèi)，此時(shí)俯仰角指令與實(shí)際值相差不大，俯仰角一階導(dǎo)數(shù)期望值與俯仰角指令一階導(dǎo)數(shù)基本相同，因此常規(guī)方法比較適用于跟蹤誤差較小的情況.當(dāng)跟蹤誤差較大時(shí)，常規(guī)方法的控制性能會(huì)明顯變差.另外從形式上看，常規(guī)計(jì)算方法只用到了俯仰角指令值，而未考慮俯仰角實(shí)際值，對(duì)信息的利用率不高.

本文從充分利用已有信息和增加控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)自由度的角度出發(fā)，同時(shí)考慮到控制系統(tǒng)的延遲、超調(diào)等實(shí)際動(dòng)態(tài)特性，對(duì)式（18）進(jìn)行適當(dāng)改造，提出參數(shù)化的俯仰角變化率（一階導(dǎo)數(shù)）指令計(jì)算方法，即

式中，Kω為俯仰角變化率指令參數(shù).上式中所用數(shù)據(jù)包括φc、φ、Δt和Kω，其中前3個(gè)量是已知的或可測(cè)量的，在控制律式（16）中已用到了俯仰角及其指令值，在此又用其構(gòu)造俯仰角一階導(dǎo)數(shù)指令，提高了已有信息的利用率；而俯仰角變化率指令參數(shù)Kω是引入的一個(gè)全新控制參數(shù)，增加了控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)的自由度.該方法不僅適用于俯仰角實(shí)際值與指令值偏差不大的情況，對(duì)于偏差較大的情況也有較好的適應(yīng)能力，通過(guò)調(diào)節(jié)指令參數(shù)，可有效提高控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)能力和穩(wěn)態(tài)控制精度.

4 控制系統(tǒng)仿真分析

仿真初始條件如表1所示.

表1 仿真初始條件

俯仰角變化率指令參數(shù)Kω對(duì)控制系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)影響較大，特別是在控制指令出現(xiàn)較大變化時(shí)影響尤為突出.由于初始誤差和指令突變的影響，在初始時(shí)刻和900s附近存在較大的跟蹤誤差，故這兩個(gè)時(shí)刻是特征控制點(diǎn).Kω取不同值時(shí)，攻角跟蹤誤差如表2所示.表中，emax、ξ分別為特征控制點(diǎn)附近的攻角最大跟蹤誤差和超調(diào)量；eme1、eme2分別為控制全過(guò)程的攻角平均跟蹤誤差和平均絕對(duì)跟蹤誤差.

表2 不同指令參數(shù)條件下的跟蹤誤差

取λ＝2，ε＝0.2，d＝0.05，仿真步長(zhǎng)100ms，攻角指令及部分仿真結(jié)果如圖2～圖4所示.由表2和圖2可知：基于指令參數(shù)化的縱向滑?？刂葡到y(tǒng)可以準(zhǔn)確跟蹤攻角指令，在不同指令參數(shù)條件下，攻角最大跟蹤誤差為3°左右，平均跟蹤誤差eme1和平均絕對(duì)跟蹤誤差eme2均小于0.03°.

圖2 攻角指令及其跟蹤誤差

圖3 攻角跟蹤誤差局部放大圖

圖4 俯仰舵轉(zhuǎn)角及其局部放大圖

由表2、圖3、圖4可知，指令參數(shù)Kω對(duì)控制精度影響較大.當(dāng)Kω較小時(shí)，特征控制點(diǎn)處的emax和ξ均較大，而eme1和eme2較小.由式（18）可知，俯仰角變化率指令與Kω值成反比，Kω較小時(shí)，俯仰角變化率指令較大，即控制系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)能力強(qiáng)，相同跟蹤誤差條件下，控制輸入較大，故存在較大超調(diào)量.Kω值越小，圖3中所示超調(diào)量越大，圖4中俯仰舵偏角維持在最大值的時(shí)間越長(zhǎng)，都說(shuō)明了這一點(diǎn).隨著Kω值的增大，emax先減小再增大；ξ不斷減小，即控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)能力不斷下降；eme1、eme2不斷增大，且二者相對(duì)差越來(lái)越小，即控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度不斷變差.為了保證控制系統(tǒng)同時(shí)具有良好的動(dòng)態(tài)響應(yīng)能力和穩(wěn)態(tài)精度，Kω值不應(yīng)過(guò)大或過(guò)小，應(yīng)根據(jù)實(shí)際需要進(jìn)行折中處理.

5 結(jié)束語(yǔ)

臨近空間飛行器縱向運(yùn)動(dòng)模型是可逆的，且相對(duì)階數(shù)等于繞質(zhì)心運(yùn)動(dòng)模型的系統(tǒng)階數(shù)，故動(dòng)態(tài)逆方法可實(shí)現(xiàn)繞質(zhì)心運(yùn)動(dòng)模型的線性化.

由內(nèi)環(huán)動(dòng)態(tài)逆控制器和外環(huán)滑?？刂破魉M成的飛行器縱向控制系統(tǒng)可以準(zhǔn)確跟蹤攻角指令.指令參數(shù)Kω越小，控制系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)能力越強(qiáng)，但會(huì)帶來(lái)超調(diào)量過(guò)大的問(wèn)題；該參數(shù)值越大，控制系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)精度越差.因此，為了保證控制系統(tǒng)同時(shí)具有良好的動(dòng)態(tài)響應(yīng)能力和穩(wěn)態(tài)精度，Kω值應(yīng)進(jìn)行折中處理.

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